基于Kresling 折纸构型的空间结构可控失稳模式研究

喻 莹，徐新卓，罗尧治

(1.汕头大学土木与环境工程系，广东，汕头515000；2.浙江大学空间结构研究中心，浙江，杭州310000)

折纸是一种古老的艺术，通常由二维纸张经过折叠形成各种不同的空间构型。由于折纸构型能够实现复杂的三维形状[1]、构型转换[2]以及传统材料难以实现的机械性能[3]，其蕴含的科学价值和工程价值已经逐渐被国内外研究者重视，在可展天线、超材料、生物医学、可展机器人[4− 25]等领域均有较好的研究成果出现。

失稳是指结构在压力作用下突然发生大变形或大变位的现象，是结构中常见的破坏模式。一方面，如果能够对结构在外荷载下的失稳过程和位置进行控制，将为智能结构的设计奠定基础。另一方面，很多折纸构型可以通过改变折痕性质实现多刚度、多稳定性的变化[26]，Kresling[27]折纸构型就是其中的一种，如图1。这种折纸构型是由Birtua Kresling 发现并命名的，其折痕是薄壁圆柱经扭转产生的。该构型在折叠过程中会出现多个稳定状态[28]。蔡建国等[29]分析了Kresling 折纸构型的边长和高度对其力学性能和失稳应变能的影响；Paulino和Liu[30]使用铰链弹簧模型分析了多层Kresling 模型，发现折痕刚度对其力学性能影响很小，并提出结构可能的破坏位置；Li 等[31]则研究了旋转角度和高度比对Kresling折纸构型破坏性能的影响。Kresling 折纸构型的多稳态失稳模式已经引起了很多学者的重视。然而，对于如何控制该类结构的失稳，目前还未见相关研究。

图1 两层Kresling 折纸结Fig.1 Two-layer Kresling origami

本文基于有限质点法研究如何控制Kresling折纸构型空间结构的失稳模式。首先采用有限质点法模拟全杆模型下的Kresling 空间结构的失稳过程，计算其折叠过程中杆件应变能的变化，验证有限质点法的有效性。然后在该结构中引入索单元和膜单元，研究索杆模型、索杆膜模型、嵌套式模型的失稳模式，分析预应力水平和弹性模量对结构刚度的影响，最终实现对双层Kresling空间结构的失稳模式进行控制。

1 基于有限质点法的索、杆、膜结构分析

1.1 基本计算公式

有限质点法以向量力学为基础，采用离散的质点描述结构，用牛顿第二定律描述质点运动，各质点的运动遵循牛顿第二定律，如下式：

1.2 单元内力计算

有限质点法通过逆向转动求出单元纯变形，进而得到单元内力[32]。此处简单介绍杆、索和膜单元的内力计算。

1.2.1杆单元的内力计算

杆单元仅发生轴向变形产生轴力，并将轴力反向作用到与其相连的两个质点上。质点α 的内力[33]可表示为：

1.2.2索单元的内力计算

根据索单元能够受拉不能受压的特点，其内力求解[34]如下：

1.2.3膜单元的内力计算

求解膜单元内力需要先估算一段时间内薄膜元的刚体平移和刚体转动，利用虚拟逆向运动估算节点变形位移，然后在变形坐标系下计算单元的内力。三角形膜单元的内力计算公式[35]为：

2 Kresling 空间结构双稳态研究

本节研究基于Kresling 构型的空间桁架结构的失稳过程。结构模型如图2所示，其中底边长a=1000 mm，侧向斜边长b=1500 mm，结构高h=1440 mm。所有构件均为弹性模量为2.1×105MPa的杆件，杆的横截面积为393 mm2。

图2 Kresling 纯杆空间结构模型Fig.2 Bar model of Kresling spatial structure

采用有限质点法模拟该纯杆模型在均布荷载P作用下的折叠过程，结构的失稳过程如图3所示，在均布荷载P作用下，该结构向下折叠，结构高度从初始的1440 mm 变化到完全折叠的0 mm，此过程中构件的应变能变化如图4所示。随着该空间结构折叠下压，构件的应变能从零增大到一个最大值然后又逐渐减小到零。这种现象即为Kresling折纸构型失稳过程的双稳态现象。图4将本文的结果与文献[28]的计算数据进行对比，结果吻合较好，验证了有限质点法在研究基于Kresling构型的空间结构失稳过程的有效性和准确性。

图3 Kresling 空间结构折叠过程Fig.3 Folding processof Kresling spatial structure

图4 Kresling 空间结构折叠过程应变能变化Fig.4 Strain energy variation in folding processof Kresling spatial structure

3 Kresling 空间结构的可控失稳模式研究

本节采用有限质点法对Kresling 空间结构的失稳行为进行研究，共分析了四种不同的结构布置：索杆模型、索杆膜模型、嵌套式模型和双层模型。通过分析材料弹性模量和拉索预应力对结构竖向荷载下结构刚度和应变能的影响，寻找结构失稳模式的控制方式。

3.1 索杆模型模拟

索杆模型分为两种：一种是斜框线AH、BI、CJ、DK、EL为索，其余单元均为杆件，如图5；另一种是竖框线AG、BH、CI、DJ、EK、FL为索，其余单元均为杆件，如图6。两种模型均由12个质点组成，其中杆单元的数量为18，索单元的数量为6。顶部6个质点G、H、I、J、K、L作用相同的荷载P=1500 N，采用斜坡加载的方式进行加载，考察索的预应力和杆的弹性模量对结构竖向刚度的影响，取质点G的Z轴坐标随时间变化曲线进行分析。

图5 斜框线为索的索杆模型Fig.5 Cable rod model with inclined cable

图6 竖框线为索的索杆模型Fig.6 Cable rod model with vertical cable

3.1.1斜框线为索的索杆模型模拟

当AH、BI、CJ、DK、EL为索时(如图5)，首先找到结构在预应力的作用下的自平衡状态，然后再施加荷载P。不同预应力(0.001 MPa，0.01 MPa，0.1 MPa)对质点G的Z轴坐标的影响如图7所示。由于该结构在较大预应力下难以维持稳定状态，区别于Kresling 结构顺时针转动的失稳模式，结构会整体逆向转动发生破坏，因此本文中索的预应力都比较小。随着预应力的增大，质点G的Z轴坐标并没有明显的变化，结构刚度变化规律一致。

图7 不同预应力下G 点Z 轴坐标变化Fig.7 Variation of Z-axis coordinate of G-point under different prestresses

图8为杆的弹性模量(2.1×103MPa，2.1×104MPa，2.1×105MPa)对质点G的Z轴坐标的影响。此处选择的弹性模量是为了考察材料对结构性能的影响，并不与具体的物理材料对应。随着杆件弹性模量的增大，质点G的Z轴坐标因为杆件的弹性模量不同出现了明显的变化。杆件的弹性模量越大，质点G的Z轴位移越小，结构的刚度越大。以上分析说明索的预应力变化时，结构的刚度变化规律相同；杆的弹性模量越大，结构的刚度越大。

图8 不同弹性模量下G 点Z 轴坐标变化Fig.8 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

图9为不同弹性模量和预应力下的结构应变能变化情况，当索预应力变化时，结构杆的弹性模量取2.1×103MPa，当杆的弹性模量变化时，索的预应力取0.001 MPa。从图中可以看到，随着杆的弹性模量不断增大，结构的应变能峰值不断变大。杆的弹性模量越小，结构应变能越快达到峰值。而随着索的预应力的变化，结构的应变能变化规律一致。

图9 不同弹性模量和预应力的结构应变能变化Fig.9 Energy variation of structures with different elastic moduliand prestresses

3.1.2竖框线为索的索杆模型模拟

当AG、BH、CI、DJ、EK、FL为索时(如图6)，预应力对外荷载作用下的质点G的Z轴坐标随时间变化的曲线如图10所示。随着预应力的增大，质点G的Z轴坐标仅有细微的变化，结构刚度变化规律一致。预应力过大时，质点G、H、I、J、K、L会逆时针转动以维持结构平衡，结构会整体逆向转动发生破坏。

图10 不同预应力下G 点Z 轴坐标变化Fig.10 Variation of Z-axis coordinate of point G under different prestresses

图11为杆的弹性模量(2.1×103MPa，2.1×104MPa，2.1×105MPa)对质点G的Z轴坐标的影响。随着杆件弹性模量的增大，质点G的Z轴坐标因为杆件的弹性模量的不同出现了明显区别。杆件的弹性模量越大，质点G的Z轴位移越小，结构的刚度越大。以上分析说明不同索预应力对下，该构型刚度变化规律相同，然而弹性模量的不同对该结构的刚度变化影响较大。杆的弹性模量越大，该构型的结构刚度也越大。

图11 不同弹性模量下G 点Z 轴坐标变化Fig.11 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

图12为不同弹性模量和预应力下的结构应变能变化情况，从图中可以看到，杆的弹性模量对结构应变能的影响与纯杆结构相同。而随着索的预应力的变化，结构的应变能变化规律一致。对比图9，相同结构参数下，可以看到第一种索杆的布置方式下结构的应变能大于第二种布置方式。索的预应力对第二种索杆模型刚度的影响大于第一种索杆模型，但在预应力水平较小的情况下，无法通过设置预应力明显地调控结构的竖向刚度。杆的弹性模量的不同对第一种索杆模型刚度的影响大于第二种索杆模型，在预应力相同的情况下，不同弹性模量引起的第一种结构的刚度变化更加明显。

图12 不同弹性模量和预应力的结构应变能变化Fig.12 Energy variation of structures with different elastic moduli and prestresses

3.2 索杆膜模型

根据以上的分析，在图5基础上加上膜单元，构成索杆膜模型。整个模型由12个质点构成，其中杆单元的数量为18，索单元的数量为6，膜单元的数量为12。模型如图13所示，顶部6个质点G、H、I、J、K、L作用相同的荷载P，采用斜坡加载的方式进行加载，考察膜的弹性模量和杆的弹性模量对结构竖向刚度的影响，取质点G的Z轴坐标随时间变化曲线进行分析。

图13 索杆膜模型Fig.13 Cable rod membrane model

图14为膜的弹性模量(1.0×104MPa，1.0×106MPa，1.0×107MPa)对质点G的Z轴坐标的影响。从图14、图15可以看出随着膜的弹性模量的增大，质点G的Z轴位移出现了较大的差别。膜的弹性模量越大，质点G的Z轴位移越小，结构的总应变能越大，结构的刚度越大。

图14 不同弹性模量下质点G 的Z 轴坐标变化Fig.14 Variation of Z-axis coordinate of point G under different elastic moduli

图15 不同弹性模量下结构的应变能变化Fig.15 Energy variation of structureunder different elastic moduli

图16为膜的弹性模量EM(膜的弹性模量依次为102MPa、106MPa)和杆的弹性模量EB(杆的弹性模量依次为103MPa、104MPa、105MPa)对质点G的Z轴坐标的影响。从图16所示的索杆膜结构刚度的曲线变化可知：1)膜的弹性模量不变的情况下，杆的弹性模量越大，结构刚度越大；2)杆的弹性模量不变的情况下，膜的弹性模量越大，结构刚度越大；3)当膜的弹性模量较小时，杆的弹性模量的改变对结构刚度的影响很大，当膜的弹性模量较大时，杆的弹性模量的改变对结构刚度的影响很小。

图16 不同弹性模量下质点G 的Z 轴坐标变化Fig.16 Variation of Z-axiscoordinate of point G under different elastic moduli

3.3 嵌套式Kresling 空间结构的失稳模式研究

本节对嵌套式Kresling 空间结构的失稳模式进行分析。嵌套式Kresling 结构由内部较小的Kresling结构和外部较大的Kresling 结构组合而成，根据内外两个结构旋转方向的不同，分为内外自旋方向相反(图17，模型A)和内外自旋方向相同(图18，模型B)两种。如图17，从上向下看，外部大的空间结构为顺时针旋转，内部小的空间桁架结构为逆时针旋转，二者旋转方向相反。如图18，从上向下看，外部大的空间桁架结构为顺时针旋转，内部小的空间桁架结构为顺时针旋转，二者旋转方向相同。两种模型均由24个质点构成，其中杆单元数量为72，索单元数量为12。顶部6个质点G、H、I、J、K、L作用相同的荷载P，采用斜坡加载的方式进行加载，考察内外自旋方向和内部Kresling 结构尺寸对结构竖向刚度的影响，取质点G的Z轴坐标随时间变化曲线进行分析。h为内部Kresling 的高度，aa为内部Kresling 的边长。外部Kresling 尺寸与第2部分模型的尺寸相同。

图17 内外自旋方向相反嵌套模型(模型A)Fig.17 Nested model with opposite spin directions(Model A)

图18 内外自旋方向相同嵌套模型(模型B)Fig.18 Nested model with same spin direction (Model B)

3.3.1内外自旋方向相反的嵌套结构

图19为内部不同高度，不同底边尺寸的内外自旋方向相反的嵌套空间结构在竖向荷载下质点G的Z轴坐标随时间变化曲线。从图可以看出：1)内部结构高度不变的情况下，边长越大，该结构的刚度越大；2)内部结构边长不变的情况下，高度越小，该结构的刚度越大。

图19 模型A 质点G 的Z 轴坐标变化Fig.19 Z-axiscoordinatevariation of point G of Model A

3.3.2内外自旋方向相同的嵌套结构

图20为内部结构在不同高度，不同底边尺寸时，内外自旋方向相同的嵌套空间结构在外部荷载下，质点G的Z轴坐标随时间变化曲线。从图中可以看出：其变化规律与内外自旋方向相反的嵌套空间结构相同。

图20 模型B质点G 的Z 轴坐标变化Fig.20 Z-axiscoordinatevariation of point G of Model B

如图21所示，对比相同结构尺寸下，不同旋转方向的嵌套结构质点G竖向荷载下的Z轴位移基本相同，因此内外结构的相对自旋方向对结构刚度没有影响。

图21 模型A 与B质点G 的Z 轴坐标变化对比Fig.21 Comparison of Z-axiscoordinateof point G between Models A and B

为进一步研究内部结构尺寸的变化对结构性能的影响，以模型A 为例，分别考察内部结构高度和底边长对结构应变能在竖向荷载作用下变化过程的影响。如图22所示，内部结构高度h不变时，随着底边长aa的增大，结构的应变能逐渐越大，并且均表现出双稳态现象。然而，当内部结构底边长不变时，随着结构高度的增加，内部结构不再发生失稳，结构的双稳态现象消失(图23)。因此对于内外嵌套结构，无论旋转方向如何变化，调节内部结构与外部结构的相对尺寸，能有效调节结构的应变能变化趋势。

图22 内部结构边长对模型A 应变能的影响Fig.22 Energy variation of model A with different side lengths of internal structure

图23 内部结构高度对模型A 应变能的影响Fig.23 Energy variation of Model A with different heightsof internal structure

3.4 双层Kresling 结构的失稳模式分析

本节对双层Kresling 索杆膜结构的失稳模式进行控制。为实现双层Kresling 结构的失稳模式可控，必须定量的调整两层之间的相对刚度。如果要实现下层结构失稳上层结构维持不变，则上层结构的刚度必须大于下层结构刚度，反之亦然。经过以上对索杆结构、索杆膜结构、嵌套式结构的分析发现，调整杆和膜的弹性模量，能够有效达到调控结构刚度的目的。

分析模型如图24所示，模型中单层Kresling模型的尺寸与第2部分模型相同。上下层索的预应力均取0.01 MPa。为实现下层结构失稳上层结构维持不变，上层杆的弹性模量为2.1×105MPa，膜的弹性模量为1.0×105MPa，下层杆的弹性模量为2.1×103MPa，膜的弹性模量为1.0×103MPa。在上层质点作用相同荷载P=1500 N，结构的失稳过程如图25所示。为实现双层Kresling 结构上层结构失稳下层结构不变，上层杆的弹性模量为2.1×103MPa，膜的弹性模量为1.0×103MPa，下层杆的弹性模量为2.1×105MPa，膜的弹性模量为1.0×105MPa。在上层质点作用相同荷载P=1500 N，结构的失稳过程如图26 所示。由两种不同的失稳模式可见，通过调节两层结构构件的弹性模量，成功实现了对该双层Kresling 结构失稳过程的控制。

图24 两层Kresling 空间结构模型图Fig.24 Two-layer spatial structure model based on Kresling pattern

图25 两层Kresling 空间结构下层失稳Fig.25 Instability process of lower story of two-layer Kresling spatial structure

图26 两层Kresling 空间结构上层失稳Fig.26 Instability process of upper story of two-l ayer Kresling spatial structure

图27为两层Kresling空间结构在失稳过程中结构的应变能变化。从图中可以看出，随着上层结构压缩量的增大，应变能逐渐达到峰值，当上层结构达到最大下压高度时，结构的应变能从峰值回落到一个低值，随后下层结构开始压缩，结构应变能又继续变大。整个能量变化过程体现了每层Kresling 结构双稳态失稳叠加后的特点。

图27 两层Kresling 空间结构应变能变化Fig.27 Energy variation of two-layer Kresling spacial structure

4 结论

本文采用有限质点法对基于Kresling 折纸构型的空间结构竖向荷载下的失稳过程进行了模拟。研究了不同结构布置下，结构弹性模量和预应力水平对该结构竖向刚度、失稳模式和结构应变能的影响，研究发现：

(1)对于Kresling 索杆结构和索杆膜结构，斜方向布索的索杆模型比竖方向布索的索杆膜性失稳过程中的应变能更大。在较低预应力水平下，索的预应力对结构失稳过程的影响较小。杆和膜的弹性模量对结构的失稳过程的影响较大。随着弹性模量的增加，结构刚度变大，结构变形速率降低，结构失稳后存储在结构中的应变能增大。

(2)对于嵌套Kresling 空间结构，内外结构的相对大小对结构的失稳过程有明显影响，内部结构高度不变的情况下，底边长越大，该结构的刚度越大。内部结构底边长不变的情况下，高度越小，该结构的刚度越大。通过调节内外结构的相对尺寸，可以大幅调节结构失稳过程中应变能的发展，在单调递增和双稳态变化两种模式之间调节。然而，内外结构的旋转方向对结构的失稳过程影响不大。

(3)通过调节单层Kresling 索杆膜结构构件的弹性模量，本文实现了双层Kresling 结构失稳模式的控制，为设计可控失稳模式的智能结构奠定了基础。双层Kresling 结构整个失稳过程中的能量变化体现了每层Kresling 结构双稳态失稳相叠加的特点。