定准 析清 挖深

摘 要：在高中阶段，数学的教学设计经常会出现概念过于抽象、习题过于烦琐、忽略通法等误区。本文从教学实际出发，通过用图像来直观感知数学概念、用简洁的方法来解决烦琐的高中数学问题、注重总结发散三方面的对策来解决数学设计中出现的问题，从而在教学实践中提高学生的数学核心素养。

关键词：数学核心素养;教学设计;误区

中图分类号：G427                       文献标识码：A                   文章编号：2095-624X（2021）04-0036-05

引 言

郑毓信先生近期在其文中指出了现今数学教育界的一个普遍现象：学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！这样的现象无论如何不应再继续了[1]。看来我们数学教师确实需要反思自己的课堂教学，精心进行数学教学设计，让学生学会思考数学问题的本质，从而提高学生的数学核心素养。

一、问题的缘起

笔者听了许多数学课，认识到当前高中数学教学设计中存在若干误区。这些误区直接影响学生数学核心素养的培养和提高，对教学效果产生了严重的影响。

（一）数学新授课过于抽象

许多学生觉得数学课都是数字、公式、法则、定理，枯燥无味，抽象难懂。比如，在学习“周期函数”时，学生对“周期”两字很熟悉，但是对“周期函数”的数学语言表述不能深刻理解;在学习“异面直线”时，很多学生对“不在任意一个面内”这几个字理解得不透彻;在学习“向量数量积”时，学生思考它的几何意义时过于死板。针对这些情况，教师需要在教学设计时结合学情，准确地把握学生的接受能力。

（二）数学习题计算过于烦琐

有些数学习题计算量较多，同时也存在一题多解的情况。如果教师每次都是按部就班地进行讲解，久而久之，学生就会对这类数学题目产生畏难心理。遇到难的数学习题时，教师可带领学生深挖教材内容，寻找解题捷径。经过多次这样的尝试后，相信学生会越来越喜欢数学的。这需要教师在进行教学设计时分析学生的错误所在，清楚这道题的背景来源。

（三）数学教学忽略总结发散

在讲解习题时，教师在得出正确结果后，没有进行必要的总结、归纳，讲解仅限于习题怎么解，不能升华为这一类问题怎么解。例如，很多学生对三视图还原成直观图这一类题目找不到好的总结方法，即使做很多题也无济于事。这时，教师需要在教学设计时深挖题目的背景和思想，注意总结和归纳。

二、问题的思考

教学设计指教师为实现一定的教学目标，对教学活动进行的系统规划、安排与决策。具体来说，教学设计包含以下几个层面。

（1）教学设计要依据教学原理，遵循教学过程的基本规律，制定教学目标，以解决教什么的问题。

（2）教学设计是实现教学目标的计划性和决策性的活动，因而要求教师解决怎样教的问题。

（3）教学设计把教学过程各要素看成一个系统。教师要分析教学问题和教学需求，确立解决的程序纲要，使教学过程最优化。

（4）教学设计是提高学生获得知识、技能的效率和兴趣的技术过程。

数学核心素养是指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力，是学生学习数学所应达成的有特定意义的一种综合性能力，应在教与学的过程中引起教师与学生的关注。教师研究数学教学设计，就是了解数学教学的基本规律，了解数学教学的基本原则，了解现代教学的基本理论，了解教育的本质，了解教育的价值。数学教师思考教学设计时，经常要思考教什么、怎么教的问题;思考育人时，就是要考虑学生的智力发展、理性精神培养。笔者希望通过我们的设计，教学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界，从而提升学生的数学核心素养。

三、问題的实践

（一）看图说话——用函数图象来直观感知数学概念

我们在日常生活中，发现每位学生都可以很顺畅地和别人进行沟通。碰到一个数学实例时，学生能用自然语言描述，但用数学符号去表达时会有一定的难度。究其原因，主要是数学概念比较抽象，定理比较晦涩难懂。笔者根据数学语言的特点及要求，谈谈如何用图象来帮助学生直观地感知数学概念。

【案例一】  周期函数

笔者在进行周期函数教学时，在与学生交流的过程中，发现他们没有掌握“周期”的概念，认为经济周期简图（见图1）就是周期。

显然，学生脑海中的“周期”和我们数学概念中的“周期”是有差别的。那么如何设计，让他们理解数学中的“周期”呢？

笔者认为，如果用以下3幅图来让学生直观感知“周期”的概念，相信学生会对周期函数的数学定义有深刻而透彻的理解。

图2是周期函数的一个典型——余弦函数。

图3也不是周期函数。

图4是T固定但函数值不固定的图象，所以也不是周期函数。

【设计意图】在周期函数概念教学前，由于经济学中的经济周期简图已经深入人心，大部分学生认为它的图像就是一个周期函数的图象。所以笔者设计了图4来帮助学生理解的真正含义。通过这几个例子的比较，学生会对“周期”概念中的“存在非零常数T具有性质：”这句话有较好的理解。

数形结合思想是数学解题中常用、重要的数学思想方法之一，也是中学数学教育中常见的数学思想之一。运用数形结合思想，教师可以使某些抽象的数学概念更加直观化、生动化，能够让抽象思维转化成形象思维。这样便使很多问题迎刃而解，让“难懂”的概念容易理解，有助于学生把握数学概念的本质，同时也有利于提高学生的数学素养。

【案例二】  异面直线

有一次，有两位学生为了一道题争得面红耳赤，公说公有理，婆说婆有理。

此题如下：

图5是个边长为6的正方体，其中CE=4，CF=3，求几何体的体积.

学生一的解法，如圖6所示。

学生二的解法，如图7所示。

学生一说他的方法是根据学习软件得出的，而学生二说他的方法和参考书上的答案是一致的。于是，笔者组织全班学生进行讨论。大家通过讨论和反复验算，发现两位同学的计算都没有错误。那么问题出现在哪里呢？

经过很长时间的讨论，最后大家发现这四点根本就不共面，是两条异面直线，也就是说，根本不存在面，所以最后发现是题目出错了。也就是几何体的形状都是不固定的，所以没法计算确切的体积。

【设计意图】虽然这是道错题，但是经过长时间的思考和争论后，学生都对“不同在任何一个平面”这句话产生了深刻的印象，而此题的图象能形象地诠释“异面直线”。这件事情同时也告诉学生不要完全相信辅导资料，需要独立思考。“尽信书，不如无书”，说的就是这个道理。

华罗庚教授指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来解决数学问题的一种数学思想方法。

【案例三】  向量数量积的几何意义

在进行向量数量积的教学时，笔者一般会讲几何意义1：与在方向上投影的乘积。如图8所示，这里在方向上投影为.

上述几何意义是我们在日常教学中遇到的。事实上，数量积的几何意义还可以做另外的解释。

几何意义2：如图9所示，、在任意两个互相垂直的方向上的对应投影的乘积之和，即.

学生借助图像来理解这两个几何意义，会使数学课堂变得更灵动。

【设计意图】这道题目以坐标系为纽带，使数量积与图像之间建立了对应关系，从而对数量关系的研究可转化为对图形性质的研究，反之亦然。这样既充分发挥了“形”的直观性，又注重了“数”的严谨性。这种解决数学问题中的“数”“形”相互转化、交互使用的技能，体现了“数”与“形”的两面性，反映了数学的本质。所以，教师要反思自己的教学过程，特别是要研究数学问题的教学设计。

（二）他山之石——另辟蹊径解决烦琐的数学问题

“唐宋八大家”之一的苏轼在《题西林壁》中写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”“横看成岭侧看成峰”说明从不同的角度看同一物体的视觉效果可能不同，怎样避免“不识庐山真面目”呢？笔者认为，我们不能“身在此山中”，而是应跳出山来，从山外看山，树立全面、整体的观念。

【案例四】 两角差的余弦公式的推导

在教学“两角差的余弦公式的推导”这一课时，笔者感觉很烦琐。学生总是不理解，如果学生向量知识掌握得不好，理解起来会更难。在暑假期间，笔者参加了数学培训活动，受到很多启发。于是，针对这节课，笔者做了以下设计。如图11所示，正方形ABCD，作AF=1，∠FEA=90°，令∠EAF=β，∠EAD=α，于是我们得到AD=cos（α-β），同时我们易得EF=sinβ，AE=cosβ，∠CFE=∠AEB=α，据此可以推得CE=sinβsinα，BE=cosβcosα，最后由于正方形ABCD的AD=BC，即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【设计意图】课本上是用向量去推导两角差的余弦公式的，需要学生对三角函数的定义有深入的理解。但是，有些学生对三角函数的定义理解得并不透彻，所以才会想到用几何图象来推导这个两角差的余弦公式。而用这个模型去推导两角差的余弦公式，省时省力，学生也更容易理解。

【案例五】  点到直线距离公式的推导——以向量法为例

设直线的一个法向量，Q为直线上任意一点，则.从而点P到直线的距离为：

【设计意图】每次教学这节课时，笔者总觉得书上的推导步骤太烦琐、费时，而且有时候学生花了半节课时间还推导不出来，就会产生挫败感。笔者借助向量法来推导，比较省时，效果也比较好。其实，这个结论还可以用柯西不等式来证明，与这个方法有异曲同工之妙。

兴趣是人的认知需要的情绪表现，在学生学习过程中起着极大的推动作用。因此，在数学教学设计中，教师要激发学生的兴趣，增强他们学习的自主性。数学教材因其严谨性、科学性等客观需要，不够情境化、具体化。所以在课堂引入时，教师如果照搬、照抄书本，会给学生死板、单调之感，导致学生对数学学习失去兴趣。

（三）高屋建瓴——注重总结通法，发散思维

任子朝、陈昂在论文中指出，在高考中增强基础性，有助于构建学生终身学习与发展之基础;增强综合性，有助于选拔适合社会需要的综合型人才[2]。考试中的题目和现实生活中的数学始终紧密地联系在一起。学生要从现实生活中学习数学，再把学到的数学知识应用到现实中。教师应充分发挥主动性和创造性，从学生的年龄特征出发，从他们已有的知识经验和熟悉的生活情境出发，对教材内容做不同程度的处理，在教材内容和学生求知心理之间创造一种“模型”，把学生引入一种渴望探究的状态中。

【案例六】以长方体为载体，优化立体几何教学

2008海南、宁夏理科高考卷中有这样一道题：某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则的最大值为（    ）。

本题以三视图为载体，考查学生对基本的几何图形（平面图形或立体图形）的熟悉程度，考查学生的空间想象能力。学生要想解答本题，必须想象图形，借助图形进行思考。为了使思考直观、简单，教师可带领学生对图形进行适当构造，不妨构造个长方体，结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图12所示。

构造长方体这个模型来解决此题，犹如“他山之石，可以攻玉”，起到了化繁为简的作用。如此，不但提升了学生的思维起点，培养了学生的空间想象能力，而且能让学生发现数学的美、体验数学的美，提高数学学习的兴趣。

无独有偶，学生在课外练习时，来向笔者请教了这样一道题目：已知三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥内接于球，则球的表面积与体积分别为多少？

这题的关键是算出球的半径，如果直接算的话，过程如下所示。

如图13所示，设PA、PB、PC两两垂直，且长度都为1，连接并延长交底面于点，连接AO、AE并延长交于点，则为底面的中心（重心）。易得，为的高，，在直角三角形中用勾股定理可算得，设球的半径为R，于是在直角三角形AEO中可得即，解得.接下来只需根据球的表面积和体积公式进行计算，此题就可迎刃而解了。

但是，由于三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥可以看作边长为1的正方体的一个角，也就是这个三棱锥的外接球就是边长为1的正方体的外接球。外接球的直径等于正方体的体对角线，然后，立即可以得出.

以上两种方法是截然不同的两种思路，前者针对解题而解题，后者在解题前进行了模型的构建，高屋建瓴，使学生思路更为开阔，给人一种豁然开朗的感觉。

【设计意图】在立体几何学习中，学生如果掌握了长方体这一模型，就可以解决很多类似的问题。比如，有时将一个三棱柱补成一个四棱柱，有时将正四面体放入正方体中研究，有时将三组对棱分别相等的四面体放入长方体中进行研究，有时将一个几何体分割成长方体（棱柱）加一个锥体。长方体这个载体给立体几何教学提供了很多方法。

教师在日常教学设计中要以点带面，由解决一道题类比推广到解决一类题，让学生透过现象看本质，不畏浮云遮望眼，抓住数学问题的本质，从而在解答题目的过程中提升核心素养。

四、问题的反思

笔者在教学实践的过程中，还深刻体会到，要想真正提高学生的数学核心素养，教师还需要努力做到以下几点。

（一）让生“动”起来

教学的主体是学生。如果没有学生的积极参与，教师讲解得再生动都是徒劳，而让学生“动”起来是关键。

例如，在讲解“正弦定理的运用”时，教师可让学生分组外出，测量计算旗杆的高度、西山的高度、教学楼的高度等，并整理成文和其他同学共享。这样的自主学习、合作学习及实践活动，使学生真正成为学习的主人。也许这样的教学比较耗时，但这样的学习经历给学生的印象会更深刻，能帮助学生更好地掌握相关知识。

要想提高学生的数学素养，教师需潜心钻研教材，留心积累与数学有关的案例，用心适时管住自己的“嘴”，引导学生多研究一些解法，多了解一些问题的“源”，保持对问题的敏感性和对数学的热情，让 生“动”起来。

（二）充分挖掘探究性学习教材

仔细研读教材，我们不难发现，教材编写时留下了很多的“空白”处。这无疑为我们在日常教学中开展探究性学习提供了绝佳的素材。教师只有善于钻研、精心设计，充分挖掘和利用好这些素材，才能为日常教学增添亮丽的色彩，同时对培养学生的创新精神和实践能力也大有裨益。

例如，教材中对向量数量积的五个性质是直接呈现的，那么在教学中，教师是和盘托出还是引导学生主动研究？一种明智的做法就是，教师引导学生站在哲学的高度，运用联系的观点，采用一般与特殊的处理方法去探索，从而使学生不仅在探索中证明诸多性质，还让学生感悟到应该如何去发现。不少学生还主动将探索进行了延伸，在直角坐标系下，得到了五条性质的坐标形式，培养了自身的探究能力。

结    语

数学教学设计是高中数学的难点。笔者在多年的教学中一点点地积累经验，改进教学方法和教学设计，化繁为简，希望能使学生更好地理解和掌握知识。千里之行，始于腳下，为了我们理想的课堂，笔者将不断探索数学教学设计的新方法和新思路！

[参考文献]

郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016，25（03）：1-5.

任子朝，陈昂.加快高考内容改革，增强基础性和综合性[J].数学通报，2016，55（06）：1-3.

作者简介：杨敏（1984.7—），女，浙江杭州人，中学一级教师，被评为萧山区第十八届教坛新秀。