高中数学课堂例题变式设计探析
2021-08-25陈林芳
陈林芳
摘 要：例题教学是课堂教学的重要环节，通过例题的学习使学生更加深刻理解本课堂的教学内容，提高学生对知识的应用能力。如果在教学设计中对例题进行变式教学，最大地发挥例题的有效性，提高它在课堂教学中的价值，是提高课堂效率十分有效的方式之一。
关键词：例题;例题变式;课堂教学
“在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，促使更多的学生热爱数学。”这是高中数学新课程标准提出的具体建议。站在不同的角度、情境和层次上，对教材中的数学概念、数学公式和数学定理等知识，做出相应的变化，改变具体的条件和形式，这就是数学变式训练。虽然形式发生了变化，而本质特征却不变。经过不同形式的训练，学生对数学知识的理解和掌控也会变得更加深入，因此变式教学对于深度学习知识不失为一种有效的教学方法。
圆锥曲线是高考的重点考查内容，它主要利用基本概念、标准方程及其几何性质，解决相关问题。从高考的命题方式看，选择题、填空题和解答题均有涉及。笔者在圆锥曲线的复习教学过程中，通常在例题设计环节采用了变式教学，这样不仅使知识间的联系更加明晰，形成知识网络，还能使原有的例题再发生机，达到事半功倍的效果。
一、 通过例题变式，加强对概念的教学
在相关联的平行概念中通过例题变式加深对概念的理解与掌握。例如，椭圆与双曲线的定义有一定的类似，可以同时复习;由于概念的类似，导致它们标准方程就比较容易混淆。复习中教师可以展开变式，让学生在比较中对概念及其标准方程有更清晰的理解与掌握。
【例1】 根据下列条件判断方程x29-k+y24-k=1表示什么曲线。
（1）k<4;（2）4 解析：（1）当k<4时，9-k>0，4-k>0。根据椭圆的标准方程，方程x29-k+y24-k=1表示的是椭圆。（2）当4 為了能更好地引导学生对两种曲线标准方程特点的理解与掌握，教师可以进行如下变式： 变式1 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围; 变式2 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围; 变式3 已知方程x29-k+y2k-4=1表示焦点在坐标轴上的双曲线，求k的取值范围。 通过以上的变式设计，对在相同的表达形式，k取不同的值，得到的曲线不同。可以引起学生对椭圆、双曲线概念及其标准方程的区别与联系的深入思考。通过比较得出规律，使对概念的理解更为深刻。 例题的变式可以在有类似知识背景的章节间展开，使学生更加明确知识间的区别与联系，使关联的章节形成知识网络，也能启发学生主动地归纳总结知识点，有助于梳理知识体系，有效地加深了知识的理解与掌握，避免知识混淆，基础扎实，为日后解决更难的问题提供了可能。 二、 围绕几个重要性质进行变式，加强对本章重点知识的掌握 在圆锥曲线的教学中，双曲线是十分重要的一种，在双曲线的几何性质中渐近线与离心率是研究的重点。渐近线是揭示表达式中a，b的数学关系，离心率是揭示表达式中a，c的数学关系，它们在解题中离不开对a2+b2=c2这个关系式的运用。 【例2】 椭圆x249+y224=1与双曲线共焦点，且双曲线的渐近线为y=±43x，求双曲线方程。 解析：由椭圆x249+y224=1与双曲线共焦点，得双曲线的半焦距c=5。设双曲线方程为x2a2-y2b2=1，则ba=±43a2+b2=25，解得a2=9b2=16，故所求双曲线方程为x29-y216=1。 本题条件给出双曲线的渐近线方程，可以明确a与b的比值和关系式a2+b2=c2，求对应的双曲线方程;因此教师可以围绕着a，b，c，离心率e，渐近线斜率k，进行有目的的变式练习。 变式1 已知焦点在x轴上双曲线的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程。 变式2 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1，其一渐近线被圆C：（x-1）2+（y-3）2=9所截得的弦长等于4，求E的离心率。 通过这组变式训练，学生对双曲线的离心率、渐近线方程和标准方程等概念公式的理解更加明晰，并能对三个概念的互相转化求解更加游刃有余。 课本里提供的例题基本是十分典型的，教师除了使用它，还可以通过变式，让学生通过不同程度，不同角度来感知这种题型所承载的数学知识。题目的变式研究有利于题目的推陈出新，提高教学的创新性。近年来随着教改的不断深化，创新性使用教材，培养学生的思维品质，灵活应对新高考，是教师努力研究的方向。 三、 适当改变题设条件，对题目进行梯度变式，加强思维品质的提高 学生的知识结构和能力水平均存在差异，教师可以对题目难度进行有梯度的设置，这样有利于不同程度的学生都有收获。因题目的本质相同，学生在层层递进中，逐步提高审题与分析问题的能力，同时也能抓住问题的本质，提高解决相同问题的能力。 【例3】 设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范围。（选自2014年高考全国卷） 解析：由图可知点M所在直线y=1与圆O相切，又ON=1，由正弦定理得ONsin∠OMN=OMsin∠ONM，所以122=OMsin∠ONM，即OM=2sin∠ONM。因为0≤∠ONM≤π，所以OM≤2，即x20+1≤2，解得-1≤x0≤1。
