数学与音乐艺术的完美嫁接

赵千惠 张维忠

【摘   要】分数是抽象、复杂的概念。基于跨学科教学的视角，展现了4个“用音乐艺术教授分数”的成功案例，介绍如何实施多种模式教学，直观展现分数意义;如何巧妙利用音符时值，厘清分数基本性质;如何借助图示音符分解过程，凸显运算实用价值;如何通过视觉享受光学艺术，实现“三数”间的转化。并基于案例的解读，对小学分数教学提出三点建议：要注重多维度剖析不同层级分数的意义;要深入挖掘数学思想方法在分数教学中的重要价值;要引导学生构建数学知识之间的关联。

【关键词】分数教学;数学与音乐;跨学科

小学分数知识是整数概念的拓展，深层次理解分数概念能够增强学生解决现实世界问题的能力;掌握分数知识结构是学生以后学习小数、比、统计与概率及基本代数运算等的基础[1]。分数作为小学数学课程的重要内容之一，常被视为最抽象、最复杂的数学概念，也是一些小学生在数学学习中表现出真正困难的实际起点，并由此在小学生的数学学习中出现了两极分化。[2]在我国的小学分数教学中，很多教师对分数知识的理解多基于运算法则的运用，缺乏对分数概念各个知识点之间联系的整体认识，从而在一定程度上对学生的分数学习造成影响。譬如，学生对单位“1”、平均分、分数单位等子概念理解模糊;在解决分数概念问题（连续量和离散量）时面临困难，认为等值分数不等值[3]，无法体会分数运算的实际应用价值，未能正确审视分数、小数和百分数之间的关联等。同时，分数教学中所蕴含的等价类、转换等数学思想方法也未能引起教师足够的重视，由此错失了一次实施“四基”教学的宝贵机会。由此可见，如何有效地促进我国当前小学分数教学是一个值得关注的问题。基于跨学科教学的视角，笔者通过评介国外“用音乐艺术教授分数”的成功案例[4-7]，尝试挖掘数学和音乐艺术之间的关联，以期为我国小学分数教学提供借鉴与启示。

一、实施多种模式教学，直观展现分数意义

【案例1】课程伊始，教师以生动形象的语言表述和丰富直观的视频素材为学生描述数学和音乐间的密切关联，充分调动学生的探索热情，营造良好的课堂教学氛围。紧接着，教师带领学生回忆音乐课上已学过的音乐及相关术语，如节拍、小节、五线谱、音符及时值等概念，以学生已有的知识作为生长点，建立学科间的联系。需要说明的是，我國小学音乐课程中多采用数字简谱进行教学，而本文所涉及案例中采用的五线谱操作性相对更强，故教师就需要对此进行必要补充或做出适当调整。

（设计意图：建立学科间的关联，给予学生多重感官体验，站在崭新的视角审视分数概念及平均分、单位“1”、分数单位等子概念，扩宽学生的思维广度。）

在此铺垫下，教师要为学生提供分数的视觉、听觉及触觉表征，让其参与分数的生成过程，以不同的方式实现多感官层面的直观体验及知识内化。譬如，教师可以让学生接受不同音符时值的听觉体验，重构分数的形成过程。若把全音符的时值看作一个整体，二分音符时值是其一半，则将全音符时值平均分为两份，取其中的一份即为二分音符的时值长度，故可用[12]表示二分音符的时值，以此类推。之后，通过剪纸活动生成触觉表征，若一张正方形彩色卡纸代表一个全音符，要求学生分别剪出代表二分音符、四分音符及八分音符的卡片。再如，针对分数形成的听觉及视觉表征，Tara Julia Hamilton等学者在数学和音乐中提取了“整体”这一思想要素，分别对应于一个圆或其他几何图形和单一小节。基于此，开发了XronoBeat软件，该软件能够实现音乐节奏的生成以及节拍的可视化，有助于探索和生成多层次的节奏和旋律循环。教师可通过设定不同的节奏，改变圆外有规则间隔的大小及圆内扇形区域的面积，帮助学生认识到平均分是指各部分所占地位相同，并非各部分的颜色、形状、大小等均需完全一致;分数单位的选取是灵活多变的，分子中的“1”代表1份，而不是1个，同时学会通过旋转、平移重组图形。教师还可以让学生动手改变节奏、节拍和乐器声音，切身体验分数和生成节奏之间的关联。

需要强调的是，除了上述不同音符时值、XronoBeat软件建立的分数概念的连续量情境外，教师还应该充分利用分实物等活动构建离散量情境，使学生对分数概念的认知逐渐从具体转化为抽象。此外，教师可与学生共同探讨拍号为4/4拍的小节与拍号为3/4拍的小节的异同，打破对单位“1”的刻板印象，体会数学中的“整体”思想。

二、巧妙利用音符时值，厘清分数基本性质

【案例2】教师首先说明不同音符时值及其所对应的节拍，建立不同音符之间的等价转换，即1个全音符=2个二分音符=4个四分音符=8个八分音符=16个十六分音符=32个三十二分音符（见图1）。以拍手活动为例，若学生拍手四次表示全音符，那么拍手两次表示二分音符，拍手一次表示四分音符，而双手在合上或者张开过程中的持续时间就是八分音符的相对时值。

（设计意图：基于学生对分数的已有认知，以基本乐理知识教学、数学游戏、小组讨论和班级交流分享为主线，师生共同探究如何借助音符时值厘清分数的基本性质。）

至此，教师应给予学生充足的思考与探讨时间交流个人发现，其后给出分数的基本性质。相比之下，一些国外教材把分数的基本性质称为等值分数，更加直观且易于理解，符合学生的认知特点。而在我国现有的分数教学下，在比较两个等值分数的大小时，学生常误以为分母比较大的分数，其值也比较大，或学生能机械地比较分数的大小，但要求学生有意义地解释如何比较分数大小却是很困难的。而本案例依托音符时值等价图，将不同分数间的等价关系悉数尽显，能够辅助学生掌握等值分数同量不同名的特征，降低上述问题发生的概率，不迷失于对规则的机械掌握。

同时，图1还可进一步抽象，延伸至线段模型。这是一个半抽象模型，是圆模型和其他平面模型的“再抽象”[8]。在数射线上对分数进行几何表征，丰富了等值分数表征的内涵，帮助学生理解测量意义层面的分数。譬如，在验证[12=48]时，学生不仅可以利用分数关于商的定义算出其值均等于0.5，也可以借助数射线及等分圆模型建立二者的等价关系。另外，由于音乐学科的特殊性，本文案例中所出现的分数分母均是偶数，故教师还应提供分母是奇数的情况以进行适当补充。

此外，需弥补现有教学在教授等值分数内容过程中对转换、等价类等思想方法渗透的缺失。教师可以让学生尽可能多地写出“与2个四分音符所持续时间相等的等价类音符”，强调同一事物有多种表示方式并把其归为一类，将分数的基本性质和分类思想方法结合起来。而这种等值分数之间的转化，自然就渗透着转换的思想方法。

三、图示音符分解过程，凸显运算实用价值

【案例3】首先，教师借助图1，让学生进行“谁先覆盖分数条”的数学游戏，即学生抛掷一个标有单位分数的骰子，如[12，14，18，116]，其中部分分数使用多次。当学生掷骰子时，需将出现的分数对应到不同时值的音符上并用相应卡片覆盖，其间可根据需要灵活移动自己已有的卡片，直到某一分数条被完全覆盖，率先覆盖一个等价于全音符的分数条即赢得比赛。学生在此阶段尚未正式学习同异分母的分数加减运算法则，但是此游戏给予了学生一个产生直观体验的学习机会，通过平移、拼接卡片等实操手段，切身感知分数间的加减运算，与后续学习结合产生更好的教学效果。

（设计意图：这一游戏使学生理解并掌握同异分母的分数加减运算规则，并解决与音乐相关的实际问题，让学生体会到分数加减运算的实际应用价值，提升学生联系实际以及解决问题的能力。）

其后，教师以“音符运算题”（两个音符相加减）为例抛出问题，逐步引导学生用数学语言进行问题的转述，从音符加减到分数加减，并归纳总结出一般运算规律，实现音乐与数学的完美嫁接。图2展示了[58-12]的运算过程。而只重视运算规则的教学必然是不可取的，会导致学生忽视分数加减的实际意义，出现盲目把数量加法当作比例加法处理等诸多错误。而本案例通过图示音符分解过程，动态演示了分数间的换算过程，有助于学生形成清晰的解题思路。

最后，教师要为学生创建解决实际问题的情境，凸显应用价值，增强学习成就感。譬如，围绕“每首音乐作品都是由小节构成的，不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应”这一主题，教师可要求学生用两种不同时值的音符创建新的小节并拍手表演，也可以以学生熟悉的某一首歌曲片段为例，课前将部分音符做遮挡处理，要求学生复原其中用红色问号表示的被作曲家误删的音符。此情境的设置切中学生的兴趣点，不仅能够活跃课堂氛围，还恰到好处地体现了所学知识的价值所在，使学生在这样的跨学科课堂中流连忘返。

四、視觉享受光学艺术，实现“三数”间的转化

【案例4】一直以来，在分数、小数、百分数之间建立联系，实现“三数”之间的灵活转化，对于学生来说是一个重难点。在人教版教材五年级下册“分数的意义和性质”的最后一小节中，设计了分数和小数互化这一内容，其后，在六年级上册引入了百分数的概念，并在下册突出百分数在真实生活情境中的表现形式。可见，教材的安排层层递进，环环相扣，但是对于三者之间的区别与联系没有做过于细致的对比与阐述，留有一定空白，这也就为教师提供了充足的实现教学创新的机会和发挥空间。教师应带领学生对三者进行横向比较，展现它们的异同点，着重强调数学知识之间的联系。

（设计意图：在教师的引导下，学生通过识别网格的彩色部分，对分数、小数、百分数等数学概念做可视化处理，厘清并掌握概念之间的关联和区别，站在艺术家的视角学习数学并创建属于自己的光学艺术。）

对此，教师需站在学生的视角，以其易于理解的方式，厘清数学概念之间纵横交织的脉络。而视觉上的直观冲击对于小学阶段的学生来说无疑是其最乐于接受的方式之一，故可以此为突破口。譬如，二十世纪美国艺术家Ellsworth Kelly使用了一个网格系统，将各种暖色调和冷色调彼此相对放置，以在画布上产生光学效果。教师可以从中寻找灵感，为学生提供10[×]10的方块网格，要求学生用三种及以上的颜色为网格着色或粘贴彩色小色块以完成自己的美术作品，之后统计每种颜色的个数并分别用分数、小数、百分数表示所占比重。在学生创作的同时，不断播放各种艺术家的作品以作为灵感的来源。其后，教师还可以向学生发起8[×]8或11[×]11网格的挑战，在进行检验时必然会出现所得数据加起来不足1或100%的情况，抓住时机引导学生思考原因，跨越无限小数、分数、百分数转化的这一障碍。此外，教师还可以额外引入学生熟悉的货币系统，让学生以填表的方式巩固“三数”转化的规律，如给出48%，要求写出对应的分数、小数、等值人民币金额。在本案例的教学过程中，教师需帮助学生打破知识在学生头脑中的割裂状态，正确审视已学知识之间的密切关联。

五、对小学分数教学的三点建议

基于国外“用音乐艺术教授分数”的四个成功案例，结合我国小学分数教学的现存问题，从数学跨学科教学的视角，对小学分数教学谈三点建议。

第一，注重多维度剖析不同层级分数意义。现有的教学正是缺失了对分数意义的分层理解，才导致学生在分数学习时出现了种种问题。教师须在不同的学习阶段，考虑到学生的认知特点，顺其自然地为学生讲解不同意义下的分数概念。本文所述四个案例以跨学科教学的模式，从多个维度出发，涉及分数的份数定义、商的定义以及测量的定义[9]，相比于现有的小学分数教学，更大程度地发挥学生的理解力和想象力，使其理解数学例证中的隐含意义，培养数学创造力。

第二，挖掘数学思想方法在分数教学中的重要价值。在小学阶段的分数教学中，需要着重渗透等价类、转换等数学思想方法。张奠宙教授曾指出，等价类是分类思想方法的引申，“等价类”这个名词不一定要说出来，但是对小学生来说，必须知道一个事物可以有多种表示[10]，教学中就需要有这种潜移默化的数学思想方法的渗透。除了用“一个人可以有不同的装束，但实质为同一人”为例说明等价类思想方法的内涵，案例二中依托音符，构造等价类音符时值，站在不同的视角阐述这种数学思想方法，以此收获更好的教学效果，同时也有助于数学教育的多样性叙事。

第三，引导学生构建数学知识之间的关联。分数、小数和百分数虽在不同年级教授，但是三者之间确是密切联系的。主动发现数学概念之间的区别和联系，对小学段的学生来说存在一定难度，故教师在此过程中发挥的作用就显得尤为重要。通过课堂中的适当引导及对知识的深入挖掘，提高学生对数学概念的敏感度。诸如案例四，以光学艺术为载体，把“三数”置于同一层面进行横向比较，直观拼接学生脑海中的分块知识，使之印象深刻，为之后建构数学知识的关联及进行知识迁移提供可靠样例。

参考文献：

[1]范文贵，郝翡翠.五年级学生对分数意义的理解[J].数学教育学报，2017，26（1）：70-75.

[2]郑毓信.分数的教学与数学思维[J].小学教学（数学版），2010（5）：4-6.

[3]范文贵.分数的内涵有多大？：兼谈小学分数的教学[J].人民教育，2011（17）：43-47.

[4]HAMILTON T J， DOAI J， et al. Teaching mathematics with music： A pilot study[C]//2018 IEEE International Conference on Teaching， Assessment， and Learning for Engineering （TALE）. IEEE， 2018： 927-931.

[5]KALINEC C. Uncovering the mathematical challenges and connections when using mariachi music as a representation for teaching equivalent fractions[J]. Journal of Mathematics Education， 2015， 8（2）： 3-20.

[6] ISITAN S， DOGAN M. Mathematics and Music Relationship： From Notes to Fractions[J]. Journal of Inquiry Based Activities， 2020， 10（2）： 100-111.

[7]SCAPTURA C， SUH J， MAHAFFEY G. Masterpieces to mathematics： Using art to teach fraction， decimal， and percent equivalents[J]. Mathematics Teaching in the Middle School， 2007， 13（1）： 24-28.

[8]張奠宙.分数的定义[J].小学教学（数学版），2010（1）：48-49.

[9]章勤琼，徐文彬.论小学数学中分数的多层级理解及其教学[J].课程·教材·教法，2016，36（3）：43-49.

[10]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.分数相等性质的数学内涵：兼及角的定义[J].小学数学教师，2017（1）：4-6.

（浙江师范大学教师教育学院  321004）