以“一题”变“一型”，于“无形”中寻“有型”

朱铮谊

【摘   要】变式教学是我国传统数学教学中值得保留的重要经验。新一代教师尤其要关注：课堂教学中要变“以‘一题说‘一题”为“以‘一题变‘一型”，变“以教师讲题”为“学生论题”。进行变式教学时，教师需掌握教材习题的知识内在逻辑顺序，从学生的认知水平出发，在不改变问题本质的前提下，变换问题的条件、结论、形式，形成由一题多解向多题一解转化的教学回路，使问题有“型”可寻，给学生减负，给教师减压。

【关键词】无形;变式;有型;一题多变;多题一解

学生在数学学习的过程中会遇见各式各样的问题，但很多时候，表面上看起来纷繁复杂的问题，其核心往往就是一些基本的数学概念、数学模型。通过一道题介绍一类题，让学生在变式练习中提高解题能力，是我国数学教学中值得保留的重要经验。教学中教师应关注：变“以‘一题说‘一题”为“以‘一题变‘一型”，变“以教师讲题”为“学生论题”。高效的变式教学可以有效提高学生解决问题的能力，变“双负”为“双赢”。

下面以一道关于周长的习题为例，谈谈如何利用变式教学有效提高学生解决问题的能力。

图1是由6个边长为1厘米的小正方形摆成的，如果把5号小正方形拿走，这个图形的周长和原来长方形的周长相比（     ）。

A.减少1厘米    B.增加2厘米    C.增加3厘米

这道题涉及的知识点并不难，又有具体的图形支撑，看起来只需要在头脑中“拿掉”5号小正方形，数数线段数就能得到答案，对三年级学生来讲应该不难。但在一次测试中，两个班90名学生中仅有21名学生答对了本题。为探究学生的思维过程，以便改进教学，笔者从以下三个问题入手，进行了思考与研究：（1）在解决这个问题前，学生已有的经验有什么？（2）学生是如何解答问题的？（3）教师如何组织课堂变式教学，才能让学生清晰地明确这类问题的解题思路？

一、对学生的已有经验的探寻

本题所考查的内容是“长方形和正方形的周长计算”，在做本题前学生已有了一些相关的知识经验：（1）知道了长方形周长的计算方法;（2）知道可以通过用“数”和“平移”的方法求不规则图形的周长。

学生在练习中遇到过类似的问题，如：

1.拆分后求周长的问题。

把一个长2厘米、宽1厘米的长方形，分成两个边长为1厘米的小正方形，此时的周长与原来相比（     ）。

A.增加了1厘米 B.減少了2厘米 C.增加了2厘米

2.平移后求周长的问题。

如图2所示，蚂蚁从A出发与从B出发找食物，走过的路（   ）。

A.A更近 B.B更近 C.一样近

二、对学生如何解答问题的分析

开展高效的变式教学，教师应先清楚学生是怎样想的，再决定教什么。为了便于分析，对90名学生解答本题的情况进行了统计。选择正确答案B的学生有21人，占总人数的23.3%;选择错误的学生中，选答案A的是16人，占17.8%，选答案C的是53人，占58.9%。

通过访谈了解学生解决问题时的思维过程大致如下。

1.利用平移的经验解决问题。将5号小正方形上面的1条边平移到下面后可以发现，去掉5号小正方形的图形与原图相比多了5号小正方形左右两条边，也就是多了2厘米。

2.借助数周长的经验解决问题。先数出原长方形的周长为10厘米，再数出拿走5号小正方形后的周长为12厘米，12厘米-10厘米=2厘米。

3.去掉5号小正方形后多出来了3条边，所以周长增加了3厘米。

前2种思考都是正确的，可以解决问题。而第3种思考只关注到“拿走的部分”信息，没能从整体思考，因此得到的是错误答案。

三、对教师如何组织教学的思考

借助从一道题变一类题的变式教学，可以有效帮助教师解决教学中的难点问题。以本题为例，结合四个策略谈一谈如何组织有效的变式教学。

（一）以错唤思，初探问题

从前面的测试开始。课堂上先组织学生看错例，分析选C的同学是怎样想的，经过集体交流，引导学生发现：去掉5号小正方形后多出了3条边，所以选C的同学认为周长比原来增加了3厘米，没有考虑到拿走5号小正方形后，下面的一条边减少了1厘米的周长。

分析完错例后，组织学生积极展示自己的想法，多样化的思维碰撞一触即发。学生中又多了1种想法：拿走5号小正方形后多了3条边，但少了5号小正方形下面的1条边，3-1=2厘米。

一道数学题可以有多种解题方法，一题多解可以有效发散学生的思维。思维发散出去，再聚拢回来，形成由一题多解向多题一解转化的教学回路，使思维聚焦问题本质，达到以不变应万变的解题高度。

（二）以变促思，深入探究

变式教学强调学生对知识内在联系的认知，意在拓宽思路、发展智力。教师可由浅入深、循序渐进地将问题一步步分解，满足不同层次学生的需求，启发学生进行归纳总结。课堂上教师通过三次变式教学，引导学生从不断变化的“形”中找到不变的“型”。

变式一：

图3是由6个边长为1厘米的小正方形摆成的，如果把2号小正方形拿走，这个图形的周长和原来长方形的周长相比（    ）。

（设计意图：引导学生发现拿走中间2、5的共同之处，初步感知无“形” 中的有“型”。）

课堂教学组织：先组织学生独立思考，再组织集体交流反馈，最后组织四人小组讨论：拿走2号或5号小正方形后为什么周长都增加了2厘米？引导学生发现2号、5号都是中间的小正方形，因此拿走后周长增加了3条边，同时减少了1条边，最后周长都增加了2厘米。

变式二：

图4是由6个边长为1厘米的小正方形摆成的，如果把6号小正方形拿走，这个图形的周长和原来长方形的周长相比（    ）。

（设计意图：拿走一个小正方形的情况其实只有两类，拿走中间的2号、5号和拿走角上的1号、3号、4号、6号。在对比完变式一后，再来对比变式二，学生利用之前的学习经验，更易发现拿走1号、3号、4号、6号的相同点。）

课堂教学组织：先组织学生独立思考，再引导学生比较拿走6号和拿走5号的不同，在对比中深化理解，最后组织学生进一步思考：要使周长不变，只拿走一个小正方形还可以怎么拿？引导学生发现拿走1号、3号、4号、6号这四个角上的小正方形，都是在多了两条边的同时又少了两条边，因此拿走后周长是不变的。

变式三：

图5是由6个边长1厘米的小正方形摆成的，如果把3号和5号小正方形拿走，这个图形的周长和原来长方形的周长相比（    ）。

（设计意图：拓展学生思维，打破只拿走一个小正方形的思维限制，使问题变得更灵活、更有趣，有助于学生深入探究变与不变的本质，同时为接下来的自主改编习题环节提供支架。）

课堂教学组织：组织学生与变式二进行比较。找相同：引导学生发现变式二和变式三都是拿走了一个角上的小正方形，这时周长没变;找不同：引导学生发现变式三比变式二多拿走了一个中间的小正方形，因此拿走3号和5号小正方形后周长增加了2厘米。

多层次、多样化的变式教学可以深化学生对同一类问题的理解，教师引导学生发现不同问题间的内在联系，找到同一类问题的统一解题方法，聚焦问题本质。教师在设计变式时需注意知识之间的联系，使问题具有延展性，有思维容量、有思维深刻性的变式，留给学生更多的思维空间。

（三）以创构思，活化应用

许多问题教师明明教过，但条件变一变学生又做错了，这说明学生对于一类题型的思维方式未能有效内化。因此在变式后可以让学生自己来创造问题，改变题干中的已知条件等，这样的教学形式可以多维度测试学生对数学知识的掌握情况，帮助学生更加灵活地应用所学的知识。

课堂上学生创造的题目主要分为四类：第一类，“拿走角落上的某两个小正方形，求剩下图形的周长”。如“拿走2号和3号”“拿走1号和6号”“拿走1号和3号”等。问题提出后，学生通过讨论交流，很快发现这三题在拿走图形后周长与原来周长相比是不变的。教师适时追问：为什么拿走的小正方形不同，但最后周长都不变？学生发现：都是拿走了角上的。第二类，“拿走一个中间和一个不相邻的角上的某两个小正方形，求剩下图形的周长”。如“拿走2号和6号”，学生会发现本题与变式三相似，都是拿走了一个中间的小正方形和一个角上的小正方形。此时教师追问：为什么拿走2号和3号都是拿走一个角上的小正方形和一个中间的小正方形，最后结果却不一样？经过交流讨论，学生发现，2号和3号是相邻的，2号和6号是不相邻的，2号和3号可以看成一个整体，就是拿走了一个角。第三类问题有了拓展的雏形，如“拿走任意两个小正方形，答案可能有多少种？”“拿走任意三个小正方形，图形的周长能保持不变吗？如果能，怎么拿？”第四类问题更加开放，如“有25个小正方形摆成了一个大正方形，从中任意拿走三个，怎么拿周长会保持不变？怎么拿周长会增加？”等等。学生在这样的延伸思考中更加深入地理解知识，真正地从“一题”走向了“一型”。

上述课堂变式教学的组织形式，改变的不仅仅是问题的条件、结论，还改变了教授形式，做到了以生为本，课堂上学生主動参与其中，积极思考，深入探究，在总结、归纳中找到了这一类问题中不变的“型”。这样的变式教学，使得学生解决问题的能力得以全面提升。

参考文献：

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[5]布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.北京：文化教育出版社，1982.

（浙江省海宁市南苑小学   314400）