充分经历探究过程有效培养逻辑思维

2021-08-19翁逸蓉万林峰

教学月刊·小学数学 2021年8期

翁逸蓉万林峰

【摘要】人教版教材六年级下册“整理和复习”中有一组蕴含推理思想的例题。以其中一道例题的教学过程为例，介绍如何通过一张“预学卡片”串起课堂，引导学生在不断排除矛盾、推出必然结果的思维过程中，体会演绎推理的数学思想方法。

【关键词】整理与复习;逻辑推理;探究

人教版教材六年级下册“整理和复习”单元中的“数学思考”这一部分，有4个与推理相关的例题：利用数形结合找规律、列表推理、等量代换和简单的几何证明。这4个例题素材不同，形式各异，但都蕴含着推理思想。以例2來讲，学生在解决问题时，需要经历不断排除矛盾、推出必然结果的思维过程。这其中蕴含着演绎推理的思想方法。通过《数学思考之逻辑推理》一课几次磨课的对比、调整，打破了六下整理与复习课“梳理知识结构+练习巩固”的固有模式，用一张“数学思考”预学卡（如图1）串起课堂，利用学生自主探索出来的各种方法，引导他们通过从不同角度缩小范围，最终确认唯一符合要求的答案的过程，体会“排除法”这一逻辑推理的常用策略。学生学会有根据、有条理地思考数学问题，有利于丰富、完善自身的认知结构，发展逻辑能力。

一、独立思考，盘活数学思维

小学阶段，学生较少经历演绎推理的过程。但心理学研究表明，如果能在小学高段进行演绎推理思想的感悟和培育，学生可以积累初步的演绎推理经验。对于六年级的学生来说，他们已经具备了进行简单的演绎推理的基础。教学中培养演绎推理能力是学生学会数学思考的重点，也是难点。前文预习卡中呈现的问题就是一个比较复杂的逻辑推理问题。当学生面对这样一段文字表述时，很可能思维混乱甚至无从着手。在这种状况下，教师要给学生留有比较长的思考时间，提供“数学思考”预学卡，引导学生学会有依据、有条理地进行思考和推理。后继的课堂教学中，学生就有了精彩的成果呈现。

师：课前，多数同学已经解决了“数学思考”预学卡上的题目，老师选择了一些有代表性的方法，把它们“请”到了黑板上。

师：你看懂哪种方法了？请你试着说一说小作者是怎么整理信息，怎么推理的。

生：我读懂了方法①。根据第一次到会的有A、B、C和第三次有A、E、F，可以排除A不可能与B、C、E、F同班，那么，A只能与D 同班。又根据第一次到会的有A、B、C和第二次有B、D、E，可以排除B不可能与A、C、D、E同班，那么，B只能与F同班。这样，剩下C和E同班。

生：我读懂了方法④，先把6个人和3次会列出来。第一次开会，A只可能和D、E、F同班;第二次开会，A只可能和D、E同班;第三次开会，A只可能和D同班。接着想，第一次开会，B只可能和E、F同班;第二次开会，B只可能和F同班。这样，剩下C和E同班。

……

师：还有别的推理方法吗？把你最喜欢的推理方法介绍给同桌听。

师：现在，我们着重来比较黑板上的4种推理方法。这些方法在表达方式上有什么不同？又有什么共同特点？同桌讨论交流（2人一张学习单），把交流成果写在学习单上，开始吧！

生：方法①②③用画去或打叉表示“不可能”，用打圈或打钩表示“可能”。方法④用“1”表示到会，用“0”表示没到会。

生：前3种推理的想法是“不可能和谁同班”，而最后一种推理的想法是“只可能和谁同班”。

生：这4种方法，到最后都能推出同样的结果，就是A和D同班，B和F同班，C和E同班。

师（小结）：刚才，同学们用的都是排除法，只是用不同的表达方式，从不同的角度经历了推理的过程，最后得到了相同的结果。

“数学思考”这一内容有别于常规的数学知识，对学生的分析能力和抽象概括能力有更高的要求。解决本题时，学生很难只从一段文字的表述中快速抽取重要的数学信息，因此难以解决问题。这时教师提供的“预学单”就起到了重要的作用。它可以让学生在课前有充裕的时间去读懂文字信息，去整理信息、独立思考并尝试实践推理。

学生充分经历了这一过程后，在展示预学卡片、介绍推理方法时，会更加期待交流自己的思想，也更加乐于表达推理的过程。一张“预习卡”，有效盘活了数学思维，提升了复习效果。

二、构建联系，培育推理思想

当4种方法介绍交流完毕后，考虑到学生之间理解能力的差异性，教师适时地追问：“有没有不太懂的方法？”这一问给有困难的同学又一次提供了再思考、再推理的时间和空间。同时，还顺其自然地引出了方法③，即更简洁的列表法，让学生再一次体会“排除”。

师：这4种方法中有没有你不太看得懂的？

生：方法③有点看不懂。

生：第一行中的A、B、C分别表示第一次到会的A、第二次到会的B、第三次到会的C。第一列中的A、B、C、D、E、F表示共有6个人。也用排除法。

师：方法③其实还有更简单的列法（出示表1），与之前相比，省略了什么步骤？请你试着推一推，再跟大家交流交流。

生：省略了A、B、C或D、E、F自我排除的过程。

师：方法④和前3种方法有什么联系？

生：方法④中，第一次开会，A只可能和D、E、F同班，刚好是前3种方法中第一次把B、C排除外剩下的D、E、F。第三次开会，A只可能和B、C、D同班，刚好是前3种方法中第三次把E、F排除外剩下的B、C、D，而B、C又在第一次中被排除，因此只剩下D，也就是A和D同班。依次类推，B和F同班，剩下C和E同班。

师：（出示骰子法，如图3）这是一种特别的方法，你能看懂小作者是怎么整理信息，怎么推理的？和前面的方法有什么相同的地方吗？

生：他把A、B、C、D、E、F这6个人表示在小正方体的6个面上，把相对的面看作同班班长。和前3种方法一样，是用排除法。

以上教学过程中，随着交流的不断深入，学生概括出在演绎推理中，看起来是从不同角度思考，实际上这些思考之间存在内在联系。如方法④中的“只能和谁同班”，刚好是前3种方法中被排除后剩下的部分。又如骰子法中，观察第1、3两颗骰子，发现A面与B面、C面、E面、F面分别相邻，说明A面的对面是D面。这实质上也是采用排除法来进行演绎推理，相当于方法①中，根据第一次到会的有A、B、C和第三次有A、E、F，可以排除A不可能与B、C、E、F同班，那么，A只能与D 同班。这就构建了不同角度方法间的内在联系。

整理与复习时，要解决数学思考中的逻辑推理题并不困难，难的是从不同角度经历逻辑推理的过程，并且感悟相互之间的内在联系。这离不开教师适时的追问和有效的引导，学生充分地经历多种方法的对比分析及联系过程，从中感受每种方法的优势与不足，从而从感性经验发展到理性经验，从解决问题发展到培育推理思想。

三、梳理方法，发展推理能力

当学生经历了丰富的逻辑推理过程以及感悟了深刻的推理思想方法后，就能明晰类似推理问题的特征，自己编题目了。可能一开始还是简单地模仿，但多尝试几次后，学生就能用有逻辑的数学语言表达题意，这是学生进行自我梳理、盘活数学思维、发展推理能力的最佳时机。

师：想一想，我们学过哪些类似的推理问题？你能自己试着编一编吗？

（生展示以下作品，如图4）

师：你能独立解决吗？

生：观察第2个和第3个正方体，数字1和数字2、3、4、6分别相邻，推出数字1不可能和数字2、3、4、6相对，因此数字1的对面是数字5。同理，观察第1个和第3个正方体，数字3的对面是数字4。这样，剩下的数字2的对面是数字6。

生：根据甲是语文老师，推出乙和丙只能是数学老师和英语老师。又根据丙不是数学老师，推出丙是英语老师，乙是数学老师。

师：通过这两道推理题的解答，你发现了什么？

生：左边这题用了“排除不可能”的方法，得出正确的结果。右边这题用了“只能是谁”来缩小范围，得出正确的结果。

师：像这一类推理题，我们要根据不同的角度选用不同的思考方法。

从一开始借助预学卡片的尝试实践，到现在梳理编辑类似的逻辑推理问题，并从不同角度解决问题，学生已经深深感悟到了逻辑推理的条理性和严密性。