深度认识太阳的小孔成像

孙彬

摘   要：将小孔成像中的小孔看成占据一定空间的实际图形而不是一个纯数学意义的“几何点”，将小孔成像的类型以光的传播方式为依据划分为直线传播式小孔成像、反射式小孔成像和折射式小孔成像，并进行实验研究，以大量的实验证据作为思考的起点，以“光在同种均匀介质中沿直线传播”为思考的工具，对太阳的小孔成像建立统一的模型，并对模型进行实验检验。

关键词：直线传播式小孔成像;反射式小孔成像;折射式小孔成像;模型

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）7-0055-5

1    研究缘起

初中学生学习光学，对“像”的认识通常是从小孔成像开始的，很多学生在学习了光现象和透镜等光学知识之后，对小孔成像有很多疑问，例如：凸透镜成像与凸透镜大小没有关系，那么小孔成像大小与小孔大小之间有无定性或定量的关系？为什么太阳的小孔成像内部明暗程度不均匀？为什么光屏与小孔距离较近时无法承接到像？光的反射、折射是否也能形成小孔成像的光学现象呢？教材通常将入射到地面上的太阳光近似看成平行光，以此来确定凸透镜的焦距，而对于太阳的小孔成像，显然不能将太阳光看成是平行光，学生该如何理解这其中的差异？如果太阳光不是平行光，太阳光入射到小孔的角度是多大，如何合理地解释太阳的小孔成像？

关于小孔成像，很多研究人员从不同的角度做了不同的探索与研究。例如：夏常春老師从理论上给出了如何理解小孔成像的方法[1]，席桑田老师从“像”的定义出发辨析小孔是否成像[2]，程荣贵老师从小孔成像实验器具的研发角度寻找更清晰的像[3]。笔者认为，之前的研究过于侧重“像”的本义辨析或缺少实验证据的支撑，无法有效解答学生的上述疑问。为此，笔者以初中学生已掌握的“光在同种均匀介质中沿直线传播”知识为基础，以大量实验证据为思考的起点，通过先建立模型，再用实验证实或证伪模型，让学生系统地认识小孔成像。

2    实验

将太阳光分别照射到小孔、平面镜和三棱镜三种不同的光学器材上，不妨将三种光学器材均看成小孔，将三种成像分别称为直线传播式小孔成像、反射式小孔成像和折射式小孔成像。

2.1    太阳的直线传播式小孔成像

2.1.1    探究任务：定性了解成像规律

实验1：制作最大直径不同的三个小孔，将小孔和光屏正对太阳，将光屏由近及远逐渐远离小孔，当感觉开始出现清晰的像时，测量此时小孔到光屏的距离，数据如表1所示。

由实验1可知，小孔越大，开始出现清晰像时像与小孔的距离越远，并且像总是大于小孔。而凸透镜成像的大小与凸透镜大小没有关系，说明小孔成像与凸透镜成像的原理是不同的。

2.1.2    探究任务：当部分光的传播路径受到阻碍时，太阳的像如何变化

实验2：当遮挡物没有改变小孔的最大直径时，像整体变暗了，像的大小、整体轮廓没有发生变化，像的内部明亮部分的圆形对称性被破坏，如图1所示。

实验3：当遮挡物使得小孔的最大直径变小时，光屏在相同的距离上承接的像变小了，同时变暗了。

2.1.3    探究任务：入射到小孔的太阳光是否平行

实验4：在白纸上用笔尖戳一个小孔，随着光屏逐渐远离白纸，光屏上的像逐渐变大。

实验5：在白纸上画一个正方形，在正方形的四个顶点和两条对角线的交点处分别戳一个孔。随着光屏逐渐远离小孔，太阳的像逐渐靠近，直至交叉融合，如图2所示。

若太阳光严格平行，则像的大小不会发生变化，因此实验4和实验5均能证明太阳光并不平行。

2.1.4    探究任务：太阳对小孔的张角有多大

理论计算：太阳直径约为d=1.392×106 km，实验是在2020年1月进行的，此时太阳在远地点附近，日地距离约为L=1.52×108 km，不考虑地球大气层对太阳光的偏折作用，如图3，太阳的边缘光线对地球上普通物体的张角α≈tanα≈（180/π）×（d/L）≈0.52°。

实验6：如图4所示，假设太阳光入射到小孔O1O2上，AO1和BO2是光束的边缘光线，CO1和DO2是平行光束、且垂直于小孔，A1O2和B1O1分别平行于AO1和BO2，∠β=∠AO1C，∠γ=∠BO2D，太阳对地球上普通物体的张角∠α=∠β+∠γ，L为光屏到小孔的距离，d为小孔的最大直径，Δd1，Δd2分别为非平行光束导致的像的最大直径的增量，非平行光导致像的总增量Δd=Δd1+Δd2。由于∠α，∠β，∠γ非常小，Δd=L（tanγ+ tanβ）≈Ltanα，像的最大直径d■=d+Δd≈d+ Ltanα，因此∠α≈arctan[（d■-d）/L]。为此，通过对三种不同规格的小孔进行实验，得到表2的数据，实验所得太阳对地球的张角与理论值0.52°吻合度较高。

2.2    太阳的反射式小孔成像

2.2.1    探究任务：定性了解成像规律

实验7：以三棱镜的一个面为镜面（小孔），为防止其余两个表面的影响，两表面用黑色的纸张覆盖。将光屏由近及远逐渐远离反射面，观察到成像有个最短距离，并且此距离随着小孔的增大而变大，并且像总是大于小孔。

2.2.2    探究任务：当部分光的传播路径受到阻碍时，太阳的像如何变化

实验8：当遮挡物没有改变镜面的最大直径时，像的大小、整体轮廓没有发生变化，像的部分变暗了，内部明亮部分的圆形对称性被破坏，如图5所示。

实验9：当遮挡物使得镜面的最大直径变小时，像变小了，同时变暗了。

2.3    太阳的折射式小孔成像

2.3.1    探究任务：定性了解成像规律

实验10：在光屏与三棱镜不同距离处太阳的折射图像与直线传播式小孔成像和反射式小孔成像类似，折射式小孔成像在一定距离内不成像。光屏与三棱镜距离越大，由于不同色光的折射程度不同，单色光的像逐渐呈现出来，尤其是两端的蓝色和红色图像接近圆形，其他颜色的光也能显露出圆形，如图6所示。

2.3.2    探究任务：当部分光的传播路径受到阻碍时，太阳的像如何变化

实验11：当遮挡物分别以两种方式遮挡太阳对三棱镜的入射面时，通过观察，遮挡三棱镜的部分入射面能够使太阳的像整体变暗，但成像特点不变，如图7所示。

3    模型建构

3.1    太阳的直线传播式小孔成像模型

3.1.1    对太阳的小孔成像最短成像距离的解释

如图8所示，太阳边缘光线发出的光（以一条直径的两个端点AB发出的光为例），经过小孔CD后在O点之前有重合部分，在O点之后太阳边缘的圆形像才能呈现。E为小孔CD的中点，OE是太阳边缘光的混合区域的最大直线距离，即理论上成清晰像的最短距离。∠COE=0.5∠COD≈0.5×0.52°=0.26°，OE=CE/（tan∠COE）。因此，对于4 mm，6 mm和10 mm直径的小孔，其对应的OE分别为441 mm，661 mm，1102 mm。与实验1中的各项数据对比发现，实验值普遍比理论值要大一些;小孔越小，理论值和实验值的差距越小。笔者认为，这与形成像的光通量大小和人眼对光的识别能力两个方面的因素有关。OE反映的是理论上太阳边缘光线成像的最短距离，而太阳的像的形成需要太阳各部分的光都参与，况且每一部分的光经过小孔后均是发散的，所以要形成人眼清晰可见的太阳的圆形像，光屏离小孔的距离要加长。而小孔越小，太阳的每一部分光通过小孔后发散的程度越小，呈现清晰可见的圆形像的距离就越短。

3.1.2    对太阳小孔成像明暗不均的解释

如图9，当光屏、小孔正对太阳，太阳入射到小孔的光束可以分为三类：垂直入射、斜向下入射和斜向上入射（斜入射的光也分不同的角度入射，图9中仅以最大入射角度为例进行说明）。三种光束对小孔成像的影响如图9所示，总体上会呈现中心区域明亮、边缘逐渐暗淡。当小孔直径不变，光屏由近及远远离小孔时，三种光束的交叉区域越来越小，像的中心明亮的面积越来越小。

实验12：如图10，利用平面镜1将太阳光反射一下，用小孔2选择一窄束平行光，通过光屏3观察这束光透过小孔后的行为。如果光严格沿直线传播，则其在光屏上的形状及大小与小孔相同。实验发现无论小孔形状如何、小孔尺寸多小，光屏上仍然呈现圆形“像”，且光屏上的“像”随着L增大而增大。在小孔尺寸很小时，光斑远远大于小孔，这说明一部分光必然不能沿直线传播，光由于“波动”性，表现出较为明显的衍射现象。

3.2    太阳的反射式小孔成像模型

如图11，反射式小孔成像與直线传播式小孔成像类似，每一发光点经过平面镜后的光均是发散的，因此其成像也会出现明暗不均，也会因为小孔被遮盖住部分后成像的内部出现变化。

3.3    太阳的折射式小孔成像模型

如图12，太阳光的单色光通过三棱镜后是以很小的角度发散的，因此太阳的每一种单色光的折射式小孔成像特点与反射式小孔成像、直线传播式小孔成像类似。

3.4    太阳的三种小孔成像的统一模型

三种“小孔”虽然是不同的光学器材，但是与凸透镜成像是有本质区别的，有以下几个共同点：一是光源与像没有共轭关系;二是光源上不同点发出的光通过小孔后在空间上都会有交叉的区域，在此区域内不能成像;三是光源的每一个发光点发出的光经过小孔后发散，光越远离小孔，图像越来越不能反映光源的真实信息;四是光屏在一定距离上的成像大小由小孔的最大直径决定。

3.5    太阳的发光模型

由实验10、11可以推测太阳大致上是一个球形光源;球形光源各部分都能时时刻刻均匀地发出不同的色光;不同单色光组成人眼看到的白光，即白光是复色光。

4    对太阳小孔成像模型的实验检验

4.1    对太阳直线传播式小孔成像的再实验

实验13：如图13所示，在同一张纸上分别制作形状不同、最大直径相同的小孔，在相同的距离上小孔成像大小是相等的，从而证明直线传播式小孔成像大小只受小孔的最大直径制约，印证直线传播式小孔成像的模型是可信的。

4.2    对太阳反射式小孔成像的再实验

实验14：利用三棱镜的一个面当作平面镜，制作最大直径相同、宽度不同的两个矩形小孔，如图14所示，太阳通过两个平面镜形成的反射像大小相同。由此可以推断，反射式小孔成像大小只受小孔的最大直径制约，印证反射式小孔成像的模型是可信的。

4.3    对太阳发光模型的实验检验

实验15：在不同时间、不同地点继续对太阳的三种小孔成像做实验，能够证明太阳的球形模型及发光的模型是不随时空变化的，是稳定的、可信的。

4.4    对太阳折射式小孔成像的模拟实验

实验16：借助交通指示灯进行单色光的色散实验。

太阳是球形光源，对地球上普通尺寸的光学器材来说，相当于一个圆形面光源。通过实验可知，圆形面光源发出的每一种单色光经三棱镜后均可单独成圆形像，这与前面的实验结果预测相符。由此，我们有理由相信太阳的白光是由不同色光组成的。

实验17：球形白色光源模拟太阳。

球形白色路灯通过三棱镜后的图像可以看到其成像类似太阳成像，所以太阳的成像模型是可信的。

5    问题与反思

虽然对几种小孔成像做了大量实验和统一的模型，但是仍存在以下问题：

（1）根据模型，因为像的边缘明亮程度相对中心区域是暗淡的，光屏越远离小孔，像的边缘越暗淡，因此人眼能够识别的像的边缘注定与像的实际边缘稍有不符，导致实验测量的像的大小要小于实际值。

（2）对太阳的发光解释模型只是建立在人对可见光的识别基础上，人为地将可见光进行分类。不同色光之间是否仅仅是颜色、折射程度的区别？不可见光是否也能通过三棱镜成圆形的像？这些问题还没有深入研究。

（3）太阳的小孔成像对“像”的认定是有特殊性的。由于光源与像之间没有共轭关系。对于一般的光源，随着光线经过小孔之后与小孔距离越来越远，像越来越模糊，越来越不能呈现光源的信息，即越来越远离“像”的本义。但是，对于太阳这种球形对称性光源，无论光屏距离小孔远近，理论上总能呈现圆形的轮廓。部分图形轮廓由于小孔尺寸太小，光的衍射占据主导因素，从成像反射效果分析，小孔的尺寸小到什么程度光的衍射占据主导因素，还没有深入研究。

参考文献：

[1]夏常春.如何理解小孔成像？[J].物理教学，1989（05）：35-36.

[2]席桑田.小孔成像成的是像吗？[J].物理教师，2004，25（07）：35+37.

[3]程荣贵.自制小孔成像演示器[J].物理教师，2018，39（11）：46-47.

（栏目编辑    罗琬华）