在“对-换-算”模式下对新教材函数章节学习的新思考

2021-08-19杨伟达

数理化解题研究 2021年13期

关键词：奇偶性单调运算

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

函数是刻画运动变化的数学模型和工具，它贯穿整个高中数学的始终，是高中数学的龙骨架.为此,笔者分别从对的初心、换的使命、算出结果等方面进行阐述.仅供参考.

一、“对”的初心

函数的本质是什么？简单说，理解函数的初心就是找对应.就是x与y的对应.即x的变化对应y的变化.见表1.

表1 比对函数f(x)单调性定义与最值定义

通过列表对比、观察，不难发现函数单调性定义和最值定义的相同点、不同点，这样列表对比更能深刻理解函数概念，让学生一目了然，进一步感悟函数的本质——“对”的初心.

表2 比对函数f(x)奇偶性定义与周期性定义

通过对比，不难发现函数的奇偶性和周期性具有相同的形式.因此，列表起到简洁、实用的效果.

例1已知f(x)=2x+1，g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)，求f(g(x))的解析式.

分析函数的本质就是找对应.实际操作就是涂改，可分成6步即可.

分别为：(1)涂x改x+1；(2)涂x改2x-3；(3)涂f(x+1)改2x+3；(4)涂f(2x-3)改4x-5；(5)涂g(x)改8x+1；(6)涂x改8x+1.

解析因为f(x)=2x+1，

所以f(x+1)=2x+3，f(2x-3)=4x-5.

所以g(x)=2f(x+1)+f(2x-3)=8x+1.

所以f(g(x))=f(8x+1)=2×(8x+1)+1=16x+3.

即f(g(x))=16x+3.

二、“换”的使命

1.换的视角之一——变换

函数本身的不同表征往往具有不同的表现形式，往往也导致不同的思维方式.因此，在教学中要引导学生建立函数不同表征之间的联系，选择、取舍，变换函数的各种表征，从而达到有效解题.笔者从函数章节学习了解到，在解题中常常用文字语言、符号语言、图形语言来描述函数概念，它们相互转化往往起到事半功倍的效果.

表3 比对函数单调性的定义各种语言的描述

表4 比对函数奇偶性的定义各种语言的描述

2.换的视角之二——换元、替换

在对应关系明确的情况下，实现函数换的功能就是“涂改”.在一定范围内，涂什么改什么，其它照抄，“照抄-涂改”后接着就是“算”的问题.这样换元、替换，把复杂变为简单、繁杂变为简洁、抽象变为具体、陌生变为熟悉，从而达到快速解题的效果.像这样涂x换x的形式有很多.比如：x用a换；x用-x换；x用x-1换；x用x+m换；x用ax+b换等.见表5.

表5

例2已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.

(1)求证:f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0,+∞)上单调递增；

分析(1)判断奇偶性的数学式子f(-x)=f(x).第一步：比对，找f(x),f(-x)，第二步：比对，求f(1)，f(-1)的值，见表6.

表6

(2)判断单调性(x的变化导致y的变化).

比对，见表7.

表7

显然，当x>1时,f(x)>0成立.

解析(1)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0+∞)，不妨令x1=1，则f(x2×1)=f(x2)+f(1).解得f(1)=0.再令x1=-1,x2=1，则f(-1×1)=f(-1)+f(1).解得f(-1)=0.所以f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数.

(2)设x1>0，x2>1，所以x1x2>x1>0，f(x2)>0.

则f(x1x2)-f(x1)=f(x1)+f(x2)-f(x1)=f(x2)>0.

所以f(x1x2)-f(x1)>0.

即f(x1x2)>f(x1),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.

三、“算”出结果

数学运算是数学核心素养之一.运算能力越强，学生的数学能力就越强，数学考试成绩往往越高.当前，不少学生对运算缺乏科学认识，常把运算错误归结为“粗心”“马虎”，往往在解题中重视方法和思路，不注意运算过程的合理、简洁，运算盲目、繁琐.总之，运算能力不强已成为许多学生进一步提高成绩的瓶颈.因此，在教学中必须引起重视和加强训练.

众所周知，函数章节知识贯穿高中数学的各个阶段，它常常涉及四则运算、指数运算、集合运算、对数运算、导数运算、三角运算、坐标运算、向量运算、复数运算等.而运算又包括精算和估算两种，解题过程中常常伴着“拆”“凑”“并”“引”等技巧.特别是数学应用和数学文化的出现，许多数据来自生活、来自实际，这对学生的运算能力提出更高的要求.对比函数运算见表8.