例析应用信息论提升初中学生几何论证能力的实践

冯碧莹

【摘要】图形与几何作为初中数学四个学习领域之一，是以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心，培养学生逻辑思维、推理的严密性和程序性、提高学生数学证明能力的主要载体。数学问题的解决从信息论的角度来看，就是信息的提取、存储、处理、输出，实现解决问题的运动过程。在初中几何教学过程中，教师应帮助学生建构用信息论的方法探索几何论证问题的解决的思维模式。

【关键词】核心素养;图形与几何;信息论;思维模式

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，初中数学学科核心素养包括十个方面：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。

图形与几何注重引导学生探索图形性质，注重探索与证明相结合，提高学生思维推理能力。图形与几何是培养学生逻辑思维、推理的严密性和程序性、提高学生数学证明能力的主要载体，在培养学生数学素养中有着极为重要的作用，是初中数学教学的难点。

初中学生的学习正经历从小学的直观思维向论证思维的转变，从形象思维向演绎思维过渡，思维方式的跳跃性不可避免地对初中学生带来一定的认知不适应。因此，帮助学生克服困难，学习几何是十分必要的。

数学问题的解决从信息论角度来看，就是信息的提取、存储、处理、输出，实现解决问题的运动过程;是将问题的有用信息与已存储信息的相关信息相结合，然后进行加工、重组与再生的过程。因此，在初中几何教学过程中，教师要帮助学生建构用信息论的方法探索几何论证问题的解决的思维模式。

笔者以八年级下册第十七章第29 页第13题为例，谈谈自己在应用信息论提升初中学生几何推理论证能力的做法和体会，敬请同行指正。

例：如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，求证：所得两个“月”形图案AGCE和DHCF的面积之和（图中阴影部分）等于Rt△ACD的面积。

分析与思考：

（1）从图形认知层面分析：本题是一个图形复合型问题，学生的图形认知方面存在一定的困难，特别是“月”形的认知和理解。

（2）从知识层面分析：本题的核心在于解决“三个面积”问题中，从知识层面上，直角三角形的面积和半圆面积属于学生已知范畴，但“月”形面积的求解是本题的难点和关键。

（3）从问题解决方法层面分析：由于没有直接求解“月”形面积的计算公式，所以教师要引导学生探求题目下的直角三角形、半圆和“月”形之间的面积关系是解决问题的关键。

（4）在教学中，从信息论的角度，通过问题引导，师生互动、克服图形的认知和识别的难度，把握两个关键信息（等腰直角三角形和半圆面积），通过对题目的已知信息、结论信息和存储信息的提取、加工、重组和加工，启发学生间接法求解“月”形面积，逐步探求问题解决的途径和思路。

教学过程在应用信息论指导下，形成信息组织构图（问题链形式展开）：

1.已知和结论信息的提取

（1）已知信息

文字符号：等腰Rt△ACD，半圆

图形信息：△ACD，小半圆1，小半圆2，大半圆

从而有图形分解组合：三角形=大半圆-①-②;小半圆1=月形1+①;小半圆2=月形2+②

（2）结论信息

从已知信息中，学生很容易由S△ACD=

或S△ACD=解决直角三角形面积，但对“月”形的认知和面积解决仍存在困难。

2.储存信息的提取

从学生现有存储知识中，学生易提到圆（半圆）面积公式、三角形面积公式和直角三角形勾股定理等相关知识。

3.信息加工整合

要求S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD，就必须求出“月”形面积和三角形面积。三角形面积可以直接运用公式求出，但“月形”面积求解没有公式，说明用直接法行不通。

引导学生利用从图形分解组合信息中探寻面积求解的途径：

由三角形=大半圆-①-②，结合小半圆1=月形1+①，小半圆2=月形2+②。一步一步引导学生推导出：

S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+S半圆ACE+

S半圆CFD-S半圆ACD

对比题目所求证的S月形AGCE+S月形DHCF=

S△ACD，鼓励学生再找出实证S半圆ACE+S半圆CFD-

S半圆ACD=0，即。此时，未知结论转化为已知知识。接下来，只要利用圆的面积公式，分别求出半圆的面积：

由于出现直角三角形三边边长的平方，引导学生利用勾股定理，即可解决问题。

引导学生规范写出解答过程：

根据圆的面积公式，有

因为等腰直角三角形，所以根据勾股定理，得AC 2+CD 2=AD 2

于是有，

即S半圆ACE+S半圆CFD=S半圆ACD

又因为S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD+

S半圆ACE+S半圆CFD-S半圆ACD

所以S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

4.回顾拓展

（1）此题的解决主要是通过对已知、结论和存储信息的提取，然后分析、加工、类比等手段探寻方案和信息系统。

同时，我们可能得到：

结论1：S月形AGCE+S月形DHCF=S△ACD

结论2：S半圆AEC+S半圆CFD=S半圆ACD

（2）问题的拓展探究

通过几何画板动态演示，引导学生观察思考：把等腰直角三角形换成直角三角形，结论是否仍成立，引导学生进行由特殊到一般的猜想。

教师总结：

此题拓展结论称为月牙定理（希腊数学家希波克拉底），体现了古代数学家的一种化圆为方的探究过程（此题结论在2018年全国理科高考第10题中直接考查应用）

“信息论”的教学目的是让学生从信息提取、分析、加工、重组以实现知识迁移，达到问题解决的目的。

筆者在教学实践中指导学生运用信息论，学生较好地解决了以下问题：

问题1：（八年级下册第十七章  第29页第14题）

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，顶点A在△ECD的斜边DE上，求证AE 2+AD 2=2AC 2.（提示：连接BD）

问题2：如图，正三角形ABC，E是关于BC的对称点，以E为圆心画弧，点D在弧上，求证：AD 2+BD 2=CD 2 .

笔者认为，运用信息论提高学生的论证能力，要注意以下几方面：

1.通过对已知和结论信息的提取，培养学生的信息意识。

2.通过对信息的整合过程，帮助学生体会信息加工的方法。

3.在信息的输出过程中，注重培养学生思维的深刻性。

4.在信息的拓展阶段，加强培养学生思维的广阔性。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京师范大学出版社，2011.

[2]章建跃.核心素养统领下的数学教学变革[OL].https：//wenku.baidu.com/view/490fd19231d4b14e852458fb770bf78a65293a96？bfetype=new.

[3]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].广西教育出版社，2008.

责任编辑  吴华娣