紧扣内角，感悟推理

林志辉 朱昭伟

【教材内容】

人教版数学四年级下册P69。

【缘起】

《多边形的内角和》是本版教材新增课例。该课教材先是给出“四边形的内角和是多少度？”引发思考，尝试激活学生已有知识经验，提出猜想并通过剪拼、推导计算等方法验证猜想，进而得出“四边形的内角和是360。”的结论。本课应是小学阶段少有的几何推理课例，发展学生的空间观念和推理能力应是其核心价值追求。

笔者的想法是紧扣“内角和”，以问题引导，引领学生经历“用三角形的内角和推导四边形内角和”的探究过程，进而将推导的方法推广至“多边形的内角和”，并适当感悟内角和公式模型。

其教学目标定位为：

（1）了解四边形的内角和的特征，会求多边形的内角和。

（2）经历四边形的内角和及多边形内角和的探究、推导过程，发展空间观念和推理能力。

（3）感受数学知识之间的联系，收获成功的经验，激发数学学习的兴趣。

【实录】

（一）回顾旧知，唤醒经验

1.图形对比，猜想内角

师：这是一个三角形，它的内角和是-180°。

师：猜一猜，这些图形中，谁的内角和最大，谁的内角和最小？

师：那么，四边形的内角和是多少呢？

2.学情反馈，聚焦内角

（1）测量法

师：其实，这个问题我们课前已经做了研究，这是某某同学的作品（如下图）。

师：你知道他是怎么说明四边形的内角和的吗？

学生回答，作品学生回应。

（2）剪拼法

师：这里还有种方法，它可以说明内角和是360°吗？（课件动态演示）

【设计意图：通过对比图形，反馈前测，聚焦内角和，既明确研究的对象，又为后续探索扫除知识点的障碍。借助展示激活学生测量、剪拼等方法经验，并结合课件动态演示，为四边形的内角和推导积累感性经验，还回应了学生的思考关切。】

（二）大胆探索，推理计算

1.直奔主题，推理内角

师：那能不能直接“用三角形的内角和是180°”来推导出四边形的内角和？学生独立思考、尝试解答、小组交流。反馈作品。

（1）反馈作品1师：猜猜看，他们是怎么推导的？

学生作答后出示算式。

（2）对比反馈作品2

师：你们的意思是分成两个三角形就是内角和180°×2=360°。那像这样把它分成4个三角形，四边形内角和就是1800×4= 720°？

生：这个不对，多了中间的4个角。

生：四个三角形的内角和是720°，但是中心点那里的四个角形成的周角不属于四边形的内角，所以要减去。

生：这么分割也可以，只要减去不是四边形内角和的部分就可以了。也就是180°×4-360° =360°。

课件出示，小结方法。

师：刚才大家用两种方法都推导计算出了四边形的内角和是360°。

师：如果分割成这样的三个三角形，你还能列式求它的内角和吗？

180°*3 - 180° =360°。

【设计意图：直奔主题，引导学生用三角形的内角和推导四边形的内角和。同时，图形、算式、语言、直观等形式的表征及相互间的转换，丰厚了学生对四边形内角和的理解，发展了学生的空间观念。多种方法的冲突、对比并走向融通，使学生对四边形内角和的理解更清晰、更深入、更全面、更合理。】

2.推广泛化，对比方法

（1）方法一般化

师：想象一下，是不是所有的四边形都能这样求出内角和是3600呢？

①任意拉动四边形顶点（一般四边形）进行验证。②拉动至凹四边形验证。

③小结。

师：现在我们知道，所有的四边形都能推导计算出“四边形的内角和是360°”。

（2）对比优化

师：你们可真会思考。能用这样的三种不同方法推导求出四边形的内角和是360°。那你最喜欢哪种方法？

【设计意图：优化凸显了基本方法，又再次让学生关注思考方法间联系的异同，有利于思维更清晰。】

（三）推广归纳，拓展提升

师：刚才同学们推导出了四边形的内角和，你还想推导哪些多边形的内角和？

180°

180°*2

出示任务（学习单）。

①求出五边形的内角和。

②任意画一个多边形，求出它的内角和。

学生独立思考、操作，适时小组交流。

集中反馈五边形。

（1）多类型作品展示

师：有540°、720°、900°，五边形的内角和到底多少度？（2）不同方法正例反馈

师：这几幅作品画法都不一样，怎么都推导出是5400？

生：第一种方法是分割成三个三角形进行推导，第二种是分割成一个三角形和一个四边形推导，都是可以的。

生：无论哪种方法求内角和，只要减去不是内角的部分就可以了。

【设计意图：通过正例错例冲突、多種推导方法冲突，在冲突中实现认识的提升，促进理解的深刻，也为下一步感悟多边形内角和积累了素材。】

拓展延伸。

师：现在已经知道，五边形可以分成3个三角形，它的内角和是180°×3=540°。

师：想象一下，6边形可以分成几个三角形？内角和就是——180°×4=720°。

180°

180°*2

180°*3

师：像这样分成4个三角形，内角和就是180°×4= 720°。

师：7边形呢？

生：分成5个三角形，180°×5。

师：10边形呢？100边形呢？

师：任意边形呢？

生：只要边数减去2乘以180°就可以了。

板书：多边形的内角和=（边数-2）×180°

【设计意图：充分的数形结合，充分感受几何推理的魅力，借助课件强大的数、形同步功能，让公式模型的感悟归纳水到渠成。同时通过课件动态直观，结合想象，让学生感悟到“正无穷多边形”趋向圆的现象，渗透了极限思想。】

【反思】

（一）緊扣“内角和”，感悟推理

本课始终紧扣“内角和”，从“多个多边形内角和比大小”到“猜想、验证四边形内角和”，到“推导计算四边形内角和”，再到“推导计算五边形内角和”，最后到“推导计算多边形内角和”，层层递进。前期的“猜想、验证”环节，契合学情、快速有效，为后续推导计算积累感性认识。“推导计算四边形内角和”环节作为本节课的“种子”，充分的操作、全方位的冲突、高直观的演示、方法间的勾连和对比优化，使得学生充分感悟“四边形的内角和”的推理过程。五边形的内角和推导作为练习巩固，相对于四边形，在复杂程度上有所提升，既演练推理又促进对内角和的深刻理解。后续的“多边形内角和推导”则以问题引导，在学生已有操作经验的基础上通过想象、课件直观，让“多边形的内角和”推导及公式模型的抽象一气呵成。纵观整课，可谓紧扣“内角和”，基本不离推理。

（二）几何画板助推课堂

作为空间与几何领域的课例，几何画板高直观、高互动、高动态的特性在本课中表现得淋漓尽致。先不论“用剪拼法验证四边形内角和”的动态演示，就谈几何画板在本课关键点和疑难点的关键作用。关键点：在四边形内角和推导计算的课件动态演示环节，先是几种方法动态分割成三角形的演示，三种方法间的拉动勾连，以及通过拉动顶点变形为任意四边形感悟方法的一般化，无一体现几何画板的强大优势。而在概括抽象多边形内角和公式这个疑难点，运用迭代效应，图形变化从6边形开始，到7边形、10边形、100边形，直至任意边形，数形同步变化、完美结合，内在关系始终不变，公式抽象水到渠成。而在迭代过程中，学生感受到了边数趋于无穷、正多边形趋于圆的极限思想，从长远来看，可能更有价值。