高等数学教学中数学思维培养对策探析

2021-08-15罗琼

教育现代化 2021年101期

罗琼

（黔南民族师范学院，贵州都匀）

高等数学是高校数学教学的重点课程，高等数学的学科难度要比高中数学在深度和难度上有着质的区别，必须有一定的思维能力。就高等数学的教学工作而言，现阶段大部分高校采用的教学方法非常单一，整体教学创新思维运用不足，学生的积极性不够，整体课程内容和文化教育有待进一步完善。

一高等教学中的数学思维概述

（一）抽象思维

抽象思维在高等数学整体教育思想中的发散是重点发展规划。在高校数学教育中，抽象思维的关键是逻辑思维与数学思维的延伸，表达数学思维本质的过程和客观性的发展。在高等数学课程中，理论内容是根据不断总结的数学思维案例的呈现推导出来的，并通过总结发现与规则相同的特征。例如，在高等数学的定积分理论中，可以表示为平面坐标的某个区域内的函数图像的一个区域，其上下限是为A、B两个端点的坐标，所以可以找到定积分的本质。它是象限的分割，但就著名的牛顿布兰尼茨定理的表述而言，可以在其中找到思想理论的应用。通过将这个定理延伸到定积分的表现形式与积分相连，得出一个精确的概念[1]。

（二）具象思维

具象思维的行为主体贴近形象和表象，重点是人们对客体形象的认知。在认识世界的过程中，分析物体的形状和实际特征、进行分析、总结、整合。最后产生了一种视觉化的思维方式。在处理问题时，这种心态会迅速而直观地揭示其本质。因此，在高等数学教育中，要塑造学生对数学的主观辨别能力，就必须注重具象思维的正确引导和生成[2]。

例如，在学习《一元复合函数及多元复合函数求导》这门课时，由于函数中的变量很多，所以在推导过程中有许多复杂的应答程序。这时候可以应用具象思维，先把问题用树形图的形式表达出来，再按照推理的方法一步步进行推理，这样即使是复杂的函数公式也可以很容易求解。

（三）辩证思维

辩证思维一般被认为是相对于逻辑思维的一种思维方式。它以事物的客观联系为基础，根据客观现实的辩证思维得出相应的结果。辩证思维在高等数学课程的内容中无处不在，比如高等数学的直线和曲线。在人们的基本常识中，直线和曲线的定义不同，但是在高级几何标准下，直线和曲线的定义是一样的，把直线变成曲线是学习微积分的重要知识点。因此，在高等数学学习中，辩证思维通常可以帮助学生应对很多困难。

（四）创新思维

创新思维是一种具有自身思维特点的思维方式。一般是根据客观事实和现有理论产生的，创新思维是在其他思维的基础上通过创造性发散而产生的。在一定程度上，创新思维可以说是实践思维、辩证思维和抽象思维的综合，也是高等数学答题思维最重要的部分。高等数学教育关注学生创新思维的形成，不设水平要求，无论价值如何，如果学生在学习中能自发总结出新逻辑思维或创新已有的数学思维，那就是创新性的突破[3]。

二高等数学教学中数学思维培养存在的问题

数学思维在教育心理学中理解为：“一种提供新颖而有价值的思维结果的心理过程。和其他逻辑思维一样，它不仅仅是分析、整合、比较、抽象和概括，又是协调各种思维形式的综合。”数学思维与其他思维的区别在于强调用新的认知方法，从不同的角度对客观事物进行概括和把握。有研究人员指出，目前我国高校高等数学教育以应试教育为主，教育强调知识点解释、理论推导和计算方法，但创新教育存在明显缺陷。作者根据多年高等数学教学经验和与同行业交流，高等数学课堂教学中塑造数学思维的难点问题总结如下：

（一）教育模式落后，缺乏新观念

高校高等数学教育模式单一，大部分教学课堂仍是传统的“概念-实例-实践-总结”为了更好地确保教师完成日常工作，教师往往会忽视学生的感受，教师在课堂上提出的问题较少，教师提出的问题多是基于记忆的问题，要求学生回答的问题也多为要素、定义、公式计算等等，教师只注重专业知识的传授。采用以教师为中心的教学方法，缺乏师生互动。教师不能根据学生的学习情况，给予详细的、有目的的具体指导。在学习过程中，学生主要是被动的接受者。学生的主体位置没有得到充分发挥。教师很少关注学生在课堂教学中的参与，学生也很少有机会发表不同的意见和建议。换言之，数学思维涉及创新思维，而差异性是创新思维能力最本质的特征。因此，其逻辑思维的培养与其他思维培养有着显著的不同。教师可以改变思维培养方式，而无需遵循旧的方式。在当今高等数学的教学方法中，学生很少有机会表达与老师不同的想法和观点，更不可能培养创新思维[4]。

（二）教育内容陈旧，缺乏新内容

现阶段大学数学的教学内容和课程不能满足其他课程对数学思维的要求。目前高等数学教材广泛关注基础理论的准确性和数理系统的相关性。在高等数学中，许多概念、公式、定理的产生都有实践背景，但按照完整的知识体系编入教科书时，是高度抽象和归纳的，省略了概念生成的思维过程。这样一来，数学思维创新的特点就不可能实现。数学教学应该是一个发现问题、分析问题和处理问题的过程，教材应该在教育过程中起到正确的引导作用。高等数学教材的内容忽略了概念和推论的最初选题背景。教师通常在教育中明确提出关键概念，重视公式计算推理的过程和应用价值。高等数学教育的内容重基础理论，轻应用。高等数学陈旧过时的教学内容与科技进步的迅猛发展不太吻合。

（三）单一的教师评价方法，缺乏新的措施

科学合理的测试是检测学生数学思维的有效途径，是数学思维形成成果的重要指标，是培养数学思维的重要指南。目前，大多数高校的高等数学教育缺乏数学思维的评价机制。高校高等数学评价仍多以笔试形式进行，学生成绩仅通过期中和期末考试进行评价，注重总结评价性和学习成果，缺乏诊断性评价和绩效评价，忽视了同学们的学习过程。评估教师在学校的平时表现，包括课堂效果和常规作业布置，同时，评估学生的主要日常表现，如课堂教学合作学习、课堂教学参与、课堂练习、阅读报告、小组讨论、课外活动等。教师评价的内容侧重于学生评价的数学思维方法和计算水平。学生解决困难的关键主要是模仿，通常受限于一个方向或公式，逻辑思维僵化。数学思维在一定程度上是突破，而发散性是逻辑思维的本质特征之一。当前的评估方法侧重于培养应试技能。这使学生具有扎实的数学思维基础知识，并保持良好的解决问题的工作能力，但缺乏对已知信息进行多方面、多方位、多维度的分析和思考能力[5]。

三培养高等数学教学中数学思维的措施

正如徐立志所指出的：“培养学生的数学意识和数学新思维是一个长远的目标。因此，改革教学方法，转变教师的教学观念，把学生摆在教学的主要位置上，是未来教育的主要挑战。”针对目前我国高等数学教学中数学思维培养存在的问题，结合多年高等数学教育经验，提出以下对策。

（一）改进教学方法，加强师生交流讨论

在传统的以教师为中心的高等数学教育模式中，学生被动接受教师传授的专业知识，学生在学习中难免缺乏创造性和自觉性，不利于塑造学生的数学思维。正如顾沛指出的：“如果我们总是谈论创新，但却运用不利于塑造数学思维的课堂教学实践活动，那么塑造数学思维在课堂教学文化教育中就成了宣传口号。高校应鼓励教师在高等数学课堂教学中选择多种教学策略。”教师还可以选择具有适当难度的具有代表性的数学问题，并用它们来鼓励师生交流和讨论[3]。

例如：建设性证明是数学中创造性证明的一种形式，对塑造学生的数学思维有很大帮助。老师们在教授拉格朗日中值定理证明的时候，很多同学不明白这个数学定理是如何明确提出的，辅助函数公式是如何构成的，教师在训练时要注意拉格朗日中值定理的证明。课堂教学是如何根据罗尔定理结构辅助函数公式证明拉格朗日中值定理，教师可以依靠几何图形结构辅助函数公式，用积分计算结构辅助函数公式，或从结果入手拉格朗日中值定理；根据是一个常数，可以将其设为等于k，将结论变形为f(b)-kb=f(a)-ka的形式，根据这个公式计算出的函数公式构造了一个辅助函数公式。教师还可以利用信息技术正确引导学生完成知识创新和发现的过程。学生观察并考虑是否存在与连接曲线的两个端点的弦平行的切线。教师鼓励学生发表意见，鼓励学生多方向独立思考。根据互动交流，教师致力于鼓励学生参与教学课堂，塑造数学思维[6]。

（二）重视更新教育内容，渗透现代数学思想和数学软件

第一，高度重视数学思维和基本概念的教育，适度淘汰刻板的教学方法。在高等数学的思想体系中，很多数学概念、公式计算和规律都与具体的应用有关。高等数学教育应将数学思维融入数学概念和推理的训练，结合现实世界环境展现概念生成的过程，探索数学概念的本质。

例如，在教授极限概念时，可以根据指示数轴上各点的变换，结合中国古代数学家刘徽的圆切割技术，向学生展示建立极限概念的过程，并试着用数学语言来总结一下极限定义。同时，注重对当代数学思维和前端专业知识的渗透，对日常生活中诸多行业的典型案例进行改进，如工程项目、社会经济学、生物统计学等。依然采取课堂教学极限为例，详细介绍科赫雪花图和分形几何的应用、复利问题、动态经济发展系统软件的蛛网实体模型、斐波那契等各行业极值点经典应用问题。

第二，将数学软件融入高等数学的教学内容。数学软件优化算法的开发与设计、大数据可视化、数值计算方法、数据统计分析等是塑造数学思维的主要手段，对塑造学生的数学思维具有关键作用。同时，数学软件能以几何直观和数值计算方法的形式呈现抽象的数学概念、规律和验证的过程，极大地影响了学生的数学思维。许多数学家和专家已经注意到应用电子计算机和数学软件对人才培养的重要性。依托电子计算机容易处理的教学内容，适度简化推理或确认全过程，鼓励学生学习和训练如何使用MATLAB软件进行探索性实验，使用MATLAB的计算功能发现和猜测可能的规律。在整个过程中，教师要鼓励学生进行猜测，从而促进学生数学思维的发展。还可利用MATLAB实现数值积分和积分计算，基于有限元分析或图形阐明函数公式与泰勒代数公式的关系[7]。

（三）完善评价机制，注重过程评价，适当引入开放式问题

教学评价是教学的重要组成部分，是激发和强化的有效手段。通过评价，教师可以检验学生数学思维培养的实际效果，也可以起到鼓励学生数学思维发展的作用。理想的评价机制可以检验学生的基础知识和基本技能的掌握情况，也可以检验学生在课程作业中的能力和素养水平。目前先进的数学评价机制极不利于培养学生的数学思维。因此，应从以下几个方面改变现行的评价机制。

一是改革高等数学学科评价方式。学生的学习成果不仅取决于期末考试成绩，还取决于课程评价。整个学期不定期增加几次课程考核，课程考核形式灵活多样，可以包括书本报告、短报告、单元试卷，口试等。或在每章中进行多次评估和测试。评论应包括学生通常的学习成果和使用数学软件的能力。应鼓励学生在课堂上进行猜测、思考、探索和探索，尤其要重视鼓励学生表达各种想法[8]。

二是充分发挥考试的导向作用。考试要减少死记硬背的公式和基础题的数量和比例，适当增加开放式题的考核和设置，教会学生多维度思考，培养学生的发散性思维。