基于球谐函数的三维装配体模型相似性分析方法

余志强，欧阳森山,2，孙 炜,2

(1.成都飞机工业(集团)有限责任公司,四川 成都 610092;2.西北工业大学 机电学院,陕西 西安 710072)

0 引言

随着计算机辅助技术、现代信息技术和数字化制造技术的不断发展，国内制造企业的产品全三维数字化研制体系不断完善，基于模型的定义(Model Based Definition, MBD)方法被广泛采用[1]。其中，三维模型作为人们表达设计意图和承载研制信息的重要载体，在产品设计、仿真、制造和检验中发挥了至关重要的作用。实践表明，三维数字化研制体系在缩短研制周期、降低成本方面发挥了关键作用，但围绕模型的信息定义与分析的工作量不断增加，且该类工作对人们专业知识和经验的要求也不断提高。分析发现，为了完成新产品研发，研发人员超过50%的时间被用来搜索资料，而传统的基于实例或关键字的检索方法已经难以有效定位三维数字化研制体系下的设计资源，导致重复设计问题依然大量存在[2]。

为解决上述问题，近年来三维模型检索理论和方法迅速发展，其核心在于有效判断输入模型与资源库中模型个体间的相似性，从而辅助人们快速定位可重用模型资源。从当前该领域的国内外研究成果来看，以零件为对象的模型检索方法大量涌现，而以装配体为对象的研究成果还相对较少[3]。装配体即表征产品的局部和整体结构，也是功能、性能、制造工艺和产品维护等各类设计意图的集中体现。实际上，绝大部分工业产品不以单个零件的方式存在，而是由特定数量的零件装配形成的。因此，将装配体作为主要研究对象，不但可以丰富三维模型检索理论，而且可将模型信息重用方法有效拓展到装配工艺设计、检测和产品维护等领域。

以装配体为对象开展模型检索是一项具有挑战性的工作。一般来说，首先要将装配体模型转化为可进行量化比较的描述符，然后再围绕描述符开展不同装配体模型之间的相似性分析工作，近年来，学者们已经开展了部分研究。王延平等[4]使用随机游走模型分析装配体中零件的拓扑特征，构建转移概率矩阵计算装配体之间的相似性，实现了基于拓扑信息的装配体检索；ZHANG等[5]针对零件间的配合面特征提出了配合面偶(mating face pair)概念，通过建立广义邻接面关系图(generic face adjacency graph)量化描述装配体的配合面属性，支持检索具有相似性的产品结构；WANG等[6]将装配体转化为基于形状属性的多维空间点集，采用搬土距离(earth mover’s distance)分析装配体点集之间的相似程度，该方法相似性分析效率和准确率较高，但是由于没有考虑零件的空间相对位置关系，导致部分检索结果可能出现偏差。在单独考虑拓扑特征、配合面特征以及形状信息的检索场景中，上述相似性分析方法能够较好地满足相应检索需求，然而在通用检索场景中，相似性分析方法需要同时考虑更多类型的装配体特征。在综合考虑多种特征信息的研究方面，CHEN等[7]以装配自由度和零件布局等多层次信息作为装配体检索标签，但是层次划分对检索结果影响较大，使用者需要具备一定检索经验才能确定各个属性所处层级；DESHMUKH等[8]以零件信息为节点、装配关系为连接边，构造了基于图论的装配体描述符，但是相似图的搜索算法时间复杂度较高，在大型企业模型数据库中的检索需要较长时间；HU等[9]提出一种可交互的装配体柔性检索方法，该方法中多种属性的权重参数设定需要主观判断，不利于自动化的装配体检索应用。因此，构建有效的装配体综合属性描述符并提出相对应的高效相似性分析方法，用于精准定位相似的装配体模型，实现以模型输入驱动知识发掘的迭代式设计模式，具有重要的工程应用价值。

在针对特定功能的装配体设计场景中，设计人员需要参考以往具有相似功能的设计资源。由于零件形状与位置都对装配体的功能有着直接的影响，需要一种能够同时考虑形状与位置特征的检索方法。基于此，本文以三维装配体形状以及零件相对位置关系为基础，提出一种基于球谐函数的装配体描述与相似性分析方法。首先，根据装配体中零件三维模型的形状特征，将其转化至装配体球坐标系中，通过单位球面上的球面调和变换将零件转化为形状描述空间中的点，根据装配体与零件的包含关系得到装配体对应的形状描述空间点集；然后，使用改进的Hausdorff距离度量点集之间的不相似度，完成装配体的相似性计算，给出模型库中的相似装配体检索的过程框架；最后，开展装配体检索实例验证，对装配位置不同、模型细节不同以及带宽N取值不同时相似性计算结果的差异进行分析讨论。通过上述研究，给出一种装配体相似性分析的新思路，为制造企业模型检索提供参考。

1 基于球谐函数的装配体描述方法

本文提取装配体形状信息，并以此构建装配体描述空间，将装配体形状信息及空间位置关系进行量化表示，形成与三维模型相对应的唯一数学描述符，支持后续装配体间的相似性分析。

1.1 装配体形状信息的表示

首先，提取三维模型形式的装配体形状信息。装配体三维模型α由多个零件模型p组成，可表示为所包含零件模型p的集合。零件的表面形状信息共同组成了装配体的形状信息，零件模型以零件表面点云表示，因此装配体形状信息可表示为零件表面点云的集合A，

A={P1,P2,…,Pn}。

(1)

式中：n表示装配体中零件个数;P={(xi,yi,zi)}表示零件表面点云在装配体坐标系中的坐标。本文通过网格划分软件将零件表面进行划分并形成零件表面点云。

L=max((maxx-minx),(maxy-miny),

(maxz-minz)),

(2)

其中L为采样数据中最大坐标值与最小坐标值的最大差值。获取的L值用来建立装配体包围盒，并以此为基础完成装配体点集坐标归一化。该预处理方法具有两方面意义：①规范化表示点云坐标，避免装配体尺寸与模型坐标系不统一而造成的量化表示差异，使装配体描述方法具有尺度不变性和平移不变性;②后续以装配体包络盒几何中心为原点构建球面函数，支持装配体描述方法具有旋转不变性。

(3)

其中：ri为球坐标系中原点到表面点的距离;θi为原点到表面点的连线与正z轴之间的维度角;φi为在xy平面的投影线与正x轴之间的经度角。

1.2 基于球谐函数的描述符构建

基于1.1节所提取的装配体在球面坐标系下的坐标信息A′，通过球谐函数将零件映射到量化描述空间[10]，用于构建装配体描述符的球谐函数，如式(4)所示：

(4)

(5)

则装配体中第i个零件Pi在频带宽度l下的相对频率如式(6)所示：

(6)

为了在同一量化描述空间中对不同装配体中零件进行量化比较，构建基于球谐函数的形状描述空间。

定义1形状描述空间。是一个具有N个维度的欧式空间，各个维度对应零件各个能级的能量分布。因此，零件P的球谐函数信息可以表示为N维空间中的一点，将零件P转化为基于球谐函数的量化描述符，如式(7)所示。

Q=(q0,q1,…,qN-1)。

(7)

式中N为描述空间的维度，与零件的能级分布带宽相同。

根据装配体与零件的包含关系，构建基于球谐函数的装配体描述符。

定义2装配体描述符Da。是与装配体α具有对应关系的量化描述形式，在形状描述空间中以空间点的集合形式表示，集合中每个点代表所包含的一个零件，如式(8)所示：

Da={Q1,Q2,…,Qn}。

(8)

式中：n为装配体中包含零件的个数;Qi为描述符Da中的一个N维空间点，对应装配体α中的一个零件Pi。以装配体α为例，装配体描述符如图1所示。

球谐函数表示方法可以将空间域信息转化为频域信息。与空间域信息相比，频域信息具有更好的鲁棒性，可以减小外界噪声信息对原有信息的影响。基于球谐函数的装配体描述符表达了所包含零件的形状及空间位置信息，同时具有平移、尺度、旋转不变性，以支持装配体的检索。

2 基于Hausdorff距离的装配体相似性计算

通过构建装配体描述符，将装配体间的匹配问题转化为多维空间中点集之间的距离问题。本文选取Hausdorff距离对描述空间中点集进行距离计算。计算模型库中的所有装配体描述符与待查询装配体描述符之间的距离，即可得到装配体检索结果。

2.1 装配体相似性的计算

点集匹配问题的解决方法是找出装配体之间的零件对应匹配关系，在最相似零件之间完成匹配后，再根据对应关系将零件的相似性汇总为装配体的相似性，因此装配体相似性计算即为点集距离计算。针对点集距离计算问题，本文采用改进的Hausdorff距离匹配(Matching Hausdorff Distance, MHD)算法[11]计算两个点集之间的距离，如式(9)所示：

MHD(X,Y)=max(mhd(X,Y),mhd(Y,X))，

(9)

以两个装配体X、Y的相似性计算过程为例，X、Y分别代表检索目标装配体和检索源装配体，假设装配体X中含有n个零件模型，装配体Y中含有m个零件模型，通过球谐函数计算分析完成对装配体的定量描述，得到代表两个装配体描述符为X=(x1,x2,x3,…,xn),Y=(y1,y2,y3,…,ym)。利用式(9)可以计算得出两个装配体的距离即不相似度为MHD(X,Y)，利用改进的Hausdorff距离对两个装配体进行匹配的过程如图2所示。

改进的Hausdorff点集距离计算方法综合考虑了整个点集间的距离，不会因为孤立点距离太远而否定整个点集的相似性，从而减少了孤立点对计算结果影响。通常情况下，从装配体X到Y的距离mhd(X,Y)和从装配体Y到X的距离mhd(X,Y)不相等，通过选取两者中的较大值作为计算结果，保证了只有当两个点集距离都很小时(即分别以一个装配体为检索目标，另一个为检索源时计算结果都很小的情况)，才会认为这两个装配体是相似的，满足装配体检索过程中对于彼此相似的需求。另外，该距离计算方法可以计算不同个数的点集，即包含零件个数不一致的装配体之间可以进行相似性计算，这一点符合实际的检索情况。

2.2 相似装配体的检索流程

装配体检索流程首先输入装配体三维模型，将输入装配体与模型库中的装配体进行一一比对计算，按照不相似距离的大小将对应的装配体三维模型进行升序排列，输出得到排序靠前的相似性结果以及对应装配体，作为最终的相似装配体查询结果。检索流程如图3所示。

图3 相似装配体的检索流程

3 实例验证

为验证本文所提算法的可行性与有效性，进行了装配体相似性计算实验以及装配体检索实验，并对模型细节不同以及带宽N取值不同时相似性计算结果的差异进行了分析讨论。

3.1 装配体检索实验

装配体检索实验以一个包含106个装配体的模型数据库为分析对象，模型数据库包含多个类型装配体，其中同类别的装配体结构、形状较为相似，部分装配体如图4所示。本实验所使用的计算机平台为64位Win 7操作系统，处理器为Intel(R)Core(TM)i5-4210U CPU@1.80 GHz，运行内存为4.00 GB。零件表面网格划分软件为Meshlab。

本文选取5组装配体的检索结果进行具体分析，按照2.2节中装配体检索流程进行检索实验。输入查询装配体后，与模型库中装配体进行相似性计算，记录不相似度数值并排序对应的装配体，保留不相似度最小的前8项作为检索结果，各组检索结果如图5所示。

由实验结果分析可知：图5b、图5c、图5e组检索效果较好，检索输出的模型与检索目标装配体均属于同一类型，该相似程度排序比较符合主观认知；图5a、图5d两组模型检索结果里包含了与源装配体不属于同一类型的装配体，视觉上的相似性效果比较差。通过检查模型库发现，图5a、图5d两组中都只有7个同类型模型，相似装配体均被检索出来。其中图5d组的检索结果不太理想，其中非同类模型排在了第4位。通过对比装配体发现，图5d组第4个模型中含有与查询装配体相似的零件，并且与其他零件大小规格上相近。分析原因如下：模型经过球谐分析后采用在频带宽度l的能量作为特征，是装配体信息的一种近似量化描述。因此，存在零件不相似但能量表达相似的情况，该情况下需要检索人员参与判断，获取有效的相似性装配体。

3.2 问题讨论

(1)装配位置不同时相似性分析

为验证所提方法对于零件相同但相对装配位置不同的装配体的区分能力，本文选取如图6a所示的导轨支架模型进行重新装配，得到如图6b所示的导轨支架模型，应用本文提出的模型相似性分析方法对这两个模型进行相似性计算。

通过实验计算，得到两者的不相似度为0.097，说明本文提出的分析方法可以区分组成相同但装配位置不同的两个装配体。两个装配体之间的不相似度较小是由于本文使用Hausdorff距离作为装配体相似性分析算法，该方法为各个相对空间点距离的平均值，导轨支架模型a与导轨支架模型b存在许多相同零件模型且位置并没有发生变化，这些模型的点之间的距离可表示为零，但因为部分零件的位置发生改变产生了不相似度，所以计算所得不相似度非常小。

在进行装配体检索重用时，对于属于上述类型但是装配结构十分复杂的装配体，可能无法直接观察到存在差异的地方，通过本文提出的检索方法，检索人员在重用时可以对这种模型进行分辨，最终得到自己所需的最优结果。

(2)细节不同时相似性分析

为验证所提方法对于装配体细节的区分能力，本文以原始装配体为输入模型，对装配体中各个零件进行细节处理，保证其轮廓和大小相同但在细节程度上不同。颜色不同的部分表示与原模型的细节不同，从只有一个零件被替代到4个零件全部都被替换，将4个相似模型与原始模型进行相似性分析，得到如图7所示的计算结果。

由计算结果可以看出，随着装配体替换零件的增加，装配体与原始模型的不相似值也随之增加，说明本文所提出的装配体相似性分析方法能够有效量化描述装配体之间的差异。

(3)带宽N取值分析

本文在上述实验过程中采用N=32作为带宽开展讨论。球谐函数的带宽变量N影响描述符的精度，N值越大，描述符的精度越高。然而，提高N的取值会增加装配体描述符的时间消耗，因此为了分析描述符精度与耗时之间的关系，本文对N取值进行讨论。选取图6中两个零件进行带宽取值分析的讨论，计算N分别取8、16、24、32、40、48、64时所用总时间，图8所示结果均为1 000次描述符构建的总时长(单位:s)。

从图8可以看出，随着N值的增大，建立装配体描述符的时间几乎是按照指数形势增加。当带宽N取16以上，对本文数据库中的装配体检索结果没有影响。对于实际工程应用中，检索人员可以根据预处理时间的要求尽可能提高带宽的取值，以取得更准确的检索结果。

4 结束语

在三维模型成为产品研制信息的主体承载之后，模型信息发掘作为知识重用的基本前提，对有效降低模型定义和分析的复杂度，缩短产品研制周期和降低研制成本显得尤为重要。本文考虑装配体的形状以及组成特征，提出一种基于球谐函数的装配体相似性分析方法。首先，提取零件表面点云以表示装配体形状信息，基于球谐函数建立具有平移、缩放以及旋转不变性的装配体描述符；然后，将装配体相似性比较问题转化为描述符点集在描述空间中的距离比较，利用改进的Hausdorff距离算法对装配体相似性进行分析；最后，通过相似装配体的检索实验验证了本文提出相似性分析方法的有效性，并针对装配体中零件位置、零件细节的区分能力对本文方法进行分析。该研究能够有效量化分析装配体之间的相似程度，可作为建立企业模型检索系统的参考分析方法。

未来，在本文所提方法基础上，继续深入研究装配体之间相似程度的关键影响因子，并且在数学层面上对该方法进行更严格的论证，从而构建出更加完备、准确的企业模型检索系统。