一道竞赛试题引发的思考——对第37届全国中学生物理竞赛预赛第6题的商榷

肖 艳

（山东省寿光市寿光世纪学校，山东 寿光 262700）

1 竞赛真题呈现

全国中学生物理竞赛是中学物理界的高水平赛事，很受社会和中学师生的关注和青睐.2020年9月5日举办的第37届全国中学生物理竞赛（预赛），试题中的第6题［1］是以篮球碰撞地面时损失机械能的原始物理问题［2］为背景，命制的一道力学题.可该题及参考答案的科学性值得商榷.

例题.某同学在原地进行单手运球训练中发现，让篮球从静止开始下落并自由反弹，弹起的最大高度比原来低20 cm.为了让球每次都能弹回到原来的高度，当球回到最高点时，向下拍打一次球，每分钟拍打100次，篮球质量为600 g.取重力加速度大小为10 m／s2.不计空气阻力和拍球瞬间的能量损失，则该同学每次拍打小球需做功为______J，拍打小球的平均功率为______W.（参考答案：1.2 J；2.0 W）

2 对原题的讨论

2.1 碰撞中损失的机械能的定性分析

众所周知，在非弹性碰撞中损失的机械能，是由于碰撞的物体发生非弹性形变（不能完全恢复）造成的.若碰前篮球能量大，碰撞时与地面的相互作用力大，地面的形变量大，损失的机械能多；若碰前篮球能量小，碰撞时与地面的相互作用力小，地面的形变量小，损失的机械能少.由此可见，碰撞损失的机械能跟碰前篮球的机械能的大小有关，题目给定的“让篮球从静止开始下落并自由反弹，弹起的最大高度比原来低20 cm.”这个条件中，由于损失的机械能确定了，所以篮球的下落高度应该是唯一确定的，但题目又没有给出这个高度，这显然是不恰当的.

2.2 碰撞中的恢复系数取决于材料的性质

如图1所示，设两球碰撞前速度分别为v1、v2，碰撞后两球速度分别为v1′、v2′.牛顿于1686年通过实验总结出了一个碰撞定律：［3］两球碰后的分离速度v2′-v1′与碰前的接近速度v1-v2成正比，比值由两种材料的性质决定，即

图1 两球碰撞前后的速度示意图

e称为恢复系数，不同碰撞材料的恢复系数可由碰撞实验测定，恢复系数e（0≤e≤1）的大小主要取决于碰撞材料的性质.e=1的碰撞叫弹性碰撞，此时分离速度等于接近速度；0＜e＜1的碰撞叫非弹性碰撞，此时分离速度小于接近速度；e=0的碰撞叫完全非弹性碰撞，此时碰后两物体粘合在一起，合二为一，不再分开.

由于本题中碰撞物篮球和地面这两种碰撞材料没有变，所以每次碰撞时篮球和地面的恢复系数不变.

以向下为正方向，根据题意，不拍篮球，从h高处自由下落的篮球的接近速度为，篮球反弹的高度比原高度h低Δ h=2 0 c m，则反弹速度为，根据（1）式得篮球和地面的恢复系数为

由于题目没有给定篮球从静止开始下落的高度h，只给定了篮球自由反弹，弹起的最大高度比原来低20 cm，即Δh=20 cm是定值.

因此，笔者建议在此题描述的物理背景下作必要的修改，给定篮球下落高度，但不给定向下拍球做功的时机（位置），使其成为一道考查学生物理建模能力的计算题.

3 试题的修改与解析

修改题：某同学在原地进行单手运球训练中发现，让篮球从静止开始由1 m高处下落并自由反弹，弹起的最大高度比原来低20 cm.为了让球每次都能弹回到原来的高度，请在恰当的时机向下拍球对其做功补充能量，每分钟拍打100次，篮球质量为600 g.取重力加速度大小为10 m／s2.不计空气阻力和拍球瞬间的能量损失，求：（1）该同学每次拍打小球需要做的功；（2）该同学拍打小球做功的平均功率.

解析：由于修改后的题目未给定向下拍球做功的时机，需要考生根据原始物理情境，建立正确的向下拍球补充能量的物理过程模型.

考虑到篮球每次与地面碰撞后，向下拍球做功补充能量的可重复性，只能在篮球开始下落高度1 m处向下拍球做功补充能量，使球碰撞地面后反弹到达原高度.

设每次向下拍篮球做功为W，由于篮球下落或上升的过程中机械能守恒（碰撞的极短时间这一过程中有能量损失），则拍球后碰撞前的机械能是（mgh+W），碰撞后要回到原高度h，碰撞损失的机械能是W.

4 向下拍球与地面碰撞时损失机械能深度分析