肥皂膜筛子的“负”过滤特性研究

肖 晓 钟 鸣 陆建隆 王 巍，*

（1.南京师范大学物理科学与技术学院，江苏 南京 210023；2.南京师范大学教师教育学院，江苏 南京 210023）

在生活中，常见的带孔筛子能过滤物体的体积，可以使体积较大的物体留住，体积较小的物体透过.而一张普通的肥皂膜也可以作为筛子，它可以过滤物体的重量，留住较轻的物体，却透过较重的物体，像是拥有一种 “负”的过滤特性.这种能“留轻漏重”的肥皂膜筛子有很重要的应用，例如在开放式的外科手术中，使用类似的肥皂膜筛子，就能让手术工具通过薄膜进入伤口，而灰尘和其他较轻的碎片将被膜阻隔，从而让手术在干净安全的环境中进行.［1］所以该现象非常值得研究.

本文将探究这种肥皂膜筛子“负”过滤现象的物理机制，解释为什么轻颗粒会被留住、为什么重颗粒能透过并且膜会愈合；接着对肥皂膜筛子能“漏多重”、“留多轻”和“用多久”这3个过滤特性进行实验探究和理论分析，设计了不同浓度的膜过滤物体的实验相图，并由此验证膜过滤的理论判据.

1 肥皂膜筛子的“负”过滤现象

图1是搭建的实验过滤装置，在铁架台上固定铁环、尺子和可调节的物体释放台，这套装置在观察现象的同时可以控制变量进行实验探究.图2为待过滤物体，采用4种颗粒体积从左到右依次由大到小但单颗质量均在mg级别的石英砂.图3是肥皂膜配制装置，购买浓缩泡泡液，将泡泡液与水的浓度比控制在1∶1至1∶9范围内，把半径为6.25 cm的铁环浸在配置好的肥皂液中，慢慢取出就可以得到一张性能较为稳定的肥皂膜.

图1 过滤装置

图2 待过滤物体（石英砂）

图3 肥皂膜配置装置

图4和图5分别展示了轻物体被留住和重物体透过肥皂膜的实验现象.图4（a）是单个物体颗粒留在肥皂膜上，图4（b）是颗粒聚团留在膜上.首先，膜会部分包裹着物体，若轻物体的重量没有达到过滤临界值，就会被留在膜上，受到扰动的膜有着自己的修复机制而不破裂；若重物体重量超过过滤临界值，会继续下落，被拖长的膜颈部在表面张力产生的附加压强的作用下钉轧成两部分，一部分包裹着物体下落，如图5（a），然后重物透过肥皂膜，而膜本身经过自我修复愈合也不会破裂，如图5（b）、（c）.

图4 肥皂膜留住较轻的物体

图5 肥皂膜透过较重的物体

2 肥皂膜筛子“负”过滤现象的物理机制

2.1 为什么肥皂膜筛子能留住轻物体——马兰格尼效应

对于液体膜而言，受表面张力的作用会倾向于收缩成液滴从而降低表面能.因此表面能越高，液膜越不稳定.由于液膜有上下两个表面，其表面能公式为［2］

式中γ是表面张力系数，S是膜表面积，表面能与液体的表面张力系数成正比.由于水的表面张力系数很大，大约为7.28×10-2N／m（20℃），因此水的表面能很高，很难形成水膜；而肥皂膜的主要化学成分是高级脂肪酸盐，是一种表面活性剂，能降低液膜的表面张力，因此能形成表面张力系数低于水的肥皂膜，且膜的液水浓度比在1∶1至1∶9的范围内时比较稳定.本实验利用毛细管法［3］测量肥皂膜的表面张力系数，发现液水浓度比在1∶1至1∶9范围内其表面张力系数变化很小，约为2.78×10-2N／m（20℃）.

如图6所示，肥皂膜是一种双分子层夹带少量溶液的结构.［4］其中，表面活性剂的憎水基（图6中曲线段）倾向于接触空气，亲水基（图6中圆点）倾向于接触水，这就导致膜面的表面活性剂浓度比膜内高，从而降低了膜面的表面张力，使膜更加稳定.当物体落在膜上，动能较小时，膜产生轻微形变.从图7可以看出，肥皂膜表面受到扰动，表面单分子层被破坏，由于膜面的表面活性剂的浓度高于膜内，因此在肥皂膜表面会产生活性剂浓度差，从而形成表面张力梯度，并在表面产生剪切应力，表面张力大的液体对其周围表面张力小的液体产生较大的拉力，使液体从表面张力低向张力高的方向流动，膜就能维持稳定形态，这就是马兰戈尼效应，也是膜的自我修复机制.

图6 肥皂膜的结构

图7 肥皂膜受扰动的结构

2.2 为什么重物体能透过并且膜能自我愈合——表面张力产生的附加压强作用

由于体积较小的石英砂团与肥皂膜之间的分离过程很快，不易观察分析，于是通过观察体积较大的乒乓球透过膜来放较重的物体透过膜的过程.从图8可以看出，下落的乒乓球具有较大动能，膜包裹着乒乓球并且被拖长，颈部逐渐收缩被夹断，上半部分愈合成膜，下半部分包裹乒乓球下落.

图8 乒乓球透过膜的过程图

膜颈部曲面由表面张力产生的附加压强由下式表示［4］

其中γ为表面张力系数，R1和R2为颈部较细位置和其外表面的界面主曲率半径（如图9中标出的圆，它们所在的平面互相垂直），两个主曲率圆受力都指向圆内，且外表面曲率为负，故R1·R2＜0.其中半径为R1圆部分的表面张力有使颈部收缩的趋势，而半径为R2圆部分的表面张力有使颈部扩展的趋势，两者存在相互竞争.但因半径为R1圆半径更小，在（2）式中可以看出，它相较于半径为R2圆影响更显著，因此物体下落的动态过程中颈部收缩的作用会大于扩展作用，被拖长的膜在附加压强的作用下收缩夹断，上下两部分膜经过基于马兰格尼效应的修复机制维持稳定，最后作衰减振动.

图9 主曲率圆示意图

总的来说，肥皂膜的过滤现象是由表面张力控制的肥皂膜的变形与恢复产生的.

3 肥皂膜筛子的“负”过滤特性

本文将探究肥皂膜筛子能“漏多重”的物体、“留多轻”的物体和能“用多久”这3个过滤特性.其中“漏多重”指一定高度下恰好能被肥皂膜滤除的物体的重量；“留多轻”指准静态情况下肥最多能留住多大重量的物体；“用多久”则指一个肥皂膜作为筛子工作时的使用寿命.

3.1 过滤特性1：“漏多重”的研究

实验发现，在不同高度释放同一重量的物体，其过滤情况是不同的.在2018年Birgitt Boschitsch Stogin等根据能量关系定义了肥皂膜过滤的能量判据E*，即比较肥皂膜表面能ES与可忽略不计的损耗能Ediss的差和物体动能Ek之间的大小关系［1］

其中表面能ES可表示为

式中r0为物体半径，R0为肥皂膜半径.物体动能可以利用能量守恒定律，通过物体下落至膜的重力做功来表示

可见，物体能否透过膜除了和自身重量大小mg有关，还与其下落高度h有关.为了直观呈现双变量对肥皂膜筛子过滤的影响，实验设计如下.对物体下落高度h的每个值，通过改变物体质量m描绘一个留住与透过的相图（画圈表示留住，画叉表示透过），如图10所示，在离膜1.5 cm高度处释放质量依次增加的物体，质量为5.8 mg的物体被膜留住，而6.3 mg的物体却能透过膜，因此存在一个平均临界重量.改换参数多次实验，可以作出一条分割二维坐标的状态图线，图线左下部分为物体留住、图线右上部分为物体透过.在同一高度下，物体的重量大小决定了其在肥皂膜筛子上是留住还是透过.因此，这个相图直观反映了肥皂膜筛子在一定高度能“漏多重”的物体.

图10 1∶1液水浓度比肥皂膜的过滤相图

改变肥皂膜的液水浓度比，从图11可以看出，1∶3液水配比的膜能在同一高度下留住较大重量的物体，因此它的过滤性能较好.这是由于当液膜很浓时，表面活性剂浓度大，液膜分子间的表面张力很小，于是膜表面能变小；当液膜很稀时，表面活性剂浓度低，肥皂膜弹性差，过滤能力也会变小.

图11 不同液水浓度比肥皂膜的过滤相图

为了获得物体过滤情况的判断机理，首先对于损耗能Ediss简化为忽略不计项.将实验中测得的物体半径、质量、高度等数据代入理论公式（3）至（6），可以绘制出不同液水浓度比肥皂膜的能量过滤判据，如图12所示.纵坐标是能量的临界判据lnE*，横坐标是物体半径.在理论上lnE*等于0为是否透过肥皂膜的临界值，lnE*等于0由公式（3）可知肥皂膜表面能ES与物体动能Ek相等，即物体动能近似等于膜的表面能时，物体恰好能透过膜.如果lnE*＞0，由公式（3）可知肥皂膜表面能ES比物体动能Ek大，则物体会留在肥皂膜表面，如果lnE*＜0，则肥皂膜表面能ES比物体动能Ek小，物体则透过肥皂膜.本文实验中lnE*整体偏低是因为在简化理论的过程中省去了一部分的损耗能Ediss，物体透过膜时，动能Ek除了克服表面能ES，还有一部分作为肥皂膜被拖长形变时增加的表面能以及对物体的阻碍能，所以得到的实验数据比理论略低.

图12 不同液水浓度比肥皂膜的过滤判据

3.2 过滤特性2：“留多轻”的研究

把物体尽可能无初速度贴近膜面释放，如图13所示，膜就像袋子一样兜住了轻物体.此时轻物体受肥皂膜表面张力的竖直分力和自身重力的共同作用被留在膜上，受力平衡方程为［5］

图13 物体留在膜上实验图

图14 物体留在在膜上示意图

从（7）式中可以看出，肥皂膜能容纳多大质量的轻物体取决于物体聚团半径r0，肥皂膜的表面张力系数γ以及与膜的弹性相关的物体陷膜深度角α.

图15是在准静态情况下，探究不同浓度的肥皂膜分别能留住多大质量的轻物体.当肥皂膜越稀，虽然在理论上液膜的表面张力系数会略微增大，但肥皂膜含水量越多，弹性越差，陷膜深度角α就越小，且弹性的降低作用大于表面张力的增大作用，由（7）式得出能留住的最大物体质量是降低的，图15可以画出透过区和留住区.实验还发现，物体聚团越集中，即r0越小，能留住的最大物体质量也是降低的.

图15 肥皂膜浓度与最大留住质量的关系

3.3 过滤特性3：“用多久”的研究

我们还发现肥皂膜筛子的使用寿命是有上限的.在过滤时膜会包裹着物体，一张膜在过滤3-5次物体后会变得薄脆易破.此外，膜能“用多久”还受物体疏水性的影响，例如表面干燥疏松的木块落在膜上会使膜破裂，但湿润的木块能透过且不会使膜破裂.这是由于干燥的木块与液膜不浸润，液膜分子间作用力无法连续因而形成膜洞，由于表面张力的收缩性膜将破裂.

4 结论

本文研究了一张普通的肥皂膜可以作为筛子，且有着能让重物体透过却将轻物体留住的“负”过滤特性.在一定高度下，如果不计损耗能，肥皂膜的表面能ES与物体动能Ek相等，即物体动能近似等于膜的表面能时，物体恰好能透过膜；如果肥皂膜的表面能ES比物体动能Ek大，则物体会留在肥皂膜表面；如果肥皂膜表面能ES比物体动能Ek小，物体则透过肥皂膜.当物体以尽可能无初速度贴近膜面释放时，物体质量小于过滤临界质量时，物体会留在膜上且受力平衡；当物体质量大于临界质量时就会透过肥皂膜.

致谢：感谢参与肥皂膜过滤实验和数据处理的梁皓辰、梁朝阳、陈龙同学.感谢给予指导和建议的张开杨、庄伟和王琦老师，以及知乎姜小白！