基于动力直接刚度法分析轴向变刚度钢-混组合梁自振特性

孙琪凯，张 楠，刘 潇，陶晓燕，王章明，龚怡明

(1.北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044；2.中国铁道科学研究院集团有限公司 铁道建筑研究所，北京 100081；3.高速铁路轨道技术国家重点实验室，北京 100081)

组合梁因其具有自重轻、承载力高、刚度大等优点而被广泛应用于工程中。特别是钢-混凝土组合梁，能够充分发挥钢材抗拉和混凝土抗压的材料特点。钢-混组合梁的两种材料通常采用柔性剪力键连接，用于传递两者之间的剪力。由于剪力键是柔性的，混凝土板和钢梁之间会产生相对滑移，这被称为相互作用，使组合梁动力分析时必须考虑滑移带来的影响[1-4]。

钢-混组合梁的研究已比较常见。Newmark等[4]是较早提出考虑钢-混组合梁界面剪切滑移的学者。动力研究方面，Girhammar等[5]采用直接平衡法推导了考虑界面上剪切滑移的钢-混组合梁的运动平衡微分方程，得到了自振频率解析解。后又进一步推导了一般弹性支撑时，钢-混组合梁动力特性解析解[6]。侯忠明等[7-8]进一步验证了钢-混组合梁的振型正交性，并分析了其频率折减系数和刚度折减系数。Huang等[9]进一步讨论了边界条件为简支-简支、固支-自由、固支-简支和固支-固支的情况下，钢-混组合梁自振特性随剪力连接键刚度的变化规律。张云龙等[10]从能量法的角度推导了钢-混组合梁的自振特性，分析了其自振频率和振型与建立连接键之间的关系。从已有的研究来看，分析钢-混组合梁动力特性时，必须考虑钢混结合面上剪切滑移的影响。

本文提出采用动力直接刚度法分析钢-混组合梁的自振特性。基于剪切滑移理论和Euler-Bernoulli梁理论，推导得到了6个自由度的动力刚度矩阵。给出了一般弹性支撑时，自振特性求解过程。本文中计算模型的特点是：① 该模型采用了有限元计算原理，便于采用有限元计算软件编程计算，提高计算效率；② 由于该模型推导过程中没有引入近似位移场或力场，因此计算结果是准确的；③ 该模型可用于分析一般弹性支撑的沿轴向变刚度的钢-混组合梁。最后，通过对比室内试验梁的理论分析、ANSYS FEA和试验测试结果以及已发表文章中数值模型结果，验证了文中有限元计算模型的适用性。

1 单元弯曲运动分析

1.1 基本假设

典型的轴向变刚度的钢-混凝土组合梁结构见图1。假设钢-混组合梁分别在L1、L2、L3范围内截面刚度为常值，即子梁截面不变且剪力连接键均匀分布。Ei、ρi、Ai、Iyi、Oi(i=c,s)分别为混凝土梁和钢梁的弹性模量、密度、横截面积、绕y轴惯性矩、截面形心。左侧弹性支撑刚度为K1，右侧为K2。以下公式推导中均以下标s为钢梁的参数，下标c为混凝土梁的参数。

图1 一般弹性支撑的轴向变刚度的钢-混组合梁构造图

以下分析中，基本假设如下：

(1)本文中只研究平面内组合梁的弯曲振动，忽略平面外弯曲和轴向振动。

(2)假设混凝土梁与钢梁之间始终保持竖向密贴，不会发生掀起脱离。

(3)两个子梁均按照Euler-Bernoulli梁考虑，忽略剪切变形和转动惯量。

(4)子梁交界面上剪力全部由剪力键承担，顺桥向子梁间相对滑移量与剪力键承受的剪力成正比关系。

1.2 运动微分方程

图2 钢-混组合梁微元受力图

分别列出两个子梁水平方向上作用力平衡关系式，可导出钢-混凝土结合面上剪力QL(x,t)与子梁轴力Ni(x,t)之间的关系。

(1)

由式(1)可得

QL(x,t)=Ksnδdx=Nc,x(x,t)dx=Ns,x(x,t)dx

(2)

由图2分析可知钢-混凝土子梁间纵向相对滑移量δ(x,t)由以下两部分造成的：① 作用在两个子梁中性轴上的轴力形成的力偶引起的组合梁微元重心轴法向连线的转角θ(x,t)，这里可定义它为滑移转角；② 混凝土板和钢梁各自的弯曲转角φ(x,t)=υ,x(x,t)。忽略钢-混组合梁的转动惯量则有以下公式成立。

(EI)1θ,xx(x,t)=Ksnh2[θ(x,t)+υ,x(x,t)]

(3)

考虑作用在梁微元上力的平衡，可得到组合梁的运动方程。竖向作用力受力平衡导出第一个动力平衡关系式：

Vc(x,t)+Vs(x,t)-[Vc(x,t)+Vc,x(x,t)dx+

(4)

对微元右侧截面的中性轴力矩求和，可得到第二个平衡方程。

Mc(x,t)+Ms(x,t)+Nc(x,t)hc+Ns(x,t)hs+

Vc(x,t)dx+Vs(x,t)dx-{Mc(x,t)+

Mc,x(x,t)dx+Ms(x,t)+Ms,x(x,t)dx+

[Nc(x,t)+Nc,x(x,t)dx]hc+[Ns(x,t)+

(5)

式中:Mc(x,t)=EcIcυ,xx(x,t);Ms(x,t)=EsIsυ,xx(x,t)。

把式(2)代入式(5)，用所得方程除以dx，并忽略含有惯性力和作用荷载的二阶矩项后，可得第二个平衡关系式为

(EI)2υ,xxx(x,t)-Ksnh2[θ(x,t)+

υ,x(x,t)]-[Vc(x,t)+Vs(x,t)]=0

(6)

式中:(EI)2=EcIc+EsIs为子梁抗弯刚度代数和。

把式(4)代入式(6)可得组合梁的竖向υ(x,t)的运动方程。

(EI)2υ,xxxx(x,t)-

(7)

联立式(3)和式(7)可得钢-混组合梁的竖向υ(x,t)的运动方程最终形式。

[υ,xxxx(x,t)+γυ,tt(x,t)]-

(8)

2 6 DOF单元动力刚度矩阵

若假定钢-混组合梁的自振频率为ω，初始相位角为φ，则可以假设

(9)

式中:φ(x)为钢-混组合梁竖向υ(x,t)的振型函数，ϑ(x)为钢-混组合梁滑移转角θ(x,t)的振型函数，其均不随时间变化；sin(ωt+φ)为随时间变化的振型幅值。

把式(9)代入式(8)，且考虑到sin(ωt+φ)≢0，可得

[φ,xxxx(x)-γω2φ(x)]-

(10)

式(10)的特征方程为

(11)

φ(x)=A1sin(λ1x)+A2cos(λ1x)+A3sinh(λ2x)+

A4cosh(λ2x)+A5sinh(λ3x)+A6cosh(λ3x)

(12)

式中，Ai(i=1～6)为实常数，决定梁单元振动的形状。

把式(9)代入式(3)，且考虑到sin(ωt+φ)≢0，可得

(13)

把式(9)代入式(7)，且考虑到sin(ωt+φ)≢0，可得

φ,xxxx(x)+γ(1+β)ω2φ(x)-

(14)

由式(13)和式(14)可求得滑移转角的振型函数ϑ(x)与竖向振型函数φ(x)的关系。

(15)

(16)

钢-混组合梁单元有6个位移边界条件：(x=0,Le)两端点竖向位移、弯曲角位移和滑移角位移。定义如下

(17)

式中，ui(i=1～6)分别为节点坐标处的竖向位移、弯曲角位移和滑移角位移的幅值。

钢-混组合梁单元有6个力边界条件：(x=0,Le)两端点的剪力、子梁弯矩代数和、滑移产生的弯矩。定义如下

(18)

把式(12)、(15)和(16)代入位移边界条件ui(i=1～6)中得

ue=Nea

(19)

(20)

把式(12)、(15)和(16)代入力边界条件Pi(i=1～6)中得

Pe=Mea

(21)

Me=(EI)2·

(22)

由式(19)和(21)可得

(23)

求解钢-混组合梁自振频率时，按照与静力直接刚度法相同的过程，组装结构体系的总体动力矩阵，建立整个体系的刚度方程，即

Pg=Kgug

(24)

式中:Pg、Kg和ug分别为整体力行列式、整体动力刚度矩阵、整体位移行列式。

3 边界条件

工程应用中，一般梁的支撑方式可为简支-简支、固支-自由、固支-简支和固支-固支等四种。对于简支的情况，更一般的为弹性支撑(如图1)。

(1)一般弹性支撑条件，左侧支撑刚度为K1，右侧为K2。则支撑位置x=0,L处，具有如下力和位移边界条件

(25)

式中，若为一般简支，则φ(0)=φ(L)=0。

(2)固支-自由边界条件，支撑位置x=0,L处，具有如下力和位移边界条件

(26)

(3)固支-一般弹性边界条件，左侧为固支，右侧支撑刚度为K2，支撑位置x=0,L处，具有如下力和位移边界条件

(27)

式中，右侧若为一般简支，则φ(L)=0。

(4)固支-固支边界条件，支撑位置x=0,L处，具有如下力和位移边界条件

(28)

根据实际支撑情况，把上述边界条件代入总体动力方程式(24)，去除总体动力矩阵Kg中位移为0的行和列，生成新的总体刚度矩阵KN。又位移项不全为0，所以|KN|=0，行列式中未知量λ1，λ2，λ3均是关于自振频率ω的函数。求解该行列式，即可得到一般弹性支撑时的轴向变刚度的钢-混组合梁的固有频率。由于该频率方程为超越方程，故可采用Newton-Raphson法求解，可得到无穷多个固有频率。

4 算例分析

4.1 算例1-室内试验

本节的目的是通过对比2个室内简支钢-混组合梁的自振频率的理论计算(文中方法)、ANSYS FEA 和试验测试结果，验证本文中的有限元计算模型可应用于分析轴向变刚度的钢-混组合梁的自振特性，且具有较高精度。

室内试验模型梁共计2个——模型梁1和模型梁2，其均为工字形断面，结构尺寸相同，剪力键直径均为φ22 mm，仅剪力键布置不同。梁长8 500 mm，跨径8 000 mm；混凝土板采用C30混凝土，厚300 mm，宽1 700 mm；工字钢梁的钢材采用Q345qE，钢板N1、N2、N3、N4的钢板厚度均为28 mm。模型1剪力键312个；模型2剪力键168个。模型构造及剪力键布置见图3。

图3 模型梁构造图(mm)

理论计算时，把模型梁1划分为10个区段即(0.25+8×1+0.25)m，各区段内滑移刚度为(3×3 585+4×2 420+3×3 585)MPa；模型梁2划分为12个区段即(0.25+1+8×0.75+1+0.25)m，各区段内滑移刚度为(3×2 204+2×1 291+2×461+2×1 291+3×2 204)MPa。ANSYS FEA和文中理论计算时，模型梁1、2的边界条件为

(29)

模型梁1和模型梁2频率测试过程见图4，测试结果见图5。

图4 测试过程

(a)模型梁1(20.00 Hz)

应用ANSYS软件建立钢-混组合梁的三维数值模型。模型中混凝土板采用SOLID65单元，工字钢梁的各钢板采用SHELL63单元，剪力键采用COMBIN39三维弹簧单元，竖向耦合但纵横向不耦合，为弹性约束。计算结果见图6。

(a)模型梁1(21.71 Hz)

根据本文的式(24)采用Matlab编制有限元计算程序，计算这2榀简支钢-混组合梁的一阶竖向自振频率。计算结果与ANSYS数值模拟计算、实测结果进行对比分析，结果见表1。括号内数值为计算值与ANSYS值的误差，(f理论-fANSYS)/fANSYS×100%。

由表1可得：

表1 竖向一阶自振频率对比表

(1)本文模型计算结果、ANSYS FEA结果和实测结果三者基本吻合，文中计算模型误差最大为1.6%。说明本文提出的有限元计算模型可用于分析轴向变刚度钢-混组合梁自振特性且具有较高的精度。

(2)本文模型计算结果、ANSYS FEA结果和实测结果三者之间存在一定的误差。产生这种误差的原因主要有两个方面：① 本文模型、ANSYS FEA均没有考虑混凝土板和钢梁之间的粘结力作用；② 计算时，剪力键的等效刚度与实际剪切刚度之间存在误差。

4.2 算例2-已有文献分析结果对比

Huang等[9]基于Euler-Bernoulli梁理论，给出了简支-简支(S-S)、固支-简支(C-S)、固支-自由(C-F)和固支-固支(C-C)等四种边界条件(图7)下钢-混组合梁的解析解，并做了算例验证。本节的目的是通过与Huang等的自振频率计算结果进行对比，验证文中有限元计算模型可适用于常见的四种边界条件。

(a)简支-简支

分析模型的梁长为4 m，各层截面和材料特性见图8。层间建立连接键的刚度为K=50 MPa。四种边界条件下，本文计算模型、Huang等计算模型和ANSYS FEA计算模型的一阶自振频率计算结果见表2。括号内数值为计算值与实测值的误差，(f数值-fANSYS)/f数值×100%。

图8 算例2组合梁的尺寸和材料特性

表2 不同计算方法的竖向一阶自振频率对比表

由表2可得：

(1)本文模型计算结果与同样基于Euler-Bernoulli梁理论的Huang等计算结果基本一致。说明本文提出的有限元计算模型可适用于分析具有常见的四种边界条件的钢-混组合梁的自振特性。

(2)本文模型计算结果与ANSYS FEA计算结果相比，计算误差最大为-1.65%。说明文中计算模型具有较高的计算精度。

5 结 论

通过以上分析，结论如下：

(1)考虑子梁间剪切滑移，基于Euler-Bernoulli梁理论推导了钢-混组合梁的6自由度动力刚度矩阵，用于分析其自振特性。

(2)通过室内试验、ANSYS FEA与文中提出的计算模型对比，发现文中有限元模型的计算误差约为1.6%。说明了该模型可用于分析轴向变刚度钢-混组合梁自振特性且具有较高的精度。

(3)通过与已发表文章的计算模型对比，得出与ANSYS FEA相比，文中有限元模型的计算误差约为-2.0%。说明了该模型可适用于分析具有常见的四种边界条件的钢-混组合梁的自振特性且具有较高的精度。

(4)文中算例1中的2榀简支钢-混组合梁文中有限元模型计算、ANSYS FEA和实测结果均表明钢-混组合梁自振频率随剪力连接键的抗剪刚度降低而降低，说明组合梁的界面相对滑移不可忽视。