两挡AMT斜齿轮弯扭轴耦合非线性振动特性分析

2021-08-11孙丹婷

振动与冲击 2021年15期

宋强, 孙丹婷，章伟

(1.北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081；2.北京理工大学电动车辆国家重点实验室，北京 100081)

斜齿轮传动是一种非常重要的传动系统，广泛应用在车辆动力系统中，对于驱动电机直连无离合器无同步器的两挡机械式自动变速器(automated mechanical transmission，AMT)，其齿轮系统的振动特性与传动系统动力传递的稳定性和换挡平顺性密切相关，同时也是变速器噪声抑制的研究基础，现阶段，线性化的研究方法不能很好的解决传动系振动和换挡冲击问题，有必要研究其非线性动力学特性。

国内外学者业已对于斜齿轮非线性动力学模型建立以及计算方法已经展开了大量研究工作[1-6]，对于单对啮合斜齿轮，着重研究齿轮啮合刚度的计算方法以及其他内部因素对啮合刚度的影响[7-8]，进一步研究带轴单级齿轮的多自由度建模方法与振动特性[9]，同时也有关于多轴多级斜齿轮的弯扭轴耦合建模及非线性动力学振动特性的研究[10]，但是以上研究对象是固定速比的齿轮传动系统，没有涉及到换挡的因素。

机械式变速器为多级传动同轴多挡布置的齿轮结构，挡位较多，存在速比变化结构，各挡齿轮之间的扭转和平移振动存在耦合，建模复杂，常采用集中质量法和有限元法予以建模分析[11-12]。林何等[13]采用集中质量法建立了两个挡位齿轮的数理啮合模型，同时将耦合轴段采用有限元建模，虽然大大减少了计算时间，但是只考虑了齿轮系统啮合的扭转振动，没有考虑齿轮轴平移振动及其耦合影响。

为了解决以上问题，系统揭示变速器齿轮振动耦合机理，本文结合实际纯电动汽车用无离合器无同步器两挡AMT结构，考虑斜齿轮副的齿侧间隙、时变啮合刚度和啮合阻尼、静态传递误差以及轴承刚度等因素，建立齿轮系统“弯-扭-轴”耦合非线性动力学模型，利用了分岔图、时间历程图、相图、庞加莱截面图以及FFT频谱图分析不同转速下两个挡位齿轮副的振动特性，以及齿轮结构参数对非线性振动的影响，为纯电动汽车两挡AMT的结构设计、换挡策略设计和工程应用提供技术支持。

1 AMT齿轮系统非线性动力学模型

本文选用的某款纯电动汽车两挡AMT齿轮系统结构如图1所示，驱动电机与变速器输入轴直连，主动齿轮1、2与输入轴一体加工；从动齿轮3、4由滚针轴承支撑，空套在输出轴上；变速器两根轴各自由一对圆锥滚子轴承支撑在箱体上。一个挡位工作时，接合套与其从动齿轮接合承受载荷传递动力，同时另一个挡位齿轮空载。本文以变速器工作在一挡时为例，建立齿轮系统非线性动力学模型，并分析承载齿轮与空载齿轮的振动特性，关于工作在二挡工作状态的振动分析与此类似，不再赘述。

图1 两挡AMT齿轮结构示意图

考虑齿轮系统的内部激励与外部激励因素，采用集中质量法建立图2所示的11自由度“弯-扭-轴”耦合动力学模型，图中,βb1,βb2为齿轮副基圆螺旋角；kh1，kh2为齿轮副啮合刚度；ch1，ch2齿轮副啮合阻尼；e1(t)，e2(t)为齿轮副静态误差；b为半齿侧间隙；k1x,k1y,k2x,k2y为圆锥滚子轴承支撑刚度；kn为滚针轴承支撑刚度；kc为从动齿轮与输出轴轴向接触刚度。

图2 一挡接合时变速器齿轮非线性动力学模型

设xi(i=1,2,3,4)为齿轮i的轴向位移，yi(i=1,2,3,4)为齿轮i的横向位移，其方向为齿轮啮合平面内垂直于x轴方向，θm为电机-输入轴旋转角，θ3,θ4分别为齿轮3、4的旋转角，则模型的广义坐标q为

q={x1,y1,x2,y2,θm,x3,y3,θ3,x4,y4,θ4}T

齿轮内部激励包括时变啮合刚度、啮合阻尼和静态啮合误差。斜齿轮的时变啮合刚度和啮合阻尼大小与齿轮材料和结构参数有关，啮合刚度曲线随着齿轮旋转呈现周期变化，可表示为傅里叶级数的形式

(1)

式中：k0为平均刚度；kj为刚度的j阶谐波幅值；ωh为齿轮副啮合频率；φj为谐波初相位。谐波叠加次数越高，刚度变化越不明显[14]，因此，为简化计算，只取1阶谐波，初相位取0°。

而啮合阻尼采取经验公式[15]得到，即

(2)

式中：rp，rq分别为主、从动齿轮基圆半径；Ip，Ip分别为主、从动齿轮转动惯量；ξ为阻尼比，通常取值为0.03～0.17。

齿轮静态啮合误差由加工或安装引起，可将其表示为[16]

e(t)=esinωht

(3)

式中，e为误差幅值。则一挡齿轮副的轴向和横向动态啮合误差分别为

δx1=x1-x4-tanβb1(r1θm+y1-r4θ4-y4)-

e1(t)sinβb1

(4)

δy1=r1θm+y1-r4θ4-y4-e1(t)cosβb1

(5)

二挡齿轮副的轴向和横向动态啮合误差分别为

δx2=x2-x3-tanβb2(r2θm+y2-r3θ3-y3)-

e2(t)sinβb2

(6)

δy2=r2θm+y2-r3θ3-y3-e2(t)cosβb2

(7)

其中，ri(i=1,2,3,4)分别为齿轮i的基圆半径。则一挡(i=1)、二挡(i=2)齿轮副轴向和横向啮合力为

(8)

(9)

式中，fx(δ)和fy(δ)分别为轴向和横向间隙函数，其一般表达式为

(10)

(11)

齿轮系统的外部激励包括轴承支撑刚度与负载力矩。变速器工作在一挡时，齿轮4与变速器输出轴固连，空转的齿轮3则与输出轴同位置的径向位移相对独立。变速器的输入轴和输出轴可以看作是简支梁，支点位于圆锥滚子轴承处。设轴承支点间轴长为L，一挡位置为x=a，二挡位置为x=c，如图3所示。同一根轴上的两个齿轮，一挡啮合力不仅对轴的x=a处产生轴向或横向位移，也会由于轴的变形对x=c处产生相应的位移，所以，两个挡位齿轮之间的振动总是耦合的。

假设在x=a处受到横向动态集中力Fsinωt，通过振型叠加法可得x=c和x=a处横向位移比值为[17]

(12)

同理，当x=a处受到轴向动态集中力Fsinωt，可得到x=c和x=a处轴向位移比值为

(13)

式(12)、式(13)的位移比值只与轴的长度和两挡齿轮在轴上相对位置有关，与受力大小无关。变速器工作在一挡时，一挡齿轮副的啮合力远大于空载的二挡齿轮副，因此一挡啮合力将对二挡齿轮造成较大位移，而二挡啮合力对一挡齿轮副的影响可忽略。

为了保证空套齿轮3与齿轮2的稳定啮合，齿轮3在输出轴上的装配存在轴向限位，同时还要保证空转自由，所以为非紧固装配，因此齿轮3轴向振动过程中与输出轴之间有接触力。则一挡状态下齿轮系统非线性动力学振动方程为式(14)。

其中：min为变速器输入轴集中质量；mc为变速器输出轴和滑套总质量；m3，m4分别为齿轮3，4的质量；ri(i=1,2,3,4)为齿轮i的基圆半径；Iin为驱动电机与变速器输入轴总转动惯量；I3，I4分别为齿轮3，4的转动惯量；Ic为变速器输出轴和滑套的总转动惯量；Tm为电机驱动扭矩；Tf为负载扭矩。

(14)

Tp1为滚针轴承处产生的滚动摩擦力矩，其表达式为

(15)

式(15)中，μ1为滚动摩擦因数，根据国家标准GB/T 309—2000《滚动轴承滚针》，带保持架的滚针轴承滚动摩擦因数为0.002～0.003；Fn为滚针轴承所受载荷；dg为滚针轴承公称内径，这里取40 mm。

Tp2为齿轮3与输出轴轴向接触产生的滑动摩擦扭矩，其表达式为

Tp2=μ2Fcrs=μ2kc(x3-χx·x4)rs

(16)

式中：μ2为滑动摩擦因数，取值0.08；Fc为齿轮3与输出轴轴向接触正压力；rs为平均接触半径，取值25 mm。

(17)

啮合阻尼可写成ch1=2ξω0me1和ch2=2ξωn2me2。

(18)

(19)

(20)

(21)

间隙函数无量纲化为

(22)

将式(22)代入式(14)，得到无量纲方程式为

(23)

2 齿轮非线性动力学振动特性分析

现阶段研究大多是基于齿轮系统恒定负载不同转速下的非线性振动特性研究，然而这种方法并不适用于车辆AMT齿轮系统，因为车辆在平直路面匀速行驶时，驱动电机转速不同，变速器所受负载力矩也随之变化，两者之间的理论关系式为

(24)

式中：m为整车整备质量；f为路面滚动阻力系数；CD为空气阻力系数；A为车辆迎风面积；ωm为电机转速；rw为轮胎半径；ηt为传动系机械传动效率；ig1为一挡变速比；i0为主减速器速比。而电机驱动力矩为Tm=Tf/(ig1i0)。

表1 齿轮系统基本参数

2.1 承载齿轮副稳态振动特性分析

承载齿轮即一挡齿轮副的扭转振动影响车辆的行驶稳定性与平顺性，齿轮副横向啮合误差振动能够反映齿轮副的扭转振动情况。变速器输入轴两齿轮与驱动电机转速一致，已知齿轮1齿数z1，则无量纲啮合频率与电机转速关系为

ω=ωh1/ω0=ωmz1/ω0

(25)

选用的纯电动车驱动电机峰值转速10 000 r/min，对应的无量纲啮合频率ω<0.9，令阻尼比ξ=0.08，仿真得到的一挡横向动态啮合误差最大位移关于无量纲啮合频率的分岔图如图3所示。其中图3(a)为全局分岔图，当ω<0.09时，一挡齿轮副多处于单倍周期运动状态，传动稳定，振动有规律；当ω=0.09～0.165 4时，出现多倍周期与单倍周期更替现象，虽然系统振动状态不断变化，但总体上作周期稳定性运动；ω从0.165 4变至0.167 3，系统由单倍周期运动状态跳变为非连续的多倍周期运动状态或混沌状态，如图3(b)，这种现象为擦边分岔，下文会对其产生原因与特性进行分析；ω=0.252 8时系统达到最大振动位移，随后，ω=0.254 6～0.388 4时系统进入混沌状态，混沌状态下振动无规律，此时齿轮运动不稳定会产生较大的噪声；随着齿轮转速升高，系统时而周期运动，时而进入混沌；ω=0.76～0.78时，系统出现叉形分岔现象，如图3(c)所示，形如“叉子”一样，单倍周期连续地分岔为两倍周期或再分岔为多倍周期；高转速范围ω>0.8时，系统处于单倍周期状态，传动稳定。

(a)

图4表示ω=0.165 4时一挡齿轮副的振动特性，从时间历程图可看出Uy1振动具有周期性，图4(b)中相图轨迹单周闭环，结合图4(c)中轨迹线与庞加莱截面交点集唯一，则可说明一挡齿轮副是处于单倍周期运动状态，图4(d)表明振动曲线包含一个频率成分。

(a)时间历程图

而图5所示为当ω=0.167 3时，Uy1振幅大小不稳定，相图为杂乱多环轨迹，庞加莱截面交点集连续且FFT频谱图中包含连续的频率成分，以上都可表明此时一挡齿轮副处于混沌状态。

(a)时间历程图

ω由0.165 4～0.167 3，仅发生了很小的变化，但系统的运动状态却发生了质的改变，这是非线性系统不同于线性系统的特性，其原因在于碰撞或冲击等非光滑因素影响。如图6(a)所示，擦边分岔前Uy1>1，因此齿轮副始终为正向齿面啮合不分离，即主动齿轮推动从动齿轮转动，系统没有碰撞冲击现象，传动稳定。

擦边分岔发生时，如图6(b)所示，AB段从|Uy1|<1变至Uy1<-1，轮齿从脱啮到反向齿背碰撞，即从动齿轮推动主动齿轮旋转；然后，BC段齿背脱啮；CD段|Uy1|<1变至Uy1>1，轮齿由脱啮到正向齿面碰撞。整个振动过程正向齿面和负向齿背碰撞冲击交替进行，即发生了双边冲击[18]，且较擦边分岔前振幅明显增大。因此，齿轮达到一定转速时，不能维持稳定啮合状态，就会发生碰撞和冲击现象，进而导致系统失稳，在此转速点工作时，变速器就会产生较强的振动与噪声，也会影响车辆行驶的稳定性。

(a)擦边分岔前ω=0.165 4

2.2 空载齿轮副稳态振动特性分析

车辆行驶过程中，空载齿轮扭转方向的拍击振动会引起变速箱的噪声，影响乘车驾驶的舒适性。

动态规划算法[12]采用数值方法求解系统控制问题,对控制系统模型进行离散化.动态规划算法通过当前时刻控制变量和状态量求解离散化数学模型.在液压混合动力车辆系统中,当系统配置、部件参数和驱动循环被定义时,燃油经济性主要依赖于两个动力源的协调来推动系统.采用动态规划算法的目的是找出最佳功率分流因子u,使发动机燃料消耗Δmf最小化.选择液压蓄能器作为模型状态变量，最优控制主要是控制发动机的节气门开度以及泵的液压泵排量.驾驶循环中消耗的总燃料质量最小化的优化问题，可以认为是离散时间最优控制问题,其表达式[12]为

二挡横向动态误差Uy2最大位移量能够反映空载齿轮的扭转振动剧烈程度。空载齿轮的振动很大程度受承载齿轮的运动状态影响，当一挡齿轮系统为周期运动状态或混沌时，混沌状态下二挡齿轮的扭振就会较为剧烈。

若是一挡齿轮都处于单倍周期运动状态，例如ω=0.04、ω=0.08和ω=0.158，关于二挡齿轮Uy2的振动特性如图7所示。图7(a)表明，二挡齿轮都处于单倍周期运动状态，其中，ω=0.158时二挡处于准周期状态；图7(b)表明，随着啮合频率ω增大，Uy2的最大位移随之增大，分别为0.518 2、0.645 8和0.793 1，相应的振动曲线峰峰值也增大。因此，一挡齿轮为单倍周期运动时，驱动电机转速越高，齿轮啮合频率越大，二挡齿轮周期运动的稳定性会变差，其扭转振动越剧烈。

(a)相图

2.3 结构参数对齿轮非线性扭转振动影响

图3中一挡齿轮横向动态啮合误差Uy1的最大位移值出现在ω=0.252 8点处，此时一挡承载齿轮处于混沌状态，较大的扭转振动会降低传动稳定性和平顺性，可通过选取合适的齿轮结构参数来减小最大振动位移。

2.3.1 阻尼比

令ω=0.252 8，阻尼比ξ从0.03变化至0.17，变速器齿轮系统其他参数不变，仿真得到Uy1关于阻尼比变化的分岔图如图8所示。对于全局分岔图可将阻尼比变化步长选大一些，观察Uy1最大位移变化趋势，而后针对局部再细化步长，从而节省时间成本。从图8(a)来看，ξ<0.085时Uy1振动较为剧烈，最大位移值较大，而ξ>0.09时Uy1最大位移值明显减小。将ξ=0.085～0.09局部范围细化如图8(b)所示。阻尼比ξ>0.085 23时就能够明显减小一挡横向动态啮合误差的最大振动位移。

(a)全局

令阻尼比ξ=0.12，其他参数不变，一挡横向动态误差关于无量纲频率的分岔图如图9所示。整体来看相较于ξ=0.08，Uy1的最大位移值普遍较小；当ω<0.165 4时，随着转速升高也能保持单倍周期运动的稳定性；但ω>0.8时系统处于混沌状态，不再作周期运动。所以适当增大承载齿轮副阻尼比能够抑制齿轮扭转振动振幅，但会使高转速范围的齿轮系统运动状态复杂化。

图9 ξ=0.12时一挡齿轮副关于无量纲啮合频率ω的分岔图

2.3.2 啮合刚度

令一挡齿轮的平均啮合刚度k01由1.5×108～6.1×108变化，阻尼比固定为ξ=0.08，啮合频率ω=0.252 8，其余参数不变，则Uy1关于啮合刚度k01的分岔图如图10所示。k01<2.3×108N/m时，Uy1最大振动位移值普遍较小，k01>2.3×108N/m时，随一挡平均啮合刚度增大，Uy1最大位移值逐渐减小。通常，变速器用齿轮为了保证齿轮疲劳强度，会采用合金钢等高性能材料或进行热处理，因此齿轮刚度较大。

图10 一挡齿轮副关于啮合刚度k01的分岔图

表2 不同系统参数下的Uy1振动位移极大值

图11 ξ=0.12时一挡齿轮副关于无量纲啮合频率ω的分岔图

整体来看，不论哪一转速区，增大阻尼比或增大一挡齿轮啮合刚度都会增大扭振点频率，即提高最大扭振发生时的转速。在低速区，原始Uy1位移极大值为4.41，增大阻尼比或增大啮合刚度都能够大幅减小位移极大值。在中速区，原始Uy1位移极大值为3.26，增大阻尼比后该值为2.35，有大幅减小；但增大啮合刚度后该值反而略有升高，为3.34。在高速区，增大阻尼比或增大啮合刚度都能够大幅减小位移极值。

因此，为减小齿轮最大扭振点的振动幅值，应当选取大啮合阻尼比和大啮合刚度。根据国标GB 3480—1983，齿轮的平均啮合刚度与齿轮的基本参数、齿轮材料和齿轮的加工工艺有关，所以可以通过优化变速器齿轮系统的结构设计参数来减弱变速器传动过程中的振动和噪声。