杠杆型并联非线性能量阱的振动控制

2021-08-11陈国一张业伟

振动与冲击 2021年15期

李晨, 陈国一, 方勃, 臧健, 张业伟

(1.沈阳航空航天大学航空宇航学院，沈阳 110136；2.天津航天瑞莱科技有限公司，天津 300462)

非线性能量阱(nonlinear energy sink，NES)是有别于传统线性吸振器的新型减振装置，具有附加质量小，吸振频带宽等优点。Gourc等[1]从理论和实验两方面研究了耦合了非线性型能量阱的线性振子在简谐受迫振动下的动态响应。Al-shudeifat等[2]提出了一种基于磁力的非线性能量阱，为在工程应用中寻找非线性立方刚度提供了思路。杨凯等[3]提出了适用于空间环境的非线性消振器结构及动力学模型，仿真结果表明，该被动非线性消振器对系统的能量耗散率可以达到92%，可以实现非常好的振动抑制效果，能够适应空间环境，并提高航天系统的可靠性。Li等[4]在一个夹层梁里耦合了非线性能量阱，通过研究发现非线性能量阱对抑制夹层梁的自由振动有很好的效果。Chen等[5]将压电能量采集与非线性能量阱结合起来，使得结构既能进行振动抑制，也可以进行振动能量采集。Zhang等[6]研究了带有非线性能量阱的轴向运动梁的受迫振动控制，发现非线性能量阱有很好的控制过度振动的潜力。Sun等[7]将非线性能量阱与飞轮系统结合进行减振，研究表明该系统具有良好的减振效果。臧健等[8]研究了非线性能量阱的复杂动力学以及振动抑制评价方法，首次针对非线性能量阱，提出了一种广义振动传递率的振动抑制评价方法。刘海平等[9]采用单根欧拉梁成功构建出可在工程中应用的非线性能量阱，且给出了发生靶能量传递的初始条件。熊怀等[10]研究了阻尼对耦合非线性能量阱系统的影响，给出了非线性能量阱具有吸振能力时线性振子阻尼有效范围。陈恒等[11]研究了非线性能量阱对带控制截面机翼结构的颤振抑制，通过分岔图结合数值模拟的峰值图，讨论在不同风速下的减振效果，结果表明机翼结构颤振可以部分甚至全部抑制。杨凯等[12]基于非线性输出频响函数，对引入非线性能量阱的单自由度振动系统进行了分析，对其进行了动力学参数设计，其分析结果对于工程领域中NES的设计具有非常重要的指导意义。鲁正等[13]对非线性能量阱的设计与应用进行了评述，指出了其在工程应用中的优势与不足，并针对实际工程可能遇到的问题提出了建议,对非线性能量阱技术的后续研究进行了展望。张也弛等[14]研究了两自由度非线性耦合振子间的靶能量传递现象，经数值仿真验证,所推导的方程可准确计算两振子间完全能量传递所需的初始能量,并适用于强非线性系统。

对常规的非线性能量阱进行结构改进，可以提高非线性能量阱的吸振性能，进一步减轻附加质量。陈建恩等[15]采用并联非线性能量阱的方法来对结构进行减振，研究了在温度变化时，非线性能量阱吸振效能的变化。Savadkoohi 等[16]实验研究了连接并联非线性能量阱的四自由度主振子的响应，研究结果发现并联非线性能量阱具有良好的减振效果。Nguyen等[17]对常规的并联非线性能量阱进行了优化设计，提高了并联非线性能量阱的吸振效能。Gendelman 等[18]对比研究了串联非线性能量阱与常规非线性能量阱的吸振效能，发现在相同附加质量条件下，串联非线性能量阱的吸振效能要优于常规非线性能量阱。Grinberg 等[19]分析了连接串联非线性能量阱的线性主振子的周期、准周期和混沌响应，同样肯定了串联非线性能量阱吸振效能。李继伟等[20]建立了冲击减振器与非线性能量阱耦合系统的新型吸振模型,数值模拟的结果验证了该吸振装置的高效性。钟锐等[21]研究了单自由度非线性能量阱和两自由度串联非线性能量阱的吸振效能，重点分析了串联非线性能量阱对高分支响应的抑制作用。结果表明，串联NES能够在较大幅值激励范围内保持较高吸振效能。Zang等[22]提出了一种新型杠杆型非线性能量阱(LNES)，研究发现杠杆型非线性能量阱比传统非线性能量的吸振性能更好而且附加质量更小。Zhang等[23]将非线性能量阱和镍钛合金钢丝绳结合应用于整星系统，研究发现在不改变系统固有频率的情况下，加入镍钛合金钢丝绳的非线性能量阱可以有效减小整星系统的过度振动。姚红良等[24]研发了一种可调的双稳态非线性能量阱(BNES)，研究表明该BNES对悬臂梁的瞬态时域响应和稳态频域响应都有很好的振动抑制能力。刘艮等[25]研究了非线性能量阱在悬臂薄板振动抑制中的应用，为悬臂结构在工程应用中提供了理论上的支持。王菁菁等[26]将调谐质量阻尼器(TMD)与非线性能量阱(NES)相结合，提出非线性-线性联合控制方法，通过数值模拟结果表明，相较于完全非线性和完全线性的方法，非线性-线性联合控制方法具有更强的减震鲁棒性。刘中坡等[27]设计了NES振动控制实验并进行了振动台实验，试验结果表明NES有较好的宽频控制效果,即使其刚度偏离优化值或被控对象动力学特性发生一定改变,NES依然能发挥较好的振动控制作用。刘海平等[28]将欧拉屈曲梁和线性弹簧并联使用,构建非线性动力吸振器，并研究了欧拉屈曲梁的初始挠度、初始倾角和阻尼系数对其振动抑制性能的影响。

本文基于传统杠杆型非线性能量阱，应用并联非线性能量阱的方法，构成一个杠杆型并联非线性能量阱系统。对采用并联非线性能量阱后的杠杆非线性能量阱系统进行振动控制研究，对杠杆型并联非线性能量阱与杠杆型单个非线性能量阱的吸振性能进行对比研究。

1 带有杠杆式并联非线性能量阱的单自由度系统

传统单个杠杆型非线性能量阱模型如图1所示，本文所研究系统模型如图2所示，质量m1、线性弹簧k1以及线性阻尼c1组成了单自由度系统结构，结构质量m1受到一个外部的谐波激励F=Acos(ωt)。杠杆式并联非线性能量阱由质量m2、m3阻尼c2、c3以及非线性刚度k2、k3组成的两个非线性能量阱并联组成，与一根忽略质量的刚性杆相连。刚性杆的A点与结构的质量相连，C点通过弹簧k2、阻尼c2与m2相连，D点通过弹簧k3、阻尼c3与m3相连。

图1 带有杠杆式单个非线性能量阱的单自由度系统

图2 带有杠杆式并联非线性能量阱的单自由度系统

由牛顿第二定律得到系统的动力学方程

k3[(1-α2)x1-x3]3+(1-α2)c3[(1-

(1)

式中：xi表示结构mi(i=1，2，3)的位移，x0是D点的位移，A点的位移与结构m1相同，并联非线性能量阱在C点位置悬挂的为内悬挂位置，用α1表示，α1是长度AC与AB的比值；在D点悬挂的为外悬挂位置，用α2表示，α2是长度AD与AB的比值。

无量纲参数如下

(2)

把方程(1)进行无量纲处理得

(3)

式中:l为线性弹簧k1在100 N作用下的伸长。

基于谐波平衡法，方程(1)的振动响应可以近似为一组有限谐波的叠加。因为系统仅含立方非线性，设解响应为1次谐波与3次谐波的叠加。

u1(τ)=a11cos(γτ)+b11sin(γτ)+a31cos(3γτ)+

b31sin(3γτ),

u2(τ)=a12cos(γτ)+b12sin(γτ)+a32cos(3γτ)+

u3(τ)=a13cos(γτ)+b13sin(γτ)+a33cos(3γτ)+

b33sin(3γτ),

(4)

式中：aij和bij(i=1，2，3)，(j=1，2，3)为待确定的谐波系数。

将方程(4)代入方程(3)中，平衡sin(iγτ)与cos(iγτ)(i=1,3)的系数，得到一组非线性代数方程。

b32sin(3τγ))3+ζ2(1-α1)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+

b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)-a13cos(τγ)-b13sin(τγ)-a33cos(3τγ)-b33sin(3τγ))3+

(1-α2)ζ3((1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+a13γsin(τγ)-

在Al-Si铝合金成分的基础上添加Cu元素，Cu元素可以和Al形成二元共晶体(α-Al2Cu)，其起到强化作用．合金中加入Cu元素后发达的树枝晶会发生破碎，使粗大树枝晶端部发生钝化且变为细小的花朵状晶粒，使合金晶粒形态发生改变，从而减轻合金的微观偏析．由于α-Al2Cu金属间化合物在凝固前期弥散析出，阻碍了晶界迁移而降低晶粒的长大速度，在快速冷却的条件下典型的树枝晶会发生细化，使晶粒分布更加均匀，从而提高了合金的致密性．Cu元素的加入能够显著降低合金的液相线温度，且Cu元素溶解度很小，因此可以形成较大的浓度过冷而促进生核，还能使晶体的分枝形成细的缩颈，易于产生晶体增殖，因而能使晶粒显著细化．

b13γcos(τγ)+3a33γsin(3τγ)-3b33γcos(3τγ))+fcos(τγ)=0,

a32cos(3τγ)+b32sin(3τγ)-(1-α1)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ2(-a12γsin(τγ)+b12γcos(τγ)-3a32γsin(3τγ)+3b32γcos(3τγ)-(1-α1)(-a11γsin(τγ)+

b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0，

a33cos(3τγ)+b33sin(3τγ)-(1-α2)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ3(-a13γsin(τγ)+b13γcos(τγ)-3a33γsin(3τγ)+3b33γcos(3τγ)-(1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0

(5)

通过结合伪弧长延伸法我们可以得到各阶谐波系数，进而确定幅频特性曲线。为了有效的描述带有高阶系数的幅频特性曲线，在这里我们用均方根值来处理系统的响应。

(6)

下面对由谐波平衡法得到的幅频响应进行数值验证，系统参数如表1所示。

表1 系统参数

通过比较谐波解析解与数值解发现，总体上，三阶谐波解与数值解已经很吻合了，如图3所示。

图3 系统幅频响应解析解与数值解的对比

2 杠杆型并联非线性能量阱的质量、刚度以及悬挂位置对系统幅频响应的影响

2.1 质量对系统幅频响应的影响

下面讨论杠杆并联非线性能量阱的质量λ2和λ3对系统幅频响应的影响。

图4展示了质量λ3对系统幅频响应的影响。从图中我们可以看出，从图中我们可以看出，当λ3质量较小时，质量参数由0.006 94变化至0.013 89，幅频响应曲线的峰值仅由237.98降至229.03，下降幅度很小，但曲线的形状趋于稳定。伴随着λ3质量的增大，系统的幅频响应曲线向右弯曲，弯曲的范围在频率0.87和0.89附近；继续增大λ3质量，在共振频率附近出现了一个孤立的环状共振响应；接着，伴随着λ3质量的逐渐增大，孤立的环状共振响应逐渐远离系统原本的幅频特性曲线，并逐渐减小；继续增大λ3质量，孤立的环状共振响应消失；最后伴随着λ3质量的继续增大，幅频响应曲线的峰值逐渐增大。

(a)λ3=0.006 94

图5展示了质量λ2对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，在质量λ2参数较小时，随着质量λ2的增大，幅频响应曲线的峰值逐渐降低。在参数为0.034 03时，在共振频率附近出现孤立的环状共振响应。伴随质量λ2的增大，孤立的环状共振响应逐渐变小，并远离系统原本的幅频响应曲线。在参数为0.058 33时，孤立的环状共振响应消失，幅频响应曲线的峰值由135.65降至122.83。继续增大质量λ2，幅频响应曲线的峰值又开始逐渐增大。

(a)λ2= 0.004 17

综上，我们可以看出伴随着非线性能量阱的质量λ2和λ3参数的增大，系统幅频响应曲线的峰值先逐渐减小至最小值然后再逐渐增大，在共振频率附近出现的孤立的环状共振响应会逐渐减小并远离原幅频响应曲线直至消失。所以，适当质量的λ2和λ3可以有效降低系统的振幅。

2.2 非线性刚度对系统幅频响应的影响

下面讨论杠杆型并联非线性能量阱的非线性刚度β2和β3对系统幅频响应的影响。

图6展示了非线性刚度β3对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，伴随着非线性刚度β3的增大，系统幅频响应曲线的峰值逐渐降低，这种下降的趋势一直保持到大约在β3=5.277 74时停止；继续增大非线性刚度β3，在共振频率附近出现了一个孤立的环状共振响应。从图中可以看出，这个孤立的环状共振响应逐渐向原来的幅频响应曲线靠近，并逐渐变大。继续增大刚度，孤立的环状共振响应与原来的幅频响应曲线相连。最终，环状孤立响应与原幅频响应曲线相融合。

(a)β3=1.759 01

当环状孤立响应出现时，系统幅频响应曲线的峰值会逐渐增大。这说明孤立环状共振响应的出现会导致系统的振幅增大。所以，当利用非线性进行振动抑制的同时，我们要关注到额外引入非线性对振动系统的危害。

图7展示了非线性刚度β2对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，在非线性刚度β2较小时，随着β2参数的增大系统幅频响应的峰值逐渐降低；当非线性刚度β2达到8.707 12时，在共振频率附近出现了孤立的环状共振响应。接着伴随着非线性刚度β2的增大，孤立的环状共振响应逐渐远离系统原本的幅频响应曲线，并逐渐减小；继续增大非线性刚度β2，孤立的环状共振响应消失，系统幅频响应的峰值降低。接着增大非线性刚度β2，系统幅频响应的峰值逐渐增大。

(a)β2=1.759 01

综上，我们可以看出伴随着非线性能量阱的非线性刚度β2,和β3的逐渐增大，系统幅频响应曲线的峰值先逐渐减小至最小值然后再逐渐增大。不同的是，随着非线性刚度β2的增大，在共振频率附近出现的孤立的环状共振响应会逐渐减小并远离原幅频响应曲线直至消失。而随着非线性刚度β3的增大，在共振频率附近出现的孤立的环状共振响应会逐渐增大并与原幅频响应曲线融合。所以，适当的非线性刚度β2和β3可以有效降低系统的振幅。

2.3 悬挂位置对系统幅频响应的影响

下面讨论杠杆型并联非线性能量阱的内悬挂位置α1和外悬挂位置α2对系统幅频响应的影响。

在调节参数α1时，通过保证AB与BD的长度不变，改变C点的位置来调节参数α1。在调节参数α2时，通过保证AB与BC的长度不变，改变BD的长度来调节参数α2。

图8展示了外悬挂位置α2对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，在α2较小时，随着α2的增大，系统幅频响应的峰值逐渐降低。当α2=3.05时，系统在原幅频响应曲线上方出现了一个孤立的环状共振响应，由于孤立的环状共振响应的产生，系统幅频响应的峰值升高。继续增大α2，孤立的环状共振响应也随着增大。当α2=4.05时，孤立的环状共振响应与原幅频响应曲线融合。由此我们可以看出，利用杠杆型非线性能量阱对结构进行振动抑制时，单纯的应用杠杆原理对杠杆型非线性能量阱进行参数优化是不合适的。当孤立的环状共振响应继续增大时，系统原幅频响应是一直降低的，说明孤立的共振响应对系统的幅频响应的影响是不能忽略的，即使原结构的幅频响应逐渐降低。

(a)α2=2.30

图9展示了内悬挂位置α1对系统幅频响应的影响。从图中可以看出，在α1较小时，随着α1的增大，系统幅频响应的峰值逐渐降低；当α1=2.05时，在共振频率附近出现了孤立的环状共振响应。接着伴随着α1增大，孤立的环状共振响应逐渐远离系统原本的幅频响应曲线，并逐渐减小；继续增大α1，孤立的环状共振响应消失，系统幅频响应的峰值降低。接着增大α1，系统幅频响应的峰值逐渐下降。

(a)α1 =1.10

综上，我们可以看出伴随着非线性能量阱的内悬挂位置参数α1逐渐增大，系统幅频响应曲线的峰值会逐渐减小，在共振频率附近出现的孤立的环状共振响应会逐渐减小并远离原幅频响应曲线直至消失。而随着外悬挂位置参数α2的增大，系统幅频响应曲线的峰值先逐渐减小至最小值再逐渐增大，在共振频率附近出现的孤立的环状共振响应会逐渐增大并与原幅频响应曲线融合。所以，非线性能量阱适当的悬挂位置可以有效降低系统的振幅。

3 杠杆型并联非线性能量阱与杠杆型单个非线性能量阱性能的比较

下面我们对杠杆型并联非线性能量阱与杠杆型单个非线性能量阱的吸振性能进行系统比较，将幅频响应的峰值以及总体附加质量作为评价非线性能量阱吸振性能的指标。为了便于比较，我们将主结构分别耦合杠杆型并联非线性能量阱以及杠杆型单个非线性能量阱。

在总体附加质量较小时，带有杠杆型非线性能量阱的系统的幅频响应都会出现孤立的共振响应。所以如果要比较两个系统的吸振性能，首先我们要找出孤立的共振响应消失时的附加质量参数。以带有杠杆型单个非线性能量阱的单自由度系统为研究对象，系统参数如表格1所示。质量参数λ对系统幅频响应的影响如图10所示。

(a)λ=0.016 67

从图10中可以看出，当孤立的环状共振响应消失时，质量参数为λ=0.030 56。所以，我们取杠杆型并联NES系统质量参数λ3=0.030 56不变，通过改变质量参数λ与λ2，保持参数λ与λ2和λ3之和相等来比较两个系统的吸振性能。

如图11所示，当总体附加质量较小时(图11(a)λ=0.033 33)，杠杆型并联非线性能量阱系统与杠杆型单个非线性能量阱系统幅频响应的峰值分别为127.69和131.01。当总体附加质量适中时(图11(b)λ=0.041 67)，杠杆型并联非线性能量阱系统与杠杆型单个NES系统幅频响应的峰值分别为127.31和141.01。当总体附加质量较大时(图11(c)λ=0.055 56)，杠杆型并联非线性能量阱系统与杠杆型单个非线性能量阱系统幅频响应的峰值分别为127.21和157.22。综上可以看出，随着总体附加质量的增加，杠杆型单个非线性能量阱系统幅频响应的峰值逐渐增大，杠杆型并联非线性能量阱系统幅频响应的峰值是逐渐减小的。在总体附加质量参数的变化过程中，杠杆型并联非线性能量阱系统幅频响应的峰值是一直低于杠杆型单个非线性能量阱系统幅频响应的峰值的。这说明，杠杆型并联非线性能量阱的吸振性能是要优于杠杆型单个非线性能量阱的。