拼接梯度压电材料中多裂纹的响应问题

周春梅， 马 旭， 闫 洁

(宁夏师范学院数学与计算机科学学院， 固原 756000)

梯度压电材料作为一种新型的复合智能材料，兼具压电和梯度二者的优点，被广泛应用于诸多工程领域。材料的复合虽然克服了单项材料的缺陷，但又有许多新的问题需要解决。例如，如何判定裂纹在这种新型材料中的稳定性是一个值得关注的课题。一般的金属材料，都考虑用动应力强度因子、能量释放率、能量密度因子作为断裂分析的依据.对于裂纹扩张来说，当材料呈脆性或小范围承受时，应力强度因子通常作为断裂的依据。薛宇等[1]针对传统压电构建容易被破坏的问题，提出了一个改进的功能梯度材料特性分布形式，研究了材料分布类型、梯度分布指数和材料总体积分数对材料板振动控制的影响。张智娟等[2]研究了一种悬臂梁双晶压电能量采集装置的发电性能，实验将两片双晶压电振子并联，得到振动台频率、激励位移等对装置输出电压和负载功率的影响情况。刘婷等[3]介绍了4类压电材料的研究进展，分析了它们的结构特点、制作方法和应用场合，并且展望了压电材料的未来发展趋势。李林利等[4]讨论了恒定温度场下压电材料矩形板的频率和振幅，给出了温度对位移的影响，以及速度、加速度的变化规律。穆翔等[5]研究了傅里叶变换在压电材料与热电材料的接触、断裂等问题中的应用。刘媛等[6]利用有限截项法分析了无限板圆孔边四不等长裂纹，得到应力强度因子的接近程度与裂纹半长与半径比有关。祝青钰等[7]研究了椭圆孔边任意长度双裂纹复合型应力强度因子复变函数解。提出了一种基于Muskhelishvili复变函数理论和有限截项原则的强度因子求解方法，得出强度因子受椭圆孔半轴比、夹角和裂纹长度的综合影响。梁瑞虹等[8]分析并制造了宽温堿低损耗的新型压电材料与摩擦功能材料，提岀了通过相结构调控、增加第三组元、引入偶极子缺陷钉扎畴壁等方法来制备低损耗压电陶瓷材料。李洁等[9]研究了一种用于压电传感器的柔性电极的制备及其性能分析。朱帅等[10]利用有限元模型，采用分层法进行材料的梯度仿真模拟，分析了功能梯度压电材料单裂纹的受力情况，得到缓解应力集中的参数算例结果。现对拼接压电材料中的共线多裂纹问题进行分析。

1 问题描述及理论分析

如图1所示，在x-y平面中，梯度压电材料(functionally graded piezoelectric material，FGPM)拼接在一均匀压电材料(piezoelectric material，PM)上，材料沿Z轴极化。裂纹位于高度为h1+h2的梯度压电带y=0的平面上，裂纹间距为2c，裂纹的长度为|bj-aj|=2a0，设第j个裂纹的左右尖端在x轴的坐标分别为aj、bj，裂纹表面处有反平面应力载荷τxy=τ(x)、平面内的电位移Dy=D(x)。

图1 拼接梯度压电材料中共线多裂纹模型

压电材料的本构方程为

(1)

(2)

式中：τxz(i)、τyz(i)和Dx(i)、Dy(i)分别为应力和电位移；wi和φi为位移和电势；i(i=1，2) 分别对应区域D1和D2；c44(i)、e15(i)、ε11(i)分别为弹性刚度系数、介电常量、压电常量。

电场分量与电势有如下的关系：

(3)

假设梯度压电材料的弹、电性系数沿y轴按指数函数分布：

[c44(1)(y)，e15(1)(y)，ε11(1)(y)]=

eβy[c0，e0，ε0]， -h2

(4)

[c44(2)(y)，e15(2)(y)，ε11(2)(y)]=

eβh1[c0，e0，ε0]，y>h1

(5)

式中：β、c0、e0、ε0分别为功能梯度参数、剪切模量、压电系数、介电常数。

静态平衡方程为

(6)

由式(1)～式(6)，得到控制方程为

-h2

(7)

(8)

由此可得

(9)

(10)

式(9)和式(10)解的形式为

(11)

-h2

(12)

(13)

式(11)～式(13)的未知函数的表达式为

(14)

2 问题求解

由于材料结构关于y轴对称，只需要考虑右半平面。边界条件及连续性条件[11]为

(15)

(16)

(17)

运用傅里叶变换，并且利用边界条件式(15)～式(17)，得到下列方程:

A1(α)ep1 h1+A2(α)ep2 h1-E1(α)e-αh1=0

(18)

B1(α)ep1 h1+B2(α)ep2 h1-F1(α)e-αh1=0

(19)

+αF1(α)e-αh1]e-iαxdα=0

(20)

×ep2 h1+αF1(α)e-αh1]e-iαxdα=0

(21)

e-iαxdα=0

(22)

e-iαxdα=0

(23)

p1D1(α)-p2D2(α)]e-iαxdα=0

(24)

p2D2(α)]e-iαxdα=0

(25)

引入两个位错函数[12]s1(x)和s2(x):

(26)

(27)

将应力和电势的解代入式(26)、式(27)中，并结合边界条件有

(28)

x∈[aj，bj]时，可得

C1(α)-C2(α)]e-iαxdα

(29)

D1(α)-D2(α)]e-iαxdα

(30)

应用Fourier变换法和边界条件式(15)～式(17)式求解方程组，解出系数Ai(α)、Bi(α)、Ci(α)、Di(α)、E1(α)、F1(α)。再由本构方程和边界条件得到应力和电位移的解析表达式[13]为

(31)

当α→∞时，k有奇异项被分离，可以表示为

(32)

令

(33)

将式(32)、式(33)代入式(31)，方程被标准化为

(34)

(35)

(36)

通过Gauss-Chebyshev积分公式对第一类奇异积分方程式(34)和式(35)进行求解。基函数与权函数有如式(37)所示关系：

(37)

式(34)、式(35)通过简化为Chebyshev多项式求解。

(38)

(39)

(40)

最后解得裂纹端切应力强度因子和电位移强度因子[15]为

(41)

(42)

(43)

(44)

式中:未知函数的值Fj(-1)(j=1，2)和Fj(1)可以分别从Fj(tn-1)、Fj(tn-2)、Fj(tn-3)和Fj(t2)、Fj(t3)、Fj(t4)的二次插值得到。

3 数值计算及讨论

裂纹端强度因子正则化[16]为

(45)

(46)

取PZT-4为基本压电材料，通过数值计算，可以得到以下一些结论。

从图2得到正则化强度因子与裂纹长度2a0的变化规律。第j个裂纹的左端aj处的强度因子比裂纹右端bj处的强度因子大。随着带宽比h1/h2的增大，裂纹左右端处的强度因子逐渐增大，从图形可以看出，强度因子是平行的增大趋势。当带宽比的值固定不变时，裂纹端的强度因子与裂纹长度2a0有同样的变化趋势，即裂纹长度增大时，强度因子也增大。

从图3得到正则化强度因子随带宽比h1/h2的变化规律。可以看出与图2有相似的结论，裂纹左端处的强度因子比裂纹右端处的强度因子大。随着非均匀参数β的增大，裂纹左右端的强度因子逐渐增大，并且也是平行的增大趋势。当非均匀参数β固定不变时，裂纹端的强度因子随着带宽比h1/h2的增大而减小。

图2 不同带宽比下，裂纹长度与正则化强度因子的响应

图3 不同非均匀参数下，带宽比与正则化强度因子的响应

从图4得到正则化强度因子随裂纹间距2c的变化规律。与前面的结论一致，裂纹的左端处的强度因子比裂纹右端处的强度因子更大。随着非均匀参数β的增大，裂纹左右端的强度因子逐渐增大，这里可以看到，当β=1.5时，线条有跳动的趋势，不再是平行的变化情况。当非均匀参数β的值固定不变时，裂纹端的强度因子随着裂纹间距2c的增大而减小。

图4 不同非均匀参数下，裂纹间距与正则化强度因子的响应

4 结论

讨论了拼接压电材料中共线多裂纹问题。利用傅里叶变换技术将边值问题转化为积分方程，应用位错函数以及高斯-切比雪夫方法求解方程获得裂纹端的切应力和电位移的解析式。最后的数值分析结果显示们，裂纹端强度因子与裂纹几何长度、裂纹间距、材料带宽比以及非均匀梯度参数的关系密切。图2～图4有统一的结果，即裂纹左端的强度因子总比裂纹右端的强度因子大。随着带宽比以及非均匀梯度参数的增大，裂纹端强度因子也随之增大；当带宽比有确定值时，裂纹长度增大时，强度因子也增大；当非均匀梯度参数有确定值时，带宽比和裂纹间距增大时，强度因子反而减小。