例谈基本图形的教学策略

高晓程

摘   要：基本图形的教学要在学生理解图形结构的基础上，通过变式强化图形的本质属性，从不同层次设置练习，巩固图形结构，深化对图形结构的理解，从而助力学生直观想象的发展.

关键词：教学策略;旋转;直观想象

基本图形的教学目的是发展学生的直观想象.直观想象是借助于几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形来理解和解决问题的素养[ 1 ].直观想象能力比较强的学生当看到几何图形的一部分时，能将图形的全貌补充完整，从而解决问题.但很多时候我们发现，并不是将基本图形告诉学生，学生就能应用.故要深化学生对基本图形的认识，让学生充分经历基本图形结构的形成过程，从不同的感官和角度理解图形的结构，助力学生从复杂图形中识别基本图形，或是从一般图形中构造基本图形.

本文以“共顶点，等线段”这个基本图形为例，谈谈基本图形教学的策略.

1  重视对基本图形结构的生成过程

图形的结构是图形的基础，无论是从复杂图形中识别还是构造图形都是基于图形的结构进行识别和构造的.因此，基本图形的教学不仅仅要让学生明白基本图形的结构，更要认识基本图形的结构为何是这样的.在教学过程中应注重图形结构的生成过程，让学生主动参与到图形结构的发现与构建的过程，深化对图形结构的理解.

为了让学生参与“共顶点，等线段”这个基本图形的结构生成，首先让学生完成下面三个问题，通过从图形中寻找经过旋转可完全重合的两个三角形，通过问题（4），找出这些图形的共同特征，归纳图形的基本结构.

（1）如图1，等腰RtΔABC，∠C=90°，点D在AC的延长线上，连接DB，点F是BC边上的一点，且CF=CD，图中是否存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并叙述旋转的过程.

（2）如图2，ΔABC和ΔBED均为等边三角形，A，D，E三点共线，图中是否存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并叙述旋转的过程.

（3）如图3，正方形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在BC上，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，图中是否存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并叙述旋转的过程.

（4）上述的三个问题中都存在着经过旋转可完全重合的两个三角形，观察图1～图3，这三组旋转变换有何共同特征？这三幅图形有何共同特征？

设计意图：这是学生学完旋转的性质之后，应用旋转的性质解决图形问题.通过引导学生围绕旋转的三要素先观察图1～3，找出图形中经过旋转可完全重合的两个三角形，在叙述旋转的过程中，引导学生发现三组旋转变换的共同特征，旋转中心都是两个三角形公共顶点，旋转角度都是两条相等线段的夹角.接着让学生关注题干条件，每个小题中都有提供等腰三角形，然后让学生结合在图1～3中找到的旋转变换对比分析，等腰三角形的两条腰就是旋转变换中的一组对应边，等腰三角形的顶角就是旋转角，等腰三角形顶角的顶点就是旋转中心.

2  通过变式促进对基本图形结构的理解

通过改变外部图形的条件，让学生辨析图形中是否存在经过旋转能重合的两个三角形，进一步明确外部图形的结构，可以深化学生对旋转的理解，提升对旋转的认识，为后续能够从图形的结构出发构造旋转型的全等三角形奠定基础.

（5）如图4，等腰三角形ABC和等腰三角形DEF的形状相同，但大小不一样，当这两个等腰三角形如何放置时，可以得到两个全等三角形，使得它们可以通过旋转完成重合？请在空白处画出示意图，并确定旋转中心和旋转角.

（6）如果图4中的两个等腰三角形的顶角∠A与∠D不相等，经过旋转还能得到可重合的两个三角形吗？

（7）请归纳，经过旋转能得到两个重合的三角形的图形应具备什么条件？

（8）想一想，为何图形中存在“共顶点，等线段”的结构可以构造旋转型的全等三角形？

设计意图：通过前面4个问题让学生获得如下经验，图形中有等腰三角形时可能存在经过旋转可完全重合的两个三角形，其中旋转中心是等腰三角形顶角的顶点，旋转角是等腰三角形的顶角.问题（5）从等线段共顶点到让学生动手自己摆放，体验当顶点不重合时经过旋转能重合的两个三角形不存在，当底角的顶点重合时，经过旋转能重合的两个三角形不存在，此时两个三角形经过旋转后位似.从而明确第一个条件两组相等的线段要共顶点.问题（6）从两个相似的等腰三角形到两个等腰三角形不相似，让学生体会从相似有旋转，到不相似没有旋转的变化中，明确图形的第二个条件，相等的线段的夹角要相等，并且这个夹角就是旋转角.通过问题（7）让学生归纳图形特征：圖形中可以找到两组等线段，且这两组等线段满足两个条件，四条线段共顶点，且相等线段的夹角相等，从而获得图形的基本结构.最后通过问题（8）构建图形结构与旋转性质的联系，从旋转性质的角度再次认识图形结构，让学生明白和接受图形的结构.

3  设置有层次的练习掌握图形结构特征

学生习得一个基本图形除了让学生充分经历图形结构的形成过程之外，要让学生会在具体的情境中应用还需要一定程度的练习.通过设置有层次的练习可以助力学生掌握基本图形.练习可以分为三个层次：

层次一：能直接从图形中看出“共顶点，等线段”，主动寻找或是构造旋转型的全等三角形.该层次的练习不一定要让学生完整解决问题，可以是根据条件或图形添加辅助线，或是完成某个部分的求解.如图5，AD是边长为6的等边ΔABC的BC边上的高，点E是AD上一个动点，连接CE，将CE绕点C逆时针旋转60°到CF的位置，如果要添加一条辅助线，你会如何添加？为什么？目的是巩固图形结构，通过练习建立“共顶点，等线段”与旋转型的全等三角形的联系，发展直观想象，为学生解决后两个层次的问题铺垫.

层次二：能从条件或结论中推断需要改变线段的位置但不改变线段的长度，主动寻找“共顶点，等线段”构造旋转改变线段位置.该层次的练习要让学生明白当需要构造旋转型的全等三角形时要寻找图形中“共顶点，等线段”.如图6，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.明确寻找或构造基本图形的目的，

层次三：借助直观想象，根据“共顶点，等线段”先构造旋转型的全等三角形，通过旋转的性质结合已知条件解决问题.练习的最终目标就是要学生能活动直观，灵活应用图形解决问题.如已知∠MON=60°，P为射线OM上的点，OP=1.如图7，α=60°，A，B均为射线ON上的点，OA=1，OB>OA，ΔPBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC.判断直线AC与OM的位置关系并加以证明.

基本图形的教学是发展学生直观想象的过程，教学的过程要重视图形结构的理解，让学生知其然，知其所以然，知其何以所以然.通过从一类图形中归纳，抽象出基本图形的结构，利用所学的几何知识解释说明基本图形的结构，通过有层次的变式练习促进不同程度的学生对图形结构的理解，从而掌握基本图形的本质属性，发展直观想象.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.