常见最值问题的解题策略探究

赵平

【摘  要】最值问题是中学数学中的重要内容之一，也是近些年中考数学中的热点问题。本文对常见的最值问题进行了分类归纳，总结出几种常见的最值模型，提炼出解题的策略与方法，以期助力数学学习效益的提升，同时培养学生利用模型解决问题的能力及综合解题能力。

【关键词】最值类型;解题策略;教学实践

中图分类号：G633.6      文献标识码：A      文章编号：0493-2099（2021）17-0143-02

【Abstract】The most value problem is one of the important contents in middle school mathematics， and it is also a hot topic in the middle school entrance examination in recent years. This article classifies and summarizes common most value problems， summarizes several common most value models， and refines problem-solving strategies and methods， in order to help improve the efficiency of mathematics learning， and at the same time cultivate students' ability to use models to solve problems and comprehensively Problem-solving ability.

【Keywords】The most value type; Problem-solving strategy; Teaching practice

最值問题的有效解决，一直是学生学习过程中的重点和难点。如何有效突破，进而提升学生的综合解题能力，是一线数学教师一直反复思考的问题。笔者认为，有效解决最值问题的有效策略是：识别模型、解法归类、分解化归、熟练应用。以下笔者结合查阅的资料和课堂的教学实践，对常见的最值问题及解题策略进行梳理和归纳。

一、最值问题的常见解题策略

几何类最值问题的基本解题策略是：将相关数学问题（如果是实际问题，应先抽象为数学问题）转化为可以利用“两点之间，线段最短”“垂线段最短”“三角形两边和大于第三边”等几何定理解决的问题，并加以解决。其中“两点间线段最短”是解决几何最值问题中最本质、最核心的依据，因而也是我们进行问题转化的出发点和落脚点。在解题中应给予十足关注，才能方向明确，游刃有余。代数类最值问题的基本解题策略是：选择适当的变量，并建立该变量与目标变量之间的函数关系（含对应关系、自变量的取值范围），并利用函数的图像、性质（增减性）等相关知识解决问题。其中函数的连续性是前提，增减性是保证，而在本质上是求函数值的范围，因此体现函数三要素的有机统一。代数类最值问题也常常可以通过配方法将代数式转化为完全平方式，并利用完全平方式的非负数加以解决;有时也可利用根的判别式建立不等式模型并加以解决。

二、常见最值问题的实例与赏析

（一）代数类最值问题及赏析

【例1】已知反比例函数[y=kx]，其中[k>-2]，且[k≠0]，[1≤x≤2]。若该函数的最大值与最小值的差是1，求[k]的值。

【赏析】本题以反比例为载体求最值问题，是很典型的代数类最值问题，基本思路为通过函数增减性及自变量取值范围求解，因为在自变量的不同取值范围内其最值往往是不同的，所以经常需要关注分类讨论，这是代数类最值问题解题的基本方法之一。如果在解题过程中能结合函数图像进行辅助性解题，则能更好地体现函数在求最值中的作用。

【例2】（2017年福建中考改编）已知直线[y=2x+m]与抛物线[y=ax2+ax+b]有一个公共点[M]（1，0），且[a

【赏析】本题是典型的应用函数或方程或配方求最值的代数类最值问题题目，全面体现了代数类最值问题的基本解法。（1）求[MN]范围，即为求[MN]最值。解题的关键是在画好图形的基础上（如图1），求出[MN]的表达式（用含[a]的代数式表示），并通过配方法或函数的性质加以解决。（2）解题的关键是在画好图形的基础上（如图1），求出[△QMN]的面积[S]的表达式（用含[a]的代数式表示），并通过配方法或函数的性质或根的判别式加以解决。

（二）几何类最值问题及其赏析

【例3】如图2，长方形[ABCD]中，[AB=6]，[BC=4]，在长方形的内部以[CD]边为斜边任意作[Rt△CDE]，连接[AE]，则线段[AE]长的最小值是______。

【赏析】本题的解题的关键在于找到动点运动的路径（轨迹）（如图3），再利用“两点之间，线段最短”即可求出最小值。

【例4】已知抛物线[y=38x2-34x-3]与[x]轴分别交于点[A]，[B]（点[B]在点[A]的右侧），与[y]轴交于点[C]，连接[BC]。（1）试做出符合题意的图形。（2）过点[B]作[BF⊥BC]交抛物线的对称轴于点[F]，以点[C]为圆心，以[3]为半径作[⊙C]，点[T]为[⊙C]上的一个动点，求[55TB+TF]的最小值。

【赏析】

（1）依题意画图，为结合最值的解决提供载体，这是解决几何最值问题的起点。（2）本题俗称“阿氏圆”问题（如图4），解题的关键是利用“三角形相似对应边成比例”将[55]。[TB]转化为一条线段，并利用“三角形的两边之和大于第三边” 解决，体现了几何类最值问题的解题本质，其中抛物线仅为载体而已。

【例5】如图5，四边形[ABCD]是菱形，[AB=6]，且[∠ABC=60°]，[M]是菱形内任一点，连接[AM]，[BM]，[CM]，则[AM+BM+CM]的最小值为________。

【赏析】本题俗称“费马点”问题，解题的关键是通过旋转[60°]构造等边三角形，将三条线段（[AM]，[BM]，[CM]）转化在同一条直线（[AE]）上（如图6），再利用“两点之间，线段最短”解决问题，很好地体现了几何类最值的解题本质。

总之，识别模型、解法归类、分解化归、熟练应用，是有效解决最值问题的有效策略，在数学的学习与研究中教师应给予关注和强化，以更有效地提升数学学习效益。

参考文献：

[1]苏岳.浅谈变式教学在数学教学中的应用[J].考试周刊，2018（10）.

[2]王建芬.借助模型破解中考几何最值问题[J].中学数学教育，2019（09）.

（责任编辑  袁  霜）