考纲为向、回归教材，学生为本、提高素养

俞纲

在高三的复习课教学中，教师应以考纲与教材为向设计教学内容，以学生为本选用教学方法，恰当地借助多媒体进行例题动画演示，提高复习效率，着力培养学生能力与核心素养.笔者现以“空间中垂直关系的证明”复习课为例，谈谈如何设计教学，才能有效提高学生的数学核心素养.

一、授课背景

2019年11月，笔者有幸参加了“昆明市2019年高三复习课课堂教学竞赛暨研讨活动”，上了人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学2（必修）》一节题为“空间中垂直关系的证明”的复习课，并获得一等奖，得到了专家评委较高的评价，现将此课教学设计与教学反思整理如下.

二、考纲分析、学生分析、教学目标、教法构想

1.考纲分析

对于空间中垂直关系的相关内容，《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科）》（以下简称《大纲》）中指出：理解空间直线、平面位置关系的定义，认识和理解空间中垂直的有关性质与判定定理，能运用公理、定理和已获得的結论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.同时，《大纲》提出空间想象能力的标准：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象.空间想象能力主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.

2.学情与考情分析

对于高三文科学生，容易出现的问题有：概念意识比较淡薄，推理的逻辑不够清晰，空间想象力不强，看图、画图和用图的能力比较弱.结合近几年文科立体几何高考题目考查特点，垂直证明问题的难度并不大，但往往结合图形翻转、组合图形来考查空间基本位置关系，考查学生空间想象与演绎推理的能力.

3.教学目标与教法构想

根据人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学2（必修）》的内容，笔者拟通过复习空间中几种垂直关系的定义、判定及其性质定理来建构空间垂直关系的知识体系;通过例题与练习厘清证明问题和演绎推理的逻辑思路;培养学生等价转化、空间想象及识图、用图的能力;通过问题导入、一题多变、合作与交流、主动反思总结的形式引导学生主动参与课堂活动，感受数学与现实世界的联系;渗透用数学眼光观察世界的意识，培养学生空间想象能力、转化和推理论证能力.

三、教学过程简录

1.课前准备

课前播放国庆70周年阅兵式视频及图片.

【设计意图】弘扬民族自豪感，引入生活中垂直关系的例子，吸引学生注意力，既为课堂作铺垫，又让学生感受数学与现实世界的联系.

2.复习定义

师：国庆阅兵式上那些整齐的队列与笔直的身姿彰显了中国军人的气质.图1中蕴含着很多空间中的垂直关系，请大家回顾空间中的垂直关系主要有哪些？教材如何定义？

生1：主要有线线垂直、线面垂直及面面垂直.

生2：只记得线面垂直的定义是直线垂直于平面内无数条直线，其他记不得了.

生3：线面垂直的定义应该是直线垂直于平面内两条相交直线.

师：生3所说的是线面垂直的判定定理而非定义;生2记得定义与判断定理不一样，很值得表扬，但可惜表述不正确.请大家打开教材第47页、64页、67页，齐声朗读三种垂直的定义，并反思刚才的错误.

大家齐声朗读教材上相关内容.

生2反思：刚才自己的错误在于认为无数条直线与任意一条直线是同一个意思，其实是不一样的.无数条直线不能代表任意一条直线.

师：反思得不错，大家在复习的时候要注意回归教材，重视定义.

【设计意图】学生复习往往不重视教材与概念，因此笔者先让学生暴露问题，再有针对性地辨析解决问题，以此提醒学生重视对基础知识的复习，并在教学中渗透用数学眼光观察世界的意识.

3.复习定理

师：根据定义，空间中两直线的垂直关系可能是异面垂直也可能是共面垂直，对于共面两直线垂直的研究，平面几何所学的知识仍然适用;对于线面垂直与面面垂直的研究，大家还学习了相应的判定定理和性质定理，下面我们一起来回顾一下.

热身练习：已知四面体PABC可能有：①PA⊥AB，②PA⊥AC，③AC⊥BC，④PA⊥平面ABC，⑤BC⊥平面PAC，⑥平面PAC⊥平面ABC.如图2，请以以上的一个或多个做条件，一个做结论，直接体现线面垂直判定定理、面面垂直判定定理、面面垂直性质定理的主要内容，并用语言表达该定理内容.

生4：线面垂直判定定理：由①PA⊥AB，②PA⊥AC，可得④PA⊥平面ABC.（若直线垂直于平面内两相交直线，则垂直于该平面）

生5：面面垂直判定定理：由④PA⊥平面ABC，可得⑥平面PAC⊥平面ABC.（若直线垂直于一平面，则经过该直线的平面必垂直于已知平面）

生6：面面垂直性质定理：由⑥平面PAC⊥平面ABC，可得④PA⊥平面ABC.（若两个平面相互垂直，则其中一个平面内的直线就垂直于另一平面）

师：前两位同学正确地阐述了线面垂直判定定理和面面垂直判定定理;第三位同学对面面垂直性质定理的阐述，其他同学是否有不同意见？

生7：平面PAC⊥平面ABC，并不能保证平面PAC内任意一条直线都垂直于平面ABC，只有当平面PAC内的直线垂直于两平面的交线时，才垂直于另一个平面.

师：不错，这位学生正确地阐述了面面垂直的性质定理.结合定义，再把这几个定理综合在一起，可以把它们看作是三种垂直关系间的转化.在不使用二面角定义的情况下，这种转化关系是以“线面垂直”为核心的一种“线性”转化的关系，如图3.

【设计意图】对定理的复习不应该空洞地去复习文字内容，而是应该创设一个图形环境，让学生进行回顾，暴露其问题，再有针对性地辨析.通过定义与定理的复习，使学生建立垂直关系的知识体系，形成简易的思维导图.

4.典例分析

例题：《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biēnào].在四面体PABC中（图4），若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，则

问题（1）：请判断四面体PABC是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）.

生8：四面体PABC是鳖臑，∠PAC，∠PAB，∠PCB和∠ACB为直角.

问题（2）：在上例中，过A做AE垂直PC于E，求证：AE⊥平面PBC.

师：请大家先独立完成，再小组讨论，看看有些什么证明方法？

通过独立思考证明，再由小组汇总后，学生发现了不少证明方法。笔者投影展示了其中几位同学的证明方法如下.

生9：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又由已知AC⊥BC，则BC⊥平面PAC，所以BC⊥AE，又由已知AE⊥PC，则AE⊥平面PBC.

生10：因为PA⊥平面ABC，且PA？奂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC;又由已知BC⊥AC，且BC？奂平面ABC，则BC⊥平面PAC，且BC？奂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC，且交线为PC，又由已知AE⊥PC，且AE？奂平面PAC，则AE⊥平面PBC.

师：两位同学的证法都正确，都很好地进行了三种垂直间的转化.他们的思路可以总结为：从条件分析，已知线面垂直有两种思路，可推得线线垂直或者面面垂直;从结论分析，要证线面垂直，也有两种思路，可以通过线线垂直或者面面垂直来证明.因此，搭配书写可以有四种不同的证明方法，但显然第一种是最简洁的.而这些不同证法的本质，也体现了解答分析证明题由因导果和执果索因两种典型的思维方法.

问题（3）：在问题（2）的条件下，过A做AF垂直PB于F，如图5，求证：EF⊥PB.

笔者请了两位同学到黑板上证明.

生11：由问题（2）的证明可知AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，后面就证不下去了.

生12：由问题（2）的证明可知AE⊥平面PBC，则AE⊥PB，又由已知AF⊥PB，且AE、AF都在平面AEF内，则PB⊥平面AEF.

师：两位同学从条件出发都没错，为何结果差异这么大呢？听了正确的方法，能否分析出自己出现问题的原因吗？

生11反思：没有从结论分析需要什么，从而没有目的性，条件推导就比较盲目.

师：很不错，对于相对复杂的证明问题，应该首先明确证明的目的是什么。同时，执果索因和由因导果的结合使用就显得尤为重要.

问题（4）：在问题（3）的条件下做出的四面体PAEF是否为鳖臑？

大家有的说不是，有的说是，热烈討论起来.通过一段时间的讨论，学生找到了逐一证明每个面都为直角三角形的方法，最终确定四面体PAEF是鳖臑.

师：能否快速看出来呢？

全体学生：一开始不能，逐一证明每个面的情况后才能看出.

师：第一问研究了什么？如果用第一问的模型来看呢？

全体学生恍然大悟：由第一问可知，当三棱锥底面为直角三角形，且顶点在底面的射影恰为底面斜边一个端点时，其对应的四面体就是鳖臑.由此可知四面体PAEF符合这个模型，它就是鳖臑.

【设计意图】此题源自人教A版《普通高中课程标准试验教科书数学2（必修）》第69页的探究，并进行了一题多问式的改编，由简单问题入手，层层推进引导学生自主解决问题，再针对学生出现的问题进行讲评.笔者通过例题巩固空间垂直体系，厘清证明思路，引导学生从判定定理和性质定理的结构中总结出证明的关键就是多种垂直关系间的转化，并渗透等价转化思想和中国古代数学文化，培养学生的推理论证能力和识图、用图能力.

5.课堂练习

练习1：（改编自2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标卷Ⅲ第19题）如图6，几何体是由矩形ADEB，直角三角形ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中BE=BF，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG.证明平面ABC⊥平面BCDG.

生13：想象不出翻折后的图形，所以做不出来.

生14：把矩形ADEB和菱形BFGC都向上翻折，在此过程中AB⊥BE，且AB⊥BC，所以AB⊥平面BCDG，则平面ABC⊥平面BCDG.

生15：思路和刚才生14一样，但看图角度不一样，我想把矩形ADEB从左向右翻折，菱形BFGC向上翻折使之重合.

看到不少同学皱着眉头，想象不出图形，笔者一方面让学生尝试自己折纸;另一方面用GeoGebra软件制作翻折动画进行演示如图7、图8，并总结道：“翻折问题首先要用一个合适的角度想象并观察图形，思考翻折过程中的“变”与“不变”：翻折过程中在同一平面内的几何对象，其位置关系与数量关系仍然保持不变;在不同平面内的几何对象，其位置关系可能会发生变化.当学生看懂并想象出图形翻折过程后，问题自然迎刃而解.”

练习2：（改编自2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标卷Ⅲ第19题）已知平面图形由矩形ABCD和以CD为直径的半圆组成（图9），P是半圆弧上异于C，D的点，现沿CD将图形翻折，使得矩形ABCD所在平面与半圆所在平面垂直，证明：平面PAD⊥平面PBC.

生16：翻折后，如图10，因为平面ABCD⊥平面PCD且交线为CD，AD⊥CD，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，后面就不知道该怎么证了.

生17：换个角度画图如图11，前面的方法与上一位同学一样，得到AD⊥平面PCD后，可知AD⊥PC，又根据CD为直径可知PC⊥PD，所以PC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD.

生16反思：就是因为图的位置不好观察，没看出CD为直径可推得PC⊥PD.

师：刚才两位同学的讲解和反思，再次体现出观察图形时角度选择与直观想象的重要性，在复习过程中我们要特别重视，多总结、多练习.

【设计意图】两个例题都改编自近年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标卷Ⅲ的相关试题，在保持题目条件基本不变的前提下增加了看图、用图的考查.很多同学不重视空间想象能力及识图、画图能力的培养，只会处理熟悉的图形与熟悉的视角.通过这两个题目，笔者给学生一种思路，提升了学生的空间想象能力及识图、画图能力.

6.课堂小结

师：本节课回顾了哪些基本内容？如何能形象地理解三种垂直关系的判定定理和性质定理？空间中垂直关系的证明要注意些什么？在后面的复习中还应该注意什么？

生18：复习了空间中三种垂直关系的定义及其相应的判定定理和性质定理.

生19：空间中垂直关系的几个定理可以形象地看作是三种垂直关系间的相互转化，要记住转化关系图.

生20： 证明要注意三种垂直间的转化条件有差异，不能记错.

生21：证明问题时要注意将从条件出发由因导果的分析方法和从结论思考执果索因的分析方法相结合.

生22： 对于立体几何的复习要加强看图、识图能力与空间想象能力的培养.

师：大家总结得很不错，这就是本节课我们的三维目标.

四、总结与反思

美国著名教育心理学家布鲁纳提出学习的本质是主动地形成认知结构，教学的目的在于理解当前知识的基本结构，包括基本概念、基本原理和基本态度与方法。因此，一轮复习应以考纲为向、教材为本，帮助学生对已学基础知识进行梳理、归纳总结，形成知识网络或思维导图.建构主义学生观认为学生并不是空着脑袋走进教室的，因此复习不是无视学生的经验另起炉灶，而应以学生为本，引导他们先回顾原有的知识并发现问题，再来弥补知识漏洞并解决问题，以此增长新的知识经验，同时学习过程有情境性，即使是一轮复习中这种高度概括与枯燥的内容，我们也不应该空洞地复习定理本身，而应尽量以情境化的教学活动让学生主动参与、主动暴露问题、自主反思，并在知识复习的过程中着眼于学生能力与核心素养的培养.

◇责任编辑 邱 艳◇