对一道教材数列试题多视角解答

杜海洋

(四川省成都经济技术开发区实验中学校 610100)

一、试题呈现

子题下面我们先目睹2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练(数学17题)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an．

(1)证明：数列{an+an+1}为等比数列；

母题在人教A版新课标教材必修《数学5》中第二章《数列》复习参考题B组第69页第6题：

已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

下面笔者在不同的视角下通过对此题的解答，进一步对由数列的二阶线性递推公式求数列的通项公式的解法进行归纳，以达到抛砖引玉的作用，也希望读者仿照解法对模拟演练试题进行多角度求解!.

二、解法的探究

解法一(教参提供解法)

解法二(利用累加法)

解法三(待定系数法1)

解法四(待定系数法2)

解法五(构造辅助数列)

解法六(分类讨论)

用逐项相消，再用奇偶讨论

由an+an-1=7·3n-2，得n-1个等式

a2+a1=7×30,a3+a2=7×3,a4+a3=7×32,a5+a4=7×33，…，an+an-1=7×3n-2，

讨论(1)当n为偶数时，n-1为奇数，将第2、4、6所有序号为偶数的式子乘以-1，再将这n-1个式子相加得：

(2)当n为奇数时，n-1为偶数，将第2、4、6所有序号为偶数的式子乘以-1，再将这n-1个式子相加得

解法七(特征根视角)

解法八(构造函数)

设a0,a1,…,an,…是给定的数列，作出以它为系数的多项式f(x)=a0+a1x+…+anxn+…，把f(x)称为该数列的母函数.

令f(x)=a1+a2x+a3x2+…anxn-1…①

-2xf(x)=-2a1x-2a2x2-2a3x3-…-2anxn…②

-3x2f(x)=-3a1x2-3a2x3-3a3x4-…-3anxn+1…③

①+②+③得

(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x+(a3-2a2-3a1)x2+…+(an-2an-1-3an-2)xn-1+…又an=2an-1+3an-2(n≥3)，所以(1-2x-3x2)f(x)=a1+(a2-2a1)x=5-8x.

纵观2021年新高考八省模拟演练数学试题，笔者发现，试题体现了新高考的特点即：在秉承素养导向、能力为重的原则下，突出考查学生的理性思维和探究能力，彰显了综合运用数学思想方法发展“四能”的意识.尤其是大量的试题创新设置丰富了试题的内容和形式、优化了试卷的结构.但细心发现，大量试题的背景来源依然是学生“熟悉”的面孔，只是呈现的形式玩了“花样”，实际上17题明显在教材的难度上下了台阶，只要平时教学留意，学生顺利完成不难.

波利亚曾说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但不太负载的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，把学生引入一个完整的理论领域.”教材许多例题、习题看似平常，实际上却有很大的教学价值和研究空间.纵观近几年全国各地高考题，模拟题均能找到课本习题、例题的影子，真正体现源于教材、活于教材、高于教材.高考中不变的是知识和思想方法，变化的无非是情景的呈现形式、问题的结构方式.这就要求平时在教学中，尤其典型例题和习题不但要讲,还要讲深讲透,同时还要进行一题多解多变, 既可以开拓学生的视野，又可以最大限度的发挥习题的最大功效，使之知一题懂一类.