常见不等式综合问题的三类题型及解法分析

王圆圆

(江苏省海头高级中学 222111)

一、结合函数最值求解

函数最值问题在高中数学的学习当中是同学们普遍反应最大的难点，解决函数最值的问题有多种多样的方法，很多题目都可以与基本不等式建立非常密切的联系，而且应用基本不等式的思路来思考求解问题的过程中，解题的速度会随之加快，更是能够保证解题的准确率.但是运用不等式求解函数的最值问题也需要同学们通过日常的训练建立相应的解题技巧，熟悉不等式及其定理，准确地掌握这些内容的基本应用方法.

解决这一类的题目需要同学们准确地运用基本不等式的内容，或者是基本不等式的变形来代入计算即可，需要同学们保证计算的准确性.

例题1存在x、y∈R+，经过计算得出4x2+y2+xy的值为1，试着算出2x+y的最大值.

解这道题目就是函数最值利用不等式的方法求解的一种较为简单的情况，在解决这道题目时，同学们可以运用基本不等式来进行解答，根据

a2+b2≥2ab(a、b∈R+),则4x2+y2≥4xy.

因此存在4x2+y2+xy≥4xy+xy

因此，通过计算

二、结合恒成立证明

巧列不等式来解决恒成立的问题，对同学们思维的灵活性有较高的要求，因为往往会在题目当中涉及到参数、变量等内容，通常会和几何、数量、函数的知识紧密地结合在一起进行考察，所以同学们要想准确地对这样的题目进行分析和计算，在掌握最基础的不等式的相关概念的同时，最重要的还应该掌握一种基本的等价转换思想和化归的思想.

在下面这道题目当中出现的是应用不等式求解恒成立问题的一种分离参数的思想，同学们需要把题目中给出的函数方程中的参数和其他的变量分离开来，然后通过函数最值求解的方法来进行计算.

例题2 已知存在二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x，同时满足f(0)=0，求解二次函数f(x)的解析式；在定义域[-1，1]上，二次函数y=f(x)的图像始终在直线y=2x+m的图像上方，试着求解m的取值范围.

解设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c,a≠0

因为二次函数满足f(0)=0，可得c=0

又因为f(x+1)-f(x)=2x

解得a=1,b=-1

即二次函数的解析式为f(x)=x2-x

由题可得x2-x>2x+m

即x2-3x>m恒成立

则y=x2-3x在定义域[-1，1]上的最小值为-2

因此可得m<-2

三、结合解析几何求解

解析几何的相关知识也是高中数学经常会考察的一个重点问题，同时也是同学们学习的难点.很多综合类的题目都会把不等式的相关知识和解析几何结合在一起进行考察，对同学们掌握的函数的基础知识的综合应用能力有较高的要求，需要同学们能够准确地使用不等式解决问题，达到一种化腐朽为神奇的效果.

从而在下面这道题目，当给出的双曲线的解析几何方程需要同学们进行适当的变形处理之后，再联立方程进行求解即可.同学们在进行计算的过程中需要准确的把握未知数的个数与方程的个数之间的关系.

解：根据题目当中的已知条件进行判断可得

4k2+4(3-k2)(k2+12)>0

联立题中给出的已知条件可得

不等式综合题型的考核是高考的热点也是常考点，各位教师应该重点把握的教学原则是这一部分知识并不是独立存在的.我们在实际的教学当中最开始的教学必须要让同学们掌握不等式的相关性质，熟练地运用这些性质去解决一些简单的问题，才能在后续的综合型题目的练习当中取得更好的成绩.