多点思维 多点开花——以2018年全国Ⅱ文第12题为例

刘美景

(江苏省徐州市侯集高级中学 221121)

著名数学家苏步青在《谈谈怎样学好数学》中写到：“正确地理解数学的基本概念之所以重要，是因为它是掌握数学基础知识的前提.犹如造房屋那样，基础打得牢靠些，将来在它的上面造起来的房屋就不会坍毁.”在解决一些数学问题时，一定要充分理解数学的基本概念与基本性质，挖掘内涵，这才是解决问题的本质.2018年高考全国Ⅱ卷文科第12题中的函数问题，就是一道可以充分深挖内涵、巧妙拓展的好题.

一、真题在线

高考真题(2018·全国Ⅱ文·12，理·11)已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

二、多向思维

结合抽象函数的基本性质与关系式，通过奇函数的性质、周期函数等来转化与处理，可以直接利用函数的基本性质来切入，也可以借助特殊函数的引入来解决.

思维角度1(函数基本性质法1)

解法1 由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为T=4.

结合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，而f(2)=f(-2)=-f(2)，可得f(2)=0，则有f(4)=-f(2)=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故选C.

思维角度2(函数基本性质法2)

解法2 由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为T=4.

而f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，则有f(0)=0.结合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，f(2)=-f(0)=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故选C.

思维角度3(特殊函数法1)

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2，故选C.

三、拓展变式

通过深入分析该题，改变条件，拓展思维，可以得到意想不到的效果，真正达到“认真解答一个题，拓广解决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的美好目的.

变式方向1 改变条件，转化求解代数式

变式1 已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(2018)+f(2019)=( ).

A.2018 B.-2 C.2 D.2019

解析由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为T=4.

而f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，则有f(0)=0，可得f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=f(0)=0，f(2019)=f(505×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.

所以f(2018)+f(2019)=0-2=-2.故选B.

变式方向2改变条件，增加和式

变式2 已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=( ).

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

解析由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为T=4.结合f(x+1)=-f(x-1)，f(1)=2，可得f(3)=-f(1)=-2，而f(2)=f(-2)=-f(2)，可得f(2)=0，则有f(4)=-f(2)=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故选C.

变式方向3改变条件，给出给定区间的函数解析式

变式3 已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).当x∈(0，1]时，f(x)=2x3，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=( ).

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

解析由于f(x)是奇函数，且满足f(1-x)=f(1+x)，则有f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为T=4，而f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，则有f(0)=0，而当x∈(0，1]时，f(x)=2x3，可得f(1)=2，结合f(x+1)=-f(x-1)，可得f(3)=-f(1)=-2，f(2)=-f(0)=0，则有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故选C.

变式方向4改变条件，增加三角函数内容

A.-2018 B.0 C.2 D.2018

而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504×0+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2，故选C.

罗增儒教授说过：“一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，无异于入宝山而空返.”通过一题多解，一题多变等实践，没有停留在原有的解出题目的基础上，而是解题后进行了变式探究.通过一题多变，培养学生的转向机智及思维的应变性，实现提高发散思维的变通性.把课本练习题、考题等通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”“一题多得”的效果.