从“十字架”基本相似三角形出发的试题改编及反思

阮凯能

[摘  要] 基础的几何图形蕴含丰富的几何变化和数学模型，是编题的好素材. 文章以“矩形中的十字架型”为基础图形，编拟不同的试题，达到激发学生思维、提升学生综合能力的目的.

[关键词] 基础图形;十字架型;改编

基础的几何图形，往往蕴含丰富的几何变化和数学模型. 因此，这样的图形是我们改编和命题的好素材. 数学教师应能够挖掘图形特征，合理更改结构、巧妙变化图形、灵活整改条件，以改编题目来达到激发学生思想、考查学生综合能力的目的.

改编背景

笔者在讲授一节中考专题复习课“矩形中的十字架型”中，提出了十字架这个基础模型. 如图1，矩形中的垂直线段构成一组相似三角形（△ADE∽△BAC），两条垂直线段的比等于矩形的长宽比 = . 我们称图1这个模型为“十字架”模型. 除了这两个三角形相似以外，也易证明在这个图形中所有的三角形都是相似的.

然而，在后续的练习中，笔者设置了这样一个问题：如图2，请找出图中有哪些相似的三角形？失望的是，学生受模型学习的负向迁移，顾此失彼，只能找出一小部分的相似三角形. 实际上，图中藏着许多组教师经常归纳总结的特征三角形，例如：全等三角形（△ADG≌△CBH）、射影定理中的相似三角形（△AGE∽△DGA）、“A”字型相似三角形（△AEG∽△ABH）、“8”字型相似三角形（△AEG∽△CDG）、“十字架”型的相似三角形（△ADE∽△BAC）……

题目改编

针对这个有众多特征的图形，为了激发学生对于图形的全面分析和综合应用能力，笔者在之后的教学中以“双十字架”为模型改编了一系列的综合压轴题.

原稿：发现全等相似，综合运用.

命题说明：

原稿笔者的意图是想让学生能整体把握这个图形的特点，考查学生对于图形中全等三角形、相似三角形的观察和运用.

题目：

如圖3，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点G，BF⊥AC于点H，

（1）证明：EG=FH;

（2）若AD=1，AB=3，求AG;

（3）若四边形BEDF为菱形，AE=1，求菱形的边长.

解析 （1）（2）略.

（3）设菱形边长为x，

由于△AEG∽△ABH，可得BH=（1+x）EG.？摇

由于△AGD≌△CHB，可得DG=BH=（1+x）EG，ED=EG+GD=（2+x）EG=x.

由射影定理可得AE2=EG·ED，代入x2-x-2=0，则x=2，菱形的边长为2.

分析 本题前两问比较简单，学生只需要关注单一的两个三角形的全等或者相似. 第三问则要综合运用前面的全等和相似的结论，学生要关注到更加全面的三角形之间的关系，能够充分挖掘几个三角形的相似. 同时，运用简单的设元思想，用方程去解决问题也会让本题的解答更加容易.

第1稿：变化基本图形，本质不变.

命题说明：

十字架模型在矩形中的结论是可以延续到平行四边形甚至三角形中的. 将原题中的矩形变成平行四边形时，笔者发现上面的全等和相似图形也基本会得到保留. 同时，增加垂直的条件来构造更多的相似的直角三角形也是笔者的改编方向之一. 于是，笔者设计了以一般的平行四边形为背景的第1稿.

题目：

如图4，在平行四边形ABCD中，BD=12，BD⊥AE，BD⊥CF，

（1）求证：BG=DH.

（2）设BE∶EC=k，解决以下问题：

①若k= ，四边形AECF的面积为48，求GE;

②若k= ，四边形AECF为菱形，求GE.？摇

解析 （1）略.

（2）①由于BE∶EC=1∶4，那么BG∶GH∶DH=1∶4∶1. 由于BD=12，那么GH=8. 四边形AECF的面积为48，GH为四边形的高，则AE=6. 由于△BGE∽△DGA，则GE=1.

②如图5，连结AC，EF，由中心对称知道O平分EF. 由于BE∶EC=1∶2，BG∶GO=1∶1，则BG=3，GO=3. 设GE=x，由于△BGE∽△DGA，则AG=3x. 由射影定理可得GO2=AG·GE，代入3x2=9，得x= ，则GE= .

分析 从矩形到平行四边形，图中仍然保留了两个垂直的十字架. 学生仍要观察图形中的几组全等三角形和相似三角形. 在改编过程中，图形的核心特征和结论并没有改变.

第二问考查了菱形的知识点. 学生能联想到对角线垂直，就能发现新的相似三角形（△AGO∽△OGE）. 再利用几组相似三角形之间的比例转化，就可以建立方程.

第2稿：套嵌二次函数，形藏其中.

命题说明：

函数和几何，是学生初中学习的重要板块. 设计一道函数与图形相结合的大题，也是笔者思考改编设计的一个方向. 笔者希望命制一道以第一稿为基础的几何与函数综合题，能让学生抓住几何特点，挖掘函数隐藏信息，从而解决问题.

题目：

如图6，矩形OABC在直角坐标系中，函数y=ax2-2ax+c交AB于点D，交OC于点E，

（1）当点B坐标为（2，4）时，若y=ax2-2ax+c的顶点恰好在BC上，且∠CBE=∠AOD，求函数的解析式;

（2）当点B坐标为（m，2m）时，连结AC，若AC⊥OD于点F，AC⊥BE于点G，y=ax2-2ax+c的对称轴恰好过点G，求函数的解析式.

解析 （1）由于函数y=ax2-2ax+c，可知函数对称轴为x=1. 由于顶点在BC上，可知顶点P坐标（1，4）. 由于B（2，4），可知点D、点E关于x=1对称，OE=AD.？摇 由于∠CBE=∠AOD，可知△BCE≌△OAD，则CE=AD，那么OE=CE，则E（0，2），D（2，2）. 代入P（1，4），E（0，2），可知函数解析式：y=-2x2+4x+2.

（2）易证明△BCE∽△COA，那么CE=0.5m，则 = . 由于△CEG∽△COF，则 = = . 由全等可知：CG=AF，则CG∶GF∶AF=1∶3∶1. 由于函数对称轴恰好过点G，则点G的横坐标为1. 根据比例关系，那么m=5，则E（0，7.5），D（5，2.5），代入可知函数解析式：y= - x2+ x+ .

分析 本题中学生要挖掘函数y=ax2-2ax+c的隐藏信息：对称轴为x=1;同时也要挖掘几何图形的信息：多组的全等三角形和相似三角形. 用几何条件来提供代数的条件，比较好地体现了数形结合的思想. 第二小题中，学生既可以用比例关系求得m的值，也可以用常规方法去表示G点的坐标. 题目起点较低，能让不同思维层次的学生都有所收获.？摇？摇？摇？摇

第3稿：挖掘中心对称，加入圆形.

命题说明：

从整体上看，这个图形是以长方形的中心为对称中心的图形. 从这个特点分析，在这个图形上添加其他的中心对称图形，既能丰富图形的内涵，同时又能保留图形的优美性质. 笔者在尝试以后，考虑到垂直与圆有很多结论，于是在原图形上添加一个圆，命制了第3稿.

题目：

，矩形ABCD中，DE⊥AC于点G，BF⊥AC于点H. 请完成以下问题：

（1）证明：△AGE≌△CHF;

（2）若AD=3，AB=4，求AG和△ADE的面積;

（3）连结EF，以EF为直径作圆，分别交DE、BF于点M、N，若GM∶MD=1∶2，AG=3，求圆的半径.

解析 （1）（2）略.

（3）如图8，由中心对称性质可知EF与AC的交点就是圆心O. 由垂径定理知EG=MG. 由于GM∶MD=1∶2，则EG∶GD=1∶3. 由△AGD≌△CHB可得DG=BH，则EG∶BH=1∶3. 由于△AEG∽△ABH且AG=3，可得GH=6，OG=3. 由射影定理可得AG2=EG·GD，代入EG= ，则r= =2 .

分析 对比第1稿，第3稿题目考查的知识点更加灵活多样. 从大的整体入手，学生要把握图形的中心对称，寻找圆心. 从小的圆和垂直入手，则提醒学生去联想垂径定理，计算半径.

改编后本题的关键是灵活转化GM∶MD=1∶2这个条件，将这个比例转化到不同的相似三角形中去. 第3稿的改编，仍然需要学生观察运用图形中的相似和全等三角形，图形的核心特征和考查点仍然得到了很好的保留，几个经典模型的组合也很好地考查了学生的综合运用能力.

总结

1. 利用图形的变化，特殊到一般相互转化

改编题目的时候，最常见的思路就是变化图形，这里使用平移、旋转、对称又是最常见的变化方式. 对于基础形状，我们在编题的时候又可以考虑从特殊到一般地进行探究发现. 例如，在原稿到第1稿的改编中，笔者就是把矩形变化成了平行四边形. 反过来，我们也可以在一般的图形上面加入一些特殊的形状来引发学生进一步的探究思考. 例如，在原稿和第1稿中笔者最后都加入了菱形，丰富了题目的内涵. 灵活变化基础图形，发掘图形变化中“不变的内核”，这是改编者的重要的技能.

2. 整合条件，调整结构，凸显考查方向？摇

题目的条件变化会让题目焕然一新. 正确的改编要让题目的一些条件隐藏起来，一些结论显现出来. 例如，第3稿中笔者在最后一问中给出了“GM∶MD=1∶2”这个条件，凸显了比例关系，是希望学生去联想转化相似的比例线段. 选择半径作为所求结论，是因为求圆的半径是较常见的题型，笔者期望学生能够联想垂径定理去求半径. 利用条件的变化，我们可以改变考查方向和意图. 对于题目的条件和结论的调整转化能让试题的考查方向变得清晰. 另外，变更条件和结论的方式，也常常能让题目有更多的拓展可能.

3. 组合基本模型，创造改编方向

解决复杂的几何题目往往需要学生有能够从其中剥离出一些基础的数学模型的能力，教师也经常会在日常的教学中补充渗透很多数学模型. 同样地，对于题目的改编我们也可以参考这类方法，在原来的图形上构造基础模型或者将几个基础图形进行组合重构. 在第1、2、3稿中笔者的改编想法都是紧紧围绕对原稿中原本的图形增添一些基本图形来展开的，加入图形、加入坐标系甚至加入函数都是我们可以去思考改编题目的方向.

同时，我们可以将大题分小题设置，凸显其中的某些基础模型，这会让题目有梯度，同时也是设计探究发现类大题的重要方法.