在“做数学”中推动自主探究①

张爱平 王磊 陈美华

摘要：“做数学”是一种以“做”为支架的发现和提出问题、分析和解决问题的数学学习活动，具有运用材料和工具、动手和动脑有机结合、以感官促思维等特征。“做数学”突出了数学探究的重要方面，符合学生（尤其是低年级学生）的认知特征（从具体、直观、感受出发）， 能够推动学生的数学探究。数学教学中，教师可以创设“做数学”活动，引导学生探究发现数学结论和方法以及数学结构（与思维）。

关键词：“做数学”;数学探究;数学结论;数学方法;数学结构

现代学习理论认为，自主探究通常是最好的学习方式，能帮助学生充分理解所学内容，发展学科素养，培养学习能力。弗赖登塔尔认为，数学学习应该经历内容的“再发现”与“再创造”过程，即所谓的“数学化”。而“再发现”与“再创造”离不开自主探究。

G. 波利亚认为，数学探究通常是一个发现和提出问题、分析和解决问题的过程，一般可分为发现（猜想）与证明（或反驳）这两个基本阶段。这个过程不仅包括抽象思考、演绎推理、严密计算，而且包括通常被认为属于科学探究的观察、实验、验证、归纳、类比、想象、直觉等，由此能够发现并证明数学结论和方法，发现并体会数学结构（与思维）。

“做数学”是一种以“做”为支架的发现和提出问题、分析和解决问题的数学学习活动，具有运用材料和工具、动手和动脑有机结合、以感官促思维等特征。在“做数学”的过程中，学生常要通过观察、实验、验证等实践活动，展开类比、归纳、想象、直觉等思维活动，从而发现数学结论和方法以及数学结构（与思维）。可见，“做数学”突出了数学探究的重要方面，符合学生（尤其是低年级学生） 的认知特征（从具体、直观、感受出发）， 能够推动学生的数学探究。

因此，数学教学中，教师可以创设“做数学”活动来推动学生的自主探究。下面通过具体案例进行阐述。

一、在“做数学”中探究发现数学结论

很多数学结论（如定理、公式、性质、法则等） 具有直观或实际意义。学生可以通过“做数学”再现这种“直观”与“实际”，探究发现数学结论，再通过证明加以确定（或否定）。

例如，在初中，为了发展学生的空间观念，可以引导学生探究正方体截面的形状：用一个平面截正方体，截面的形状可能是什么？ 对此，学生很难通过想象、画图以及切割实物发现结论。教师可以引导学生在可密闭的全透明的正方体盒子中注入不同量的有颜色的水，并且不断调整正方体盒子的摆放位置，观察水面的形状，从而归纳发现结论。

首先，在正方体盒子中注入少量的水，将盒子水平放置在桌面上，观察发现水面是正方形（如图1所示）; 再不断调整盒子的摆放位置，观察发现水面可能是三角形、四边形和五边形（如图2所）。

其次，在正方体盒子中注入较多的水，将盒子水平放置在桌面上，观察发现水面是正方形（如图3所示）; 再不断调整盒子的摆放位置，观察发现水面可能是四边形、五边形和六边形（如图4所）。

进一步观察还能够发现：截面三角形是锐角三角形;截面四边形至少有一组对边平行，即可以是矩形、正方形、平行四边形、梯形;截面五边形有两组对边平行;截面六边形三组对边都平行。

由此，教师可以引导学生思考：截面为什么不可能是七边形、八边形乃至更多边形？ 截面多边形为什么具有上述特征？ 并让学生尝试说明理由。

在此基础上，可以让学生再探究其他几何体截面的形状，继续通过“做数学”探究发现结论，促进经验与方法的内化。

再如，教学“分式的性质”时，为了提升学生对分式（分数）大小的感悟（属于数感）， 可以引导学生探究分子单独、分母单独或分子和分母同时加或减一些数后分数大小的变化。对此，可以引导学生联系糖水甜度变化的生活经验，类比发现有关结论。

然后，可以引导学生通过严谨的代数推理来证明这些不等关系和相等关系。

此外，还可以引导学生思考：上面所得的式子中，各个字母表示的都是正数，那么如果它们是负数，相应的式子还成立吗？ 从而进一步促进学生思考与探究的完善。

二、在“做数学”中探究发现数学方法

有时，尤其是学习一些几何知识时，通过“做数学”，不仅能够探究发现数学结论，而且能够探究发现证明（确定）数学结论的方法。

例如，教學“三角形内角和定理”时，学生不难通过多次画图、测量、计算，归纳猜想：所有三角形的内角和都是180 度。那么，怎么证明这个结论呢？ 可以引导学生“做数学”，探究发现证明方法。

可以引导学生用纸片把三角形的三个内角撕拼成一个平角，从而发现作一条边的平行线，利用内错角相等来移角，并结合平角为180 度来证明的方法（如图5所示）。

可以引导学生在数学软件（如“网络画板”） 中，画出△ABC，沿CB或BC延长线方向拖动顶点B或C，发现∠B或∠C在变小，∠A在增大，但∠B或∠C与∠A的和不变，而AB或AC越来越接近与BC平行的位置，从而发现作一条边的平行线，利用内错角相等来移角，并结合同旁内角之和为180 度来证明的方法（如图6所示）。

还可以引导学生玩“转笔游戏”：将铅笔依次绕三角形的三个顶点按同样的方向（如顺时针）转过三个内角，发现笔尖开始的朝向与最终的朝向正好相反（如图7所示）， 从而考虑将三次旋转集中到一点，发现作一条边的平行线，利用内错角相等和同位角相等来移角，并结合平角为180 度来证明的方法（如图8所示）。

再如，教学“圆周角定理”时，学生不难通过多次画图、测量、计算，归纳猜想：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧度所对的圆周角相等。那么，怎么证明这个结论呢？ 可以引导学生“做数学”，探究发现证明方法。

为此，可以制作“圆周角探究仪”：如下页图9， 由圆轨道、直轨道、2个定点与2个动点构成。通过直轨道上动点的移动，可以发现同弧度所对的圆内角、圆周角和圆外角的大小关系。而通过圆轨道上动点的移动，可以发现：当圆心在圆周角的一条边上时（如下页图10 所示）， 很容易证明圆周角是圆心角的一半;当圆心在圆周角内部时（如下页图11 所示）， 圆周角可以转化为两个一边经过圆心的圆周角的和;当圆心在圆周角外部时（如下页图12 所示）， 圆周角可以转化为两个一边经过圆心的圆周角的差。由此，不难得到圆周角定理的分类讨论证明方法。

又如，教学“圆的面积计算公式”时，可以引导学生类比迁移将平行四边形、三角形、梯形割补转化为长方形或平行四边形，从而得到相应面积计算公式的方法，思考如何将圆割补转化为已经学过面积计算公式的图形来得到圆的面积计算公式。然后，可以引导学生“做数学”，探究发现转化方法：抓住圆的本质特征（半径相等）， 基于对称美的直觉，从便于操作的角度，通过对折将圆形纸板等分成4个、8个、16 个、32 个…… 扇形纸板，再将得到的扇形纸板密合拼接，看能得到什么图形。

学生不难得到多个近似（曲边）平行四边形（如图13 所示）， 进而发现：当分割的等份数越来越大时，拼接得到的曲边平行四边形越来越接近长方形。由此，引导学生分析得到：曲边平行四边形不断接近的长方形长和宽分别是πr和r，所以面积是πr²，从而得到圆的面积计算公式S=πr²。学生可以从中体会到化曲为直和极限的思想。

教师还可以引导学生将得到的扇形纸板近似密合拼接，得到多个近似（曲边）三角形和多个近似（曲边）梯形（ 16 等份时图形如图14 所示），进而发现：当分割的等份数越来越大时，拼接得到的曲边三角形和曲边梯形越来越接近三角形和梯形。由此，学生同样可以得到圆的面积计算公式，还可以提高思维的灵活性。

此外，教师可以引导学生利用生活中由一圈圈布条围成的圆形杯垫（如图15 所示）进行操作： 把杯垫沿半径剪开，将布条尽量拉直并有序排列， 发现可以拼接成一个近似三角形，其底就是圆的周长，其高就是圆的半径（如图16 所示）， 从而很容易得到圆的面积计算公式。

三、在“做数学”中探究发现数学结构

G. 波利亚有过一个比喻：“好问题与某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。“其实， 这是因为数学结论之间是存在联系的，即数学结论是具有结构性的。因此，通过“做数学”，不仅可以探究发现数学结论，而且应该努力在变化和迁移中探究发现更多结论，从而发现数学结构，完善认知结构，进而充分感悟数学思维，真正学会数学探究。

例如，教学“等腰三角形的轴对称性”后，可引导学生从“等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等”这一简单（特殊）性质出发，通过“做数学”的方式进行拓展探究：先后将底边的中点变成对称轴上的任意一点、底边及其延长线上的任意一点、三角形内的任意一点，将等腰三角形变成等边三角形、一般三角形，迁移运用有关经验与方法。学生于探究中能够发现并证明关于三角形内部或边上的点到各边的距离的更多（一般）性质，从中发现数学结构，感悟数学思维。

“等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等” 这一性质利用符号语言和图形语言表示就是：如图17，在△ABC中，AB=AC，P是BC边的中点， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足为E、F，求证：PE=PF。其证明较简单：可以证明△PBE≌△PCF;可以连接AP，利用AP平分∠BAC证明△PAE≌△PAF。

然后，可以利用数学软件（如“网络画板”）在中线AP所在直线上移动点P（如图18 所示）， 引导学生发现始终有PE=PF，即：等腰三角形底边上的中线所在直线上的任意一点到两腰的距离相等。

也可以在底边BC上移动点P，同时度量PE、PF的长度（如图19 所示）， 引导学生基于点P与端点B或C重合的极端情况，发现始终有PE+ PF=BG（=CH）， 即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于腰上的高。这一结论的证明稍有难度。可以引导学生过点P作PD⊥BG于D，先证明四边形PDGF是矩形，再证明△BPE≌△PBD;也可以引导学生连接AP，通过S△ABC= S△APB+S△APC来证明。

还可以在底边BC的延长线上移动点P，类似地引导学生得到：等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离差等于腰上的高。

接着，可以把底边BC上的点P移动到△ABC内，并增加PD⊥BC于D的条件，引导学生探究等腰三角形內任意一点到三边的距离满足的关系。

对此，首先可以引导学生注意到三角形三边地位的平等性（对称性）， 假设三角形是等边三角形，即从最特殊的情况开始探究。学生基于点P与顶点A或B或C重合的极端情况，发现并证明等边三角形内任意一点到三边的距离和等于任一边上的高。

参考文献：

[1] 董林伟，等.初中数学实验的理论与实践研究[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

[2] 喻平，从PME视角看数学核心素养及其培养[J].教育研究与评论（中学教育教学）2017（2）.

[3] 赵维坤，董林伟.初中数学实验工具的开发与利用[J]数学通报，2018（11）.

[4] 董林伟， 赵维坤等. 初中数学实验的课程开发与实施[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.

（张爱平，江苏省南京市教育科学研究所副所长。特级教师，正高级教师。第四批“江苏人民教育家培养工程”培养对象，南京市陶行知教育思想研究会副会长，南京师范大学教育硕士兼职导师，南京晓庄学院客座教授。主持研究江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题“初中数学体验室建设与利用的研究”、江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“初中数学体验校本课程的开发研究”等课题10项。研究成果《初中数学体验教学的实践探索》获江苏省第五届教育科研成果一等奖。王磊，南京师范大学附属中学树人学校。中国数学奥林匹克国家一级教练员。江苏省基础教育质量监测中心命题组成员。曾获全国数学优质课竞赛一等奖，江苏省数学优质课竞赛第一名。陈美华，江苏省常州市实验小学。特级教师。常州市小学数学学科兼职教研员，常州市小学数学实验教学研究项目负责人。中国教育学会小学数学专业委员会先进工作者， 常州市教育领军人才。多篇论文发表于核心期刊或被人大复印报刊资料《小学数学教与学》全文转载。）