仿射幂零Hecke代数的Gröbner-Shirshov基

2021-08-04古丽米热阿迪力马可心姑力尼夹尔牙生吾甫尔卡德尔

数字通信世界 2021年7期

古丽米热·阿迪力，马可心，姑力尼夹尔·牙生，吾甫尔·卡德尔

（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046）

0 引言

为了在交换代数上解决约化问题Buchberger在文献[1]中建立了Gröbner基理论。在文献[2]中通过证明钻石引理，Bergman 把Buchberger的理论推广到结合代数上。而在李代数及其包络代数上的相应的理论是由Shirshov在文献[3]中建立。Shirshov的主要思想之一是对于李代数中任意两个元素定义了一个称为合成的运算，并且证明了“合成引理”。后来在文献[4]中Bokut证明了Shirshov在李代数上的方法对结合代数仍然有效。因此我们现在把Buchberger，Bergman 和Shirshov共同创建的理论统称为Gröbner-Shirshov基理论，并且Bergman的钻石引理和Shirshov的合成引理统称为合成钻石引理。合成钻石引理在Gröbner-Shirshov基理论中具有核心地位，因为有了此引理我们就可以说有了一个代数的Gröbner-Shirshov基等价于得到了相应的商代数的一组线性基，而且Gröbner-Shirshov基里的每一个元素可以由其首项刻画。代数及其表示的Gröbner-Shirshov基理论建立后在数学的各个领域得到了广泛的应用，如计算元素的正规形式；解词问题；共轭性问题；证明不同代数之间的嵌入定理、PBW定理；计算同调、增长函数及构造单项式基等方面。

在本论文中，首先用文献[5][6]的算法来给出仿射幂零Hecke代数的Gröbner-Shirshov基，然后作为一个应用，我们用结合代数的钻石合成引理给出仿射幂零Hecke代数的一组线性基。