离散型随机变量概率分布运算大揭秘

王 心

例1 （2019年全国卷I 第6 题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是（ ）

你读懂题意了吗？ 题中“重卦”的定义“是由6 个爻组成”，提供了什么信息呢？对，就是有6 个位置摆放爻．

当你遇到困难时，再重新读题，弄懂定义的含义，再重新组合信息，就能找到解题的突破口．本题实质就是在特定的平面图形中选取线段的概率问题．

变题

已知△ABC的面积为4，点D,E,F分别为三边AB,BC,CA的中点，从三个顶点和三个中点中任取三个点构成的图形的面积为随机变量ξ，规定线段的面积为0．（1）求ξ=2 的概率；（2）求ξ的概率分布列及数学期望．

(2)ξ的可能值为0,1,2,4 共4 种情况．当三点共线时，ξ=0，有3 种取法，当ξ=1 时，取两个中点和一个顶点或者三个中点，则有所以当取三个顶点时，ξ=4，所以ξ的概率分布列为右表：

ξ 0 1 2 4 P 3?3 1 20 1 2 10 20

在计算随机变量对应的概率时，一定要弄清基本事件总数，做到不重复不遗漏．

例2正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，从8 个顶点中任取4 个点构成的图形的体积为随机变量X（规定当四点共面时，体积为0），则X的概率分布列为_________；数学期望E(X)=____________．

你有没有漏掉对角面的情况？正四面体有几个？体积怎么求？

4=70种取法，其中四点共面的有6 个表面正方形，6 个对角面，计12 个．三棱锥(四面体)有70−12=58个，正四面体D1−AB1C类型有2 个，其体积为非正四面体有56 个，其体积均为所以X的可能值为0(12 个)，(56 个)，(2个)，其概率分布列如右表．所以

X 0 1 6__1 3__P 6 4 1_________35__5____35_

你有没有算得很慢？找到原因了吗？

可以是因为没有找出四点共面的四边形个数，也可能是因为计算正四面体的体积时，没有利用分割法求解，而是利用三棱锥的体积公式．

所以要学会先观察几何图形的结构特征，再选择策略．

变题

已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都等于2．（1）从三个侧面的六条对角线中任选2 条，求这两条对角线组成异面直线的概率；（2）从6 个顶点中任取4 个点，这4 个点组成空间图形体积为ξ（规定四点共面时，ξ=0）．求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．

2 3 3 P ξ 0 4 1 5 5

E(ξ)=0×所以数学期望E(ξ)为

你有没有忽略两底面各取两个点，组成正四面体的情况？要正确利用分类讨论思想哦．

例3已知边长为1 的正六边形ABCDEF的中心O，现从六个顶点及中心O这七个点中任取三个点，这三个点组成的平面图形的面积为ξ（规定当三点共线时，ξ=0）．

（1）求三个点构成直角三角形的概率；（2）求ξ的分布列及数学期望．

(2)①三点共线，有3 条，ξ=0，P(ξ=0)=②直角三角形有12 个，面积为③由中心O和顶点组成的正三角形，如△AOB，有6 个，面积由三个顶点构成的等腰三角形ABC类型，有6 个，面积ξ=由一个中心和两个顶点构成的等腰三角形AOC类型，有6 个，面积ξ=故④还有2 个正三角形△ACE，△BDF，边长为面积

所以ξ的分布列见表，E(ξ)=

ξ 0 3 3 4 P 3 3 4 2 3 2 35 18 35 12 35 35

你的分类全不全？概率和是不是等于1？有没有考虑三个顶点组成正三角形的情况？

敲黑板

概率统计问题经常提供一个数学问题背景，具体的计算证明往往要用到如不等式、拆项、数学归纳法、求导等，同学们要加强与之有关的综合性的知识复习哦！