于平凡处见功底——统计案例求解策略

王思俭

新一轮高考数学命题改革已经悄然实施，数学建模在高考试题中得以体现，概率统计已经成为高考的重点和热点，同时也是不少同学失分重灾区．

你有遇到过吗？

“相关系数的公式太繁琐，我老是算错．”“统计案例的2×2 列联表中数据经常统计错误，有时重复，有时遗漏，于是计算错误．”“线性回归方程常常求错，不知道什么原因．”“正态分布与概率的综合问题不会做．”

为什么中档题屡屡失分？我们来给这道统计题做个“全盘扫描”吧．

考题扫描（2020·新高考山东卷19）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：

SO2?PM2.5 [0,50] (50,150] (150,475][0,35] 32 18 4(35,75] 6 8 12(75,115] 3 7 10

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的2×2 列联表：

SO2 PM2.5 [0,150] (150,475][0,75](75,115]

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．（附表略）

“长手哥”点评：统计案例中由于样本总和一般是整十或整百等，所以我们看到教材中，所获得的概率结果形式都是用小数表示(更具体直观)，高考题的标准答案也是小数形式，因此，我们最好写成小数形式．

由表格可知，该市100 天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 的天数有32+6+18+8=64天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150 的概率为

敲黑板

首问一般考简单概率，审题要迅速，计算不出错．

“长手哥”点评：完全正确．考前内心焦急的你，完全可以匀一点时间给教材，许多标准答案可是以教材为依据的!

SO2 PM2.5 [0,150] (150,475] 合计[0,75] 66 15 81(75,115] 8 11 19合计 74 26 100

然后计算χ2的值，得χ2=即χ2≈1.240，居然无法估算!

敲黑板

求解这类问题的步骤是：

第一步，根据题目中相关的数据列出2×2 列联表；

第二步，将所列的2×2列联表中数据代入χ2公式，求出χ2的值；

第三步，结合临界值表可得结论，要严格按照教材要求格式规范答题．

（同学们你也来找找茬吧）

“长手哥”点评：此类题以代入计算为主，对数学的运算能力要求较高，推荐大家用心阅读王老师新书《怎样学会数学运算》．

（1）若此次知识竞答得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设µ,σ分别从这200 名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求µ，σ的值（µ，σ的值四舍五入取整数），并计算P(37

（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次活动竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于µ的获得1 次抽奖机会，得分不低于µ的获得2 次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18 元红包的概率为抽到36元红包的概率为已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．（参考数据略）

收纳袋

一般情况下题目所给的数据不会是三个区间端点，都需要进行重新组合，利用图形的对称性进行等价转化，化归为3σ区间求解．我们可以反过来推测：都有哪些重新组合的“花样”呢？

“长手哥”提醒：请你再读题，再一次理解“得分低于µ的获得1 次抽奖机会，得分不低于µ的获得2 次抽奖机会”的含义，从中能否找到有用的信息？

所以Y的分布列为：

Y 18 36 54 72 P 1 3 7 2 1 18 9 18

估计所需要抽奖红包的总金额为：200×36=7 200(元)．

“长手哥”点评：很好!弄清楚Y的取值构成非常重要．如54 元必须是36+18，抽奖机会1 次或者2 次，这就需要分类讨论，只有灵活运用数学思想方法才能提高运算速度．

敲黑板

求解这类问题的步骤是：

第一步，计算数学期望µ和σ；

第二步判断是否符合正态分布N(µ,)σ；

第三步判断所给的数据是否在(µ−σ,µ+σ)，(µ−2σ,µ+2σ)，(µ−3σ,µ+σ3)三个范围内；

第四步利用正态分布图形的对称性进行重新组合；

第五步代入公式计算，求出概率．

实战演练

1．某学校高三2 500 名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，则考生成绩在550～600 分的人数为__________．

2．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下．

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；

（2）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；___________

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0．01）．（附表略）