二项分布面面观

吴 承

新题速递 （2021·苏北四市模拟）

某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216 人进行调查，部分数据如下表所示（单位:人）:

?好评 差评 合计男性 68 108女性 60合计 216

瑞士数学家雅·伯努利首次研究独立重复试验（每次成功率均为p），以他为首的伯努利家族在概率论、统计学上做出了杰出的基础性贡献．

（1）请将2×2 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．

（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3 人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；

（3）在抽出的216 人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10 人，从给出“差评”的观众中抽取m(m∈N*)人，现从这(10+m)人中，随机抽出2 人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1,求m的最大值．

参考公式：其中n=a+b+c+d.

参考数据：

P(χx)2 ≥ 0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中，所期望的结果出现次数的概率．

判断模型：试验只可能有两个结果(“发生”或者“不发生”)，且是独立的，重复进行；(如不放回的摸球则不属于)

确定期望结果及出现次数：如掷3 次硬币，我期望正面朝上（期望结果），想了解2 次（出现次数）正面朝上有多大概率．

试验归试验，在实际应用中，往往要采用无放回抽样（检测完毕后的样品不能再放回去了），这时候实际上属于超几何分布，计算起来往往会比较麻烦．在整体容量比较大的情况下，我们一般会近似地看成是有放回抽样，也即是二项分布．

证明期望

两点分布是二项分布的一个特例，即n=1 时的二项分布，二项分布可以看作是两点分布的一般形式．因为n次独立重复试验每次的数学期望都是p，所以从整体上看n个独立的两点分布即为二项分布，它的期望当然是n个期望的和，即E(X)=np．

试证明：若X～B(n,p)，则E(X)=np.

证明1令

则P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1−p,E(Xi)=0×(1−p)+1×p=p，

证明2设

两边同乘p，令x=p，得

由于p+q=1，所以

规范答题

Q1.分布列表示时不列表会被扣分吗？

答：题目如果只求分布列，那么符号表达、列举表达、分布表表达有一个就可以；如果是求概率分布，则要列举法和分布表都写出．二项分布概率公式的通项公式，后面必须注明k=0,1,2,…,n．如果没有注明，则只能代表其中一项，肯定是要被扣分的．

Q2：没有写概率类型，比如“服从二项分布”或者“X～B(n,p)”没有写，但是按照二项分布公式计算，会不会被扣分呢？

答：如果按定义式求解，一般不扣分；没有写X～B(n,p)，而直接用E(X)=np，不得分．注意，是不得分哦!

新题详解

解：(1)填写2×2 列联表如下：

好评 差评 合计男性 40 68 108女性 60 48 108合计 100 116 216?

所以有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.

(2)从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1 人为男性的概率为且各次抽取之间相互独立.

X 0 1 2 3 P 27 54 36 8 125 125 125 125

(3)Y的可能取值为0，1，2，所以

又m∈N*，所以m的最大值为2.