学往深处：基于运算律的小学数学深度学习

摘要：深度学习是热门的研究话题，具备问题情境性、探索空间性、高阶思维性和积极情感性四大特征，有助于降低小学数学运算律的理解难度，推进多元表征学习，促进数学深度理解。运算律教学过程中，首先在导入中建构知识体系，鼓励学生提出猜想，其次在探究中培养推理能力，启发学生进行说理;最后在反思中引领回顾总结，拓展学生数学认知。

关键词：深度学习;数学核心素养;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）06B-0067-05

“深度学习”的概念起源于人工神经网络的研究。学习科学视域中的深度学习更强调学习者对知识的深层加工、深度理解及长期保持，学习者要善于自主建构、迁移应用并在真实情景中解决复杂问题。深度学习落实到小学数学的课堂教学中，应该具有以下特点：一是基于问题情境，学生能够经历提出假设并逐步验证的过程;二是有探索空间，为学生创设一个探索和学习真实发生的时空;三是有高阶思维，学习的过程是知识的深度加工的过程;四是有积极情感伴随，在数学逐步走向深入的同时，学生能够体会到满足感和成就感。

“乘法分配律”是一种乘法运算规律，涉及两种不同级的运算，因为沟通了乘法与加、减法之间的联系，学生理解起来有一定的难度。从深度学习的视角出发，本课采用了小组合作学习的模式，鼓励学生用不同方式表征乘法分配律模型背后的算理，实现对知识的深度加工。而学生在经历发现乘法分配律，用图形、文字、符号语言描述所发现的规律，最后运用规律联想拓展认知的结构化学习过程中，他们的数学抽象能力、推理能力都能得到很好的发展，进而实现数学核心素养的发展。

一、在导入中建构知识体系，鼓励学生提出猜想

数学知识本身是有内在结构的，学生的认知结构也是遵循一定的规律建构的。对学生来说某一节课学习的是单个知识点，但是对教师来说则必须要跳出一节课的单个知识点的桎梏，从知识结构的角度去整体地、全面地看待这个知识点在整个单元，乃至整个数学知识体系中的地位和意义，在导入中建构知识体系，并适时鼓励学生提出猜想，这样才能培养学生整体的思维能力和数学眼光。

（一）基于数学知识内在的结构提出合理的猜想

从教材内容的编排来看，乘法分配律是运算律单元教学的最后一个运算规律，也可以看作乘法和加法运算之间的一种勾连。乘法分配律与其他运算律的不同之处就在于，它是两种不同级的运算之间的规律，其复杂之处在于此，变式多样的原因也在于此。

因此，教师从纵向的运算律知识结构入手，通过引导学生回忆已经学过的加法和乘法的运算律，并利用课件出示结构图（如图1），帮助学生梳理已经学过的运算律，明确这些已有的知识都是只适用于一种运算的规律。

接着，教师提出问题：加法和乘法之间会有什么运算规律呢？引导学生产生猜想：有没有适用于两种运算的规律呢？有了猜想，再想办法研究、验证，符合数学活动探究的规律。

像这样从结构导入还能让学生从一开始就明确乘法分配律与其他运算律的不同，凸显了区别，防患于未然。

（二）基于學生已有的知识经验提出合理的猜想

学生是学习的主体，已有的知识经验会直接影响到他们对新知的学习。早在三年级学习两、三位数的乘法时，教材已经渗透了乘法分配律的思想（如图2、图3）。

“例题3”是结合具体情景引导学生理解两位数乘两位数的算理：24×12可以看成是24×10+24×2，即“12个24相加”可以先分别算出“10个24相加的和”及“2个24相加的和”，再把两个和合起来。

教师教学用书中针对“复习”的第10题后两组练习提出了具体的教学建议：学生可以“结合乘法的意义对蕴含其中的运算规律有所体会”，即34×21可以看成是“20个34与1个34的和就是21个34相加”，13×29可以看成是“从30个13里去掉1个13，就是29个13相加” [1] 。

三年级的学生可能不知道这种运算规律的具体名称，但他们会形成这样一个模糊而感性的概念：当两个数相乘时，可以把其中一个数拆分以后分别去乘另一个数。因此，当教师提出了14×3+6×3这样的算式时，学生自然会产生两种不同的算法：先乘后加或先加后乘。

14×3+6×3            14×3+6×3

=42+18              =（14+6）×3

=60                        =20×3

=60

前者符合混合运算的运算顺序，后者可能只是某些学生的数学直觉。教师捕捉到学生的这种“直觉”，并在接下来的探究中把它用数学的方法解释清楚、表达出来，进而提炼为数学规律与方法，这样既顺应了学生已有的知识经验，又激发了学生探究的兴趣。

二、在探究中培养推理能力，启发学生进行说理

数学的发展史从某种意义上来说是依靠推理来完成的，推理能力既是数学核心素养之一，也是人的思维方式之一。一般来说，推理可以分为合情推理和演绎推理两大类，合情推理是由特殊到一般，演绎推理是由一般到特殊。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“在解决问题的过程中，这两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。”[2]

在小学生的数学学习中，合情推理占了主导地位，这是由小学生的思维特点和学习内容所决定的。合情推理更多地要依靠直观想象和感性经验，小学生的思维特点是形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，“这种抽象逻辑思维，在很大程度上仍然与感性经验相联系，仍然具有很大成分的具体形象性”[3]。但这并不意味着演绎推理不重要，而是提醒教师在教学中要重视演绎推理的逐步渗透和过渡，使合情推理与演绎推理的综合使用成为学生有意识的自觉行为。

曹培英教授说过：“启发学生说理，是培养推理能力初级教学阶段最主要的手段与基本途径。”[4]教师如果有意识地启发学生说理，把学生的想法呈现出来，通过对比，引导学生理解其内涵，体会到不同表征方式的特征及适用范围，不仅可以丰富学生的合情推理，还可以引进演绎推理，因为“说理”就是学生演绎的依据。这样就能帮助学生逐步养成根据不同的情况选择合适的推理方式的思维习惯和能力，体现出深度学习在培养学生推理能力方面的意义和价值。

在“乘法分配律”一课中，教师首先呈现“14×3+6×3=（14+6）×3”这一等式，提出问题：“两个不同的式子，计算结果却相等，你知道其中的道理吗？把你的想法表达出来。”学生独立思考后，基于个体的学习经验和能力，就会出现不同的表达方式，从举例、画图、计算说理等多个角度来进行说理。

一是结合情景说理。史宁中教授曾经说过，任何运算都是在讲故事。在学生的思维世界里，与生活情景相结合的具体实例是他们理解抽象的数学概念生动且有效的载体。教师在教学中可以设置情景：明明每天做14朵花，小红每天做6朵花，两人一起做了3天，一共做了多少朵花？学生会主动地运用情景和数量关系赋予乘法分配律实际意义，进而推理出等式成立。

二是基于画图说理。如图4，图中圆的总个数，既可以看成是两部分合起来的14×3+6×3，也可以看成每行有（14+6）个圆，共3行，用算式表示为（14+6）×3。

画图是几何直观的表征形式，点子图、圆圈图、长方形图都可以用以形象地表达乘法分配律的几何意义。

三是通过计算说理。通过计算14×3+6×3=60，（14+6）×3=60，得出因为两个算式的计算结果都是60，所以等式成立的结论。或结合乘法的意义，14×3表示14个3相加，6×3表示6个3相加，合起来一共有20个3相加。

乘法意义直指乘法分配律的核心，它可以涵盖所有情况，从本质上完成了对乘法分配律的数学表征：只要符合乘法分配律这样的结构特征和数字特征的两个式子，都可以用“几个几和几个几相加”的意义来解释为什么两个不同的式子计算结果是相同的，更具有普适性。

不同的表征方式体现着学生不同的思维方式，从大量计算现象中猜想、归纳出乘法分配律，发展的是学生的合情推理能力;有目标的说理表达渗透了演绎推理的证明思想。两种思想的融会贯通，可以打通不同方法之间的壁垒，让学生体会到不同推理方式在发展数学思维上的价值所在。

三、在反思中引领回顾总结，拓展学生数学认知

建构主义学习理论认为“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”。乘法分配律从建构运算律的知识结构开始学习，最后还是要回到结构中去，不仅是知识结构，还有数学学习方法、数学思维方式的不断沟通与联系，才能使数学学习逐步走向深度。

（一）回顾知识运用，感受新旧知识的联系

学生对于运用“两数之和（差）乘一个数等于这两个数先分别乘同一个数再求和（差）”这一运算规律进行计算是有经验的，只不过在本节课学习之前并不知道这就叫“乘法分配律”。所以，教师在引导学生学习新知的同时，还可以促使学生感悟新知识和原有经验之间的关系，适当引导学生回忆：“其实以前我们在学习其他数学知识的时候就用到过乘法分配律了，谁还有印象？”然后出示两、三位数的乘法笔算过程和长方形周长的两种计算方式。

学生发现，原来在很早前就已经接触过乘法分配律了。学生“回过头看一看”的过程，既有效地沟通了新旧知识之间的联系，使原本散乱的知识点逐渐变得清晰且具有结构性，又能使原本抽象的运算律的内涵变得丰富、生动起来：它不仅是一个计算的规律，还能够解释算理，成为灵活计算的依据，有着广泛的实际应用价值。

（二）提炼学习方法，形成自主学习的能力

新授结束后，教师通过问题“想一想，我们是怎么研究这一运算规律的？”引导学生梳理出数学知识的研究方法：举例观察、比较发现、推理验证、归纳总结。学生及时对自己在探究过程中获得的基本活动经验进行总结和提炼，使原本模糊的、直觉的经验上升为清晰的、理性的数学思想方法。梳理研究思路是为了实现方法的迁移：如果以后遇到需要探究规律的问题，我们也可以用这样的思路进行研究。这就为学生形成自主学习的能力奠定基础。

（三）回归内容体系，完成规律认知的拓展

回归最初的猜想“加法和乘法之间会有怎样的运算规律”，教师通过比较乘法分配律和其他运算律的不同之处，一方面可以检测学生对于乘法分配律的掌握情况，呼应本节课的开始环节;另一方面也是对于乘法分配律结构模型的再一次巩固和深化，通过比较乘法分配律和其他运算律的不同，完善运算律的知识结构体系。

教师提出问题“乘法分配律还可以怎样变化？”，让基本的数学模型再次“生长”，激发学生深入探索乘法分配律模型适用的范围，帮助学生进一步拓展对乘法分配律的认识，也为他们将来灵活运用乘法分配律分析和解决各种问题做了知识的储备，奠定了坚实的基础。

教师最后布置了一项作业：用今天学到的验证方法想办法说明（a-b）×c=a×c-b×c甚至（a+b+c…）×d=a×d+b×d+c×d+…×d一定成立。这样就能进一步达成认知的拓展抽象，学生能够在新一轮的说理过程中知其然并知其所以然，从而完成对乘法分配律的完整认知，不仅体会到了知识的来龙去脉，而且领悟了知识背后的数学思想，发展了抽象和推理能力。

总之，把当前要学习的数学知识放进知识体系中，让学生在探究的过程中充分体验，在此基础上进行知识结构的提升，训练数学语言的表达，能充分发挥学生学的积极性。学厚数学知识，练深数学思维，投入对数学的情感，就能在深度学习中进一步落实数学核心素养的培养。

参考文献：

[1]南京东方数學教育科学研究所.义务教育教科书·数学教师教学用书（三年级下册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014：46.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：7.

[3]朱智贤.儿童心理学[M].北京：人民教育出版社，1981：344.

[4]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017：140.

责任编辑：石萍

本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“促进深度学习的课程整合设计与实施研究”（B-b/2016/02/61）的阶段性成果。

收稿日期：2021-04-12

作者简介：孟初薇，太仓市实验小学（江苏太仓，215400），研究方向为小学数学教育。