“两次倒转”：数学概念教学的应然选择

【摘 要】数学概念教学的价值在于将外在、显性、普遍的知识转化为人内在、隐性、个体的解决问题的立场、方法与观点。在概念教学中，采用先“倒过来”再“转回去”的“两次倒转”教学机制，明确内容与方向，展现过程与方法，圆融知识与智慧。

【关键词】两次倒转;教学机制;初中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）45-0034-04

【作者简介】王华，江苏省镇江市丹徒区石马中学（江苏镇江，212113）副校长，高级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省首批“苏教名家”培养对象。

在知识本位的数学课堂中，数学的概念、原理和法则都是作为静态的知识呈现的，不少学生掌握知识，却不会思考知识、追问知识，教学过程功利化、形式化，缺乏“悟”的时间。然而回顾历史，每个数学概念的创生都凝聚了前人无数的心血和智慧，虽然简单重复前人的探究历程不现实也不经济，但以“再创造”的方式简化、重现、模拟前人探究的典型过程却非常必要。北京师范大学郭华教授提出的“两次倒转”教学机制，旨在通过“倒过来”明确教学的内容与方向，通过“转回去”再现概念探究的典型过程，从而将外在、显性、普遍的知识转化为人内在、隐性、个体的解决问题的立场、方法与观点。那么，在概念教学中如何运用“两次倒转”展现过程与方法，从而达成深度教学呢？本文以苏科版数学七上“无理数”概念的教学为例，谈谈具体的教学路径。

一、“倒过来”，明确内容与方向

数学概念的教学既不能简化成概念的简单堆砌、直接传递，也不能只是重复人类初获概念时的实践、试误。教学过程应当将人类认识的终点当成学生认识的起点，这样的认识过程是一种“倒过来”的过程。这种过程能让教师明晰教学的内容和方向，明了教材逻辑与学生心理的巨大落差，有着独特的教学优越性。

1.解构多重教学内容。

数学概念的教学不能仅限于事实性知识的“记中学”，还应包括方法性知识的“做中学”和价值性知识的“悟中学”。如有教师认为，“无理数”这一概念十分简单，即无理数是无限不循环小数，学生记住就行，没什么可教。显然这样的观点将无理数教学内容简化成“僵化的知识”，忽略了无理数创生历程之艰难及隐藏在无理数背后的人类理性精神。因此，无理数的教学内容应当是多重的、有层次的，不仅仅包括无理数的概念，还应包括无理数概念创生背后的数学学科思维、方法和价值。

2.明了巨大认知落差。

数学概念的呈现主要有两条线索，其一是学科逻辑，其二是学生心理逻辑。如无理数内容是安排在苏科版数学教材七上第二章“有理数”之中。它便于引出实数，明晰“实数与数轴上的点一一对应”，从学科逻辑上讲这样的安排是很有必要的，体现了数学知识的严谨与客观。但是，从学生的心理来看存在两个认知困境：其一，[2]为什么不是有理数？直接用反证法去逻辑推理显然无懈可击，但对从来没有接触过反证法的学生来说将是一个挑战。其二，无理数是无限不循环的，无限意味着无法穷举，不循环意味着没有规律，这看不见摸不着的东西怎么让人信服与接纳？因而人类的认识成果与学生心理认知之间产生了巨大的认知落差。

3.设置高阶教学目标。

基于数学概念的多重教学内容，以及学科逻辑和心理逻辑间的落差，教学需设置高阶目标化解学生产生的认知冲突，多维度完成教学任务，让学生在关注事实性知识的同时，感悟概念所蕴含的学科思维、方法和价值。具体而言，教师的教学目标是利用多种方式和途径建立“人类对无理数的认识”与“学生的认知困境”之间的联系。学生的学习目标为：（1）无理数是实实在在存在的;（2）“[2]是无理数”是有道理的;（3）感受无理数创生过程中的理性光辉。

二、“转回去”，展现过程与方法

“转回去”是在明晰人类认识和学生认识的关系之后，从情境中提出问题，简约地、模拟地去经历人类认识的典型过程，引导学生将新知识转化为前行的基础和力量[1]17，获得研究问题的方法，并进一步转化为“承载着情感与偏见、蕴含着历史文化和生活时空的主体性、意义性存在”的“个人知识”[2]。

1.确定起点，设计情境。

通过解构人类认识的过程获得概念教学的多重任务，通过分析人类认识与学生认识的差异设定概念教学的目标。在教学实施中，应当依据内容和目标，以学生生活经验或数学经验为认知起点，设计合适的情境，引导学生提出问题、主动探究，进而自主“发现”并建构人类已有的认识成果。

从无理数产生的历史看，在早期，人们认为宇宙万物都可以用两整数之比（即有理數）来解释。也就是说，给定任意两条线段，必存在第三条线段（或许很短），它可以整数次度量完给定的两条线段，即任意两条线段可公度。在这样的认识基础之上，有理数显得非常“完美”，那为什么会引入无理数呢？关键是人们发现了不可公度量的存在。因此，让学生典型而简约地重演无理数的发现过程，感受不可公度量的存在，他们才能切身体会到无理数学习的必要性。

根据学生现有的水平、经验以及发展需要，可以确定学生学习的起点为判别两条线段可公度，能通过拼图求正方形的对角线长。进而设置下列问题情境：（1）将两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，可以拼成一个大正方形，求大正方形的边长;（2）能否找到第三条线段，使其能以整数次量完大正方形的边长[2]和小正方形的边长1。[3]教师通过这一环节的设置，促使学生能够走进历史，感受认知冲突，进而提出无理数概念。

2.聚焦问题，展示求解。

知识僵化变成教条，其实不是知识本身的错误，而是人们遗忘了知识创生背后的问题。问题具有指向性和邀请性的特点，问题的指向性可以聚焦学习者的思维，使目标物凸显在学习者的眼前，否则学习者的思维就会因缺乏对象而无从下手、一无所获;而问题的邀请性则代表问题期盼学习者的回答，否则“化知为识”“转识成智”就丧失了内在的动力和支撑。如果说聚焦问题是数学概念教学的支点，那么展示问题求解则是获得数学概念的重要路径。

古希腊之后的两千多年来，人们围绕“无理数是不是数”这个问题，一直进行着各种争论，直到19世纪才由戴德金、柯西、魏尔斯特拉斯等数学家构造严密的实数理论，消除了人们对无理数的神秘感。中学阶段不便涉及实数理论，只要将其作为已经建设好的平台，放心去使用就行了。[4]在中学里，无理数有两种不同方式的定义，一是不能表示成两个整数之比的数，一是无限不循环小数。两种定义是人类认识不同阶段的产物，其对学生的教育意义不同，前者符合无理数的缘起，比后者更适合作为认知的固着点，而后者形象且具体，学生更容易感知。教学时，可以通过聚焦问题，简约地模拟出人类认知无理数概念的过程。

基于学生的心理认知，将“无理数是不是数”这个问题进一步教学化，聚焦以下三个问题：（1）[2]究竟有多大？（2）是否真的存在既无限不能穷举，又无规则不循环的小数？（即无理数的存在性问题）（3）为什么[2]是无理数？教学时，采用“十分法”逼近和计算机结果演示两种手段，让学生感受[2]的结果可以表示成小数，它是没完没了，又不循环的。但毕竟探索和机器演示的结果是有限的，那这样无限不循环的小数真实存在吗？此时，“你能否构造一个无限不循环小数？”的问题顺时而出，学生通过构造0.10100100010000…（相邻两个1之间依次多一个0）便证明了无限不循环小数的存在，进而引出无理数的定义。而[2]是无理数的结论不是靠猜想，而是靠严格的逻辑证明得到，进而展示古人的求解方法，即用反证法证明[2]是无理数。

3.参悟知识，跃迁教学。

尽管一些教师也是基于问题，并在求解中演绎数学的概念，却很难真正做到“转识成智”，其原因就在于缺乏对知识的参悟，局限于事实性知识的“记中学”，未能触及概念所蕴含的逻辑形式和意义层面，从而参悟不到方法性和价值性的知识。在“转回去”的过程中应当增加学生“做”和“悟”的机会，提升概念教学的层级，实现教学的跃迁，从而彰显出知识形成中人的思考、思维、方法、情感与意志的作用，呈现概念教学新的景象。

教学时，学生不仅要了解无理数的概念（课程标准的要求），而且要简要地经历无理数的“发现”过程，更重要的是感受到西帕苏斯发现无理数是人类理性思维的胜利。另外，不可公度量的发现本身就是一个传奇，这是极好的教学素材。显然，要想真正“转识成智”，教师必须走出狭隘的教学观，而把教学设定于“师生生命活动”的视域中，循着人类的理性精神，学生可以人为地“造出”无理数。而进一步论证[2]是无理数的反证法也可以变得易于学生理解，因为许多场合都用到反证法，如苏轼的《琴诗》便是极好的例证，“若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？若言声在指头上，何不于君指上听？”由此可见，人文的论辩和数学的证明，都需要遵循逻辑规则。在意境上，古诗和数学可以相通，其背后的思维价值极高。

三、“两次倒转”，圆融知识与智慧

在“两次倒转”（先“倒过来”，再“转回去”）的概念教学中，教师、学生和知识得以高度的统一，教师的教引发着学生高质量、有意义的学，学生与知识相互交融，构成全新的学习主体与知识对象的关系，即“对象对主体的意义不在于它或他是可以认识的物，而在于在对象上凝聚了主体的客观化了的生活和精神”[5]。可以说“两次倒转”融合了主体与对象，圆融（圆者周遍之义，融者融通融和之义）了知识与智慧，从而积淀为“个人知识”，化知识为德性。

1.“两次倒转”相互依存。

首先，“倒过来”的新知识是学习的目标和学习的重点。其次，“转回去”重演数学概念的创生过程，揭示出凝聚在历史长河中的数学家们创生知识背后的数学学科思维、方法和价值，唤起学生进一步达成高阶目标的心智，让学生走进知识。最后，“倒过来”为“转过去”提供了新的探讨点。如尝试解决“用第三条线段整数次度量完长为[2]的线段和长为1的线段”这一问题后，让学生阅读材料“正五边形、不可公度及无理数”，相当于再次经历人类理性思维的胜利，进一步生发智慧。

2.“两次倒转”积淀知识。

在“两次倒转”的概念教学中，人类的认识成果“倒过来”成为学生的认识起点，而后用“转回去”的方式，让概念基于学生现实经验，成于“历史相似性”的学生艰苦探究。学生获得事实性知识的同时，参悟概念蕴涵的逻辑形式与意义，在持续的反思中建构“个人知识”。无理数概念的教学必须让学生经历无理数的发生发展过程，感受一个概念生成的艰难曲折，明晰一丝不苟的纯粹理性指引着无理数的“从无到有”，从而学生会被这种精神所折服，自然地徜徉在数学的历史长河之中，“再创造”地学习数学，积淀“个人知识”，进而“转识成智”。

3.“两次倒转”涵养德性。

在“两次倒转”的教学活动中，学生在教师的帮助下将静态的知识（人类认识成果）转化为自身的本质力量，也在自己的心里种下能够承担未来社会历史实践重任的责任心、价值观，发展出能够承担未来社会历史实践重担的能力、情怀与品格。[1]20黑格尔认为，一个人做了这样或那样一件合乎伦理的事，还不能说他是有道德，只有当这种行为成为他性格中固定要素时，才可以说他是有德的。教学就是要完成这个使命，使它的知识化为学生的智慧，使这种智慧内化为他们的德性。

【参考文献】

[1]郭华.带领学生进入历史：“两次倒转”教学机制的理论意义[J] .北京大学教育评论，2016，14（2）：8-26.

[2]苏鸿.意义世界视野下的课程知识观[J].课程·教材·教法，2007（5）：9.

[3]王华.教应有理 学需思辨——基于超经验数学研究的“无理数”教学设计[J].中国数学教育，2016（11）：37.

[4]张奠宙，王华，司擎天.无理数教學三人谈——超经验数学研究之一[J].数学教学，2015（8）：1.

[5]波兰尼.个人知识——迈向后批判哲学[M].许泽民，译.贵阳：贵州人民出版社，2000：93.