多措并举：让学生的数学智慧自然生成

摘要：在“分数的意义”教学中，要引领学生在多元表征中内化分数的份数定义，在数形结合中明确分数的双重“身份”，在变式对比中巧妙完善分数概念的外延，在正向迁移中建构分数双重身份的相应解题模型，在一题多解与算法优化中强化分数的运算意义。以此有效地促进数学概念的内化，实现知识与智慧的自然生长，提升学生的理性思维，培养学生的核心素养。

关键词：多元表征;数形结合;变式对比;正向迁移;算法优化

人教版教材对分数五种意义的教学进行了精心的安排与合理的布置。最新审定的人教版教材将“分数五种意义的教学”分为三个阶段进行教学，其中第二阶段的“分数的意义与性质、分数的加减运算”是五年级下册的内容，它是在三年级上册分别教学了一个物体的几分之一（几）和一群物体的几分之一（几）的基础上进行教学的，其中就涉及到了分数五种不同意义中的前四种，即关系（部分与整体的关系、两个同类量之间的关系）、商（分数与除法的关系）、直线上的分数，以及分数加减法运算等。第三阶段即六年级安排的认识“比”和分数的乘除法运算。实践中我发现，目前学生“分数的意义”学习效率较低，其主要原因一是教师没有引导学生对分數的两种身份（表示分率或数量）建构清晰的认识和相应的解题模型，二是没有很好地引领学生在变式、对比中打破原有认知图式的束缚，实现“分数的意义”在更高层面上的知识顺应与重构。浙江省特级教师俞正强认为：“解决之道是让学生先深刻经历关于量的分数的认识，谂熟之后，再经历关于分率的分数的认识。在此基础上比较两个认识的差别，以此解决量与分率的混淆问题。”

一、在多元表征中内化分数的份数定义

教学中，我鼓励学生用不同的表征方式让具象的分数抽象化，让抽象的分数形象化，并且把不同表征形式联系起来，体现转换，促使学生真正理解分数的概念。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》五年级下册“分数的意义”时，为了让学生真正内化“分数表示部分与整体的关系”这一数学模型，我们引领学生开展了以下的表征活动。

（一）看图说分数的含义，在激活与唤醒中积累丰富的表象

先出示平均分的情境图，让学生说说怎样可以得到以下的分数，是怎么想的。引导学生完整回答如下：

1.把一个月饼平均分成（4）份，表示这样的（1）份就是它的[14];

2.把一盘面包平均分成（4）份，表示这样的（3）份就是它的[34];

3.把一堆糖平均分成（3）份，表示这样的（2）份就是它的[23];

4.把一堆糖平均分成（6）份，表示这样的（5）份就是它的[56]。

认识了单位“1”后，让学生再次看着图和分数说说刚才四个分数，分别是把单位“1”平均分成几份，表示这样的几份。

（二）看分数说含义，在逐步抽象中自然生成“分数的意义”

先看图写分数，完成教材第47页的第1～3题，在实践中丰富学习经验。让学生看着4个抽象的分数，在头脑里想象相应的图形，并说一说它们各自的含义。学生回答如下：

1.[34]表示把单位“1”平均分成四份，表示这样的三份;

2.[（_）8]表示把单位“1”平均分成八份，表示这样的一份或几份;

3.[3（_）]表示把单位“1”平均分成若干份，表示这样的三份;

4.[（_）（_）]表示把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份。

在追问中学生自然概括出分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

（三）看分数涂颜色，通过由抽象到形象的外化活动深刻理解分数的份数定义

学生之前一直在“说分数”，这时可以提问他们：“你会‘画分数吗？”让学生完成教材上第47页的第4题“按要求涂色。涂完后，很据实际情况，继续提问：“有同学将花朵剩余的三分之二和气球剩余的二分之一都涂上了喜欢的黄色。黄色的花和黄色的气球都各有6个，为什么各自对应的分数却不同呢？”

这一问使学生明白：虽然黄色的花和黄色的气球都各有6个，但它们各自所属的整体不一样，即每个单位“1”所含的物体总个数不同，平均分的份数和取的份数也不同，所以对应的分数也不同。

在以上过程中，我有意识地引领学生借助图形表征、情境表征、言语表征、符号表征等，经历了由具体到抽象再到具体的多元表征过程，使得有关分数意义的鲜活表象与抽象符号间建立起了“非人为”的实质性联系，从而真正实现了分数概念的意义建构。

二、在数形结合中明确分数的双重“身份”

我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。” 面对一个比较复杂抽象的数学概念，如果我们能借助几何直观，用画图的办法把它描述刻画出来，抽象难懂的概念会立刻变得简明、形象，更利于理解与内化。

如在教学“分数的意义”第一课时后半段，我借助画图对比和动态演示，引导学生明确了分数的两种“身份”：表示具体数量或倍比关系。

（一）说生活中分数的具体意义，完善分数“份数定义”的内涵

出示题目：五年级一班学生中，会打乒乓球的占[59]。

生：把全班人数看作单位“1”，平均分成9份，会打乒乓球的人数有这样的5份。

师：我们可以用一条线段来表示总人数，将它平均分成9份，其中的5份表示打乒乓球的人数。可见，这里的分数表示的是一个数量中部分与整体的关系。（如图1）

生：（齐读）分数可以表示部分与整体的关系。

这时，我出示过渡问题：分数还可以表示怎样的关系呢？通过研究学生会发现，分数既可以表示部分与整体的关系，又可以表示两个量之间的关系。这时，又可以顺势提出一个相关的概念：表示关系的分数还可以称为分率。

（二）用直线上的点表示分数，在几何直观中渗透分数的测量意义

在学生了解了分数的内涵之后，还可以继续延伸：其实分数还可以用直线上的点的来表示。出示题目：若把直线上从0到1的这一段看成单位“1”，图2中把单位“1”平均分成了几份？你能填出相应的分数吗？独自想一想、填一填。

可以启发学生：括号里的分数，还可以怎样填？你是怎么想的？这样，他们的思维被激活了，顺势就可以得出结论：表示整数1的点，用[12]作为计数单位，是[22];用[13]作为计数单位，是[33]，等等。用不同的分数单位来测量同一个对象，得到的分数是不一样的，这是真正的数学思维。

（三）在首尾互应中巧妙拓展，明晰分数的两种“身份”

分率与数量是数形结合中分数的双重“身份”，在本节课的教学中，引导学生明晰分数的这两种“身份”，是教学的重点和难点内容之一。可以通过分数的含义和表示入手，强化学生对分率与数量的认知。使学生彻底明确分数的两种“身份。”

著名数学教育家张奠宙认为：“分数的份数定义可以作为起点，但是，不宜过分强调，应该迅速向更抽象的分数定义转移。”我发现，通过以上的直观教学，不仅帮助学生成功地内化了分数的“份数”定义，明确了分数可以表示同一量中部分与整体的关系或两个同类量之间的关系，还借助直线上的点让学生感受了更抽象的表示测量意义的分数，培养了学生的抽象思维、发散思维与创新思维;同时，在多媒体的直观演示中，让学生一目了然、易如反掌地认识到分数还表示具体数量。通过巧妙设疑，激发他们去研究下节课要学习的分数与除法的关系，渗透了分数的商定义，可谓一举多得。

三、 在变式与对比中完善分数概念的外延

数学家开普勒说：“数学就是研究千变万化中不变的规律。”教师针对学生学习上的难点或易混淆的认知误区，有意创设一些变与不变的对比情境，可以帮助学生深刻领悟分数意义的内涵与外延，提升灵活运用知识的能力，实现思维的通透和知识的整体建构。

如在教学“分数的份数定义”（即分数表示部分与整体的关系）时，很多学生对单位“1”概念的相对性与变化性理解不透，同时“在这一层面的意义中，在解释大于1的分数时存在困难。”最典型的表现就是学生在完成类似图3的练习时常将假分数写成了真分数。因为他们对谁是单位“1”搞不清，不明白此图中是将每一个图形都看作单位“1”，共有2个单位“1”，而大括号表示求2个单位“1”中涂色部分共有几个几分之一。同时，学生还没有清醒地认识到，只有用一个集合圏将许多物体圈在一起时才表示是将一群物体看作单位“1”的。

为了帮助学生突破以上的学习难点，澄清认知上的误区，我在教学真分数和假分数时创设了以下两个重要环节。

（一）说说身边的分数，在变与不变中感受单位“1”的变化性与相对性

我提出问题：如果将1个手指看作一个计数单位，那一只手中的手指可以用数几来表示？

生：用5表示。

师：如果将5个手指看作一个计数单位，那其中的一个手指只能用多少来表示？

生：[15]。

师：如果将10个手指看作单位“1”，那其中的一个手指只能用多少来表示？

生：[110]。

师：以此类推，教室里的每个人相当于谁的几分之一？能说出不同的分数吗？

生：我们每个人相当于一桌人的二分之一。

生：我们每个人相当于4人合作小组的四分之一。

生：我们每个人相当于一竖排人数的七分之一。

生：我们每个人相当于一大组人数的十四分之一。

生：我们每个人相当于全班人数的五十六分之一。

生：我们每个人相当于全年级人数的三百三十二分之一。

师：每一份里都是一个人，为什么会得到不同的分数呢？

生：单位“1”不同。

这时应当明确地做出总结：单位“1”不同，就是计数标准不同。同一对象用不同的计数单位来计量，得到的结果也就不同。

（二）用分數表示涂色部分，在观察符号的异同中打破“分数总是小于1”的原有认知

我提出问题：请观察图4，它们分别是将几个大长方形看作单位“1”的？涂色部分如何表示？你是怎么想的？

生：第一个图是用一个集合圈将2个长方形圈在一起了，表示将2个长方形看作一个整体也就是单位“1”，涂色部分是2等份中的1等份，所以用[12]表示。

师：图中有集合圈吗？可见，这里是把什么看作单位“1”的？有几个 “1”？

生：这里没有集体圈，所以是将每个长方形都看作单位“1”，有2个“1”。

师：图中的大括号表示什么意思？涂色部分一共是几分之几？

生：大括号表示将左右两边涂色部分合并起来看，一共有多少个四分之一？我数了一下，是7个四分之一，是[74]。

生：我们也可以用加法算，[44]+[34]=[74]。

在以上的过程中，我没有像教材中安排的那样，直接让学生在简单的涂色操作中认识真分数与假分数，而是紧扣知识的内核和学生的思维误区，先明确产生分数的关键前提——谁是单位“1”， 单位“1”不同，同一对象的计数结果也是不同的。在巧妙的对比情境中，学生明晰了有集合圈的是将一群物体看作单位“1”，没有集合圈的是将每一个物体看作单位“1”;在数一数或算一算中，学生创造出了小于1的真分数和等于1或大于1的假分数，从而成功地打破了“分数只能小于1”的认知局限，丰富了分数的外延，实现了有关分数意义的认知拓展与重构。

四、在正向迁移中建构分数双重身份的相应解题模型

学生学习新知的时候，如果这个新知与原来的经验相吻合的，就容易接受;如果这个新知需要另起炉灶，那么学习就相对慢一点。因此，我们要寻找到学生学习分数的生长点与衔接点。其实，分数既可以表示关系又可以表示数量的特性，他们在整数的身上就能找到。而且，利用整数除法建构的求每份数量和两量倍比关系的数学模型，可以很完美地迁移到分数意义的实际运用中来，从而突破学习分数意义的另一大难点——清晰地分辨出分数的两种“身份”并用固定的数学模型分别求出表示每份分率的分数和表示每份数量的分数。

为此，我在教学“分数与除法的关系”时，先按教材的安排完成其第49页例1和例2的教学，引导学生建构数学模型a÷b=[ab];之后，引导学生及时将所学的知识与整数除法中的相关知识进行横向地勾连与梳理，并引导学生建构了相关的除法模型。

（一）紧扣“平均分”，建构求每份数量与每份分率的数学模型

在教学时，要有内容的衔接和过渡：通过前面的学习，我们知道了1个月饼的[14]是[14]个，3个月饼的[14]是[34]个。这里的[14]个和[34]个是带单位的分数，表示的是具体数量，而不带单位的分数[14]表示的是部分与整体的关系，表示关系的分数我们也称为分率。其实，我们之前学习的整数也有这样的特性。然后，提出相关问题：比如，把8块饼平均分给4人，每人几块饼？8块饼是4块饼的几倍？如何列式？

生：8÷4=2（块），8÷4=2。

师：这里的2个“2”，哪个表示具体数量，哪个表示两个量的倍比关系？

生：2块饼表示具体数量，2倍表示的是8块饼与4块饼的倍比关系。

师：在整数王国里，求每份数量或是求两量之间的倍比关系，都运用了什么运算来求的？

生：都是用除法来计算的。

师：这一方法同样适用于分数王国。比如，“把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得几分之几块？每人分得这些饼的几分之几？”，这里的两个问题中，哪个是求每份分率，哪个是求每份数量？怎么看出来的？

生：第一问求的是每份数量，因为后面带单位，第二问求的是每份分率，后面没有单位。

师：如何用除法来解答？数量关系是怎样的？

生：总块数÷总人数=每人块数，3÷4=[34]（块）。

这里的第一个问题是求每份数量，可以引导学生抓住问题中的关键词，从后往前找出相应的关系式。然后，应进行小结：跟整数一样，分数可以表示数量，也可以表示分率，总数量÷总份数=每份数量，1份数÷总份数=每份分率。

（二）紧扣“倍比关系”，建构“求一个数是另一个数的几分之几”的模型

人教版教材五年级下册“分数的意义”中的例3，是求一个数是另一个数的几分之几的实际问题。为了让学生借助 “倍的认识”来同化“求一个数是另一个数的几分之几”的新知识，我做了如下的精心安排。

师：请看，将图5中的黄彩带长度看作一份，红彩带有这样的几份？红彩带长度是黄彩带的几倍？如何列式？

生：把黄彩带的长度看作1份，红彩带有这样的4份，红彩带长度是黄彩带的4倍，4÷1=4。

师：4÷1=4是根据怎样的数量关系来列式的？

生：红彩带的份数÷黄彩带的份数=倍数。

师：如果知道红彩带是4米，黄彩带是1米，红彩带长度还是黄彩带的4倍吗？如何列式？

生：4÷1=4，用红彩带的米数÷黄彩带的米数=倍数。

师：这是我们在学习整数除法时就掌握的旧知识。以此类推，如何求黄彩带的长是红彩带的几分之几？

生：1÷4=[14]，用黄彩带的米数÷红彩带的米数=分率。

生：也可以说成是用黄彩带的份数÷红彩带的份数=分率。

师：这里的分数[14]表示具体数量还是表示两量间的倍比关系？怎么想的？

生：这里的分数表示的两量间的倍比关系，因为这个分数后面没有单位。

师：对比一下我们会发现，求一个数是另一个数的几倍或几分之几，都可以怎么计算？

生：都可以用除法来计算。

师：我们可以抓住问题中的关键词，从前往后找出相应的关系式。

红彩带的长度是黄彩带的几倍？

红彩带的份数÷黄彩带的份数=倍数;

红彩带的米数÷黄彩带的米数=倍数。

黄彩带的长是红彩带的几分之几？

黄彩带的份数÷红彩带的份数=分率;

黄彩带的米数÷红彩带的米数=分率。

师：根据以上的解题方法，你能完成教材中第50页的例3和做一做中的第2题吗？请写出相应的数量关系和算式。

求表示两个量间倍比关系的分率时，我们可以像“求a是b的几倍”那样，抓住问题中的关键词，从前往后找出相应的关系式，即前量份数÷后量份数=分率，或，前量数量÷后量数量=分率。

在教学分数的意义中，有这样一个问题：把12块糖平均分给6个小朋友，每人几块？12块是2块的几倍？这一问题学生对答如流，可为什么变为“把5块糖平均分给6个小朋友，每人几分之几块？每人分得总块数的几分之几”，学生就不知所措了呢？这里只是数据变了，数量关系并没有改变。设身处地地换位思考后我发现，整数除法中所谓的解答正确，学生多数是根据数的大小来直接判断的，是用大数除以小数。可是到了分数领域里，靠直觉层面的“懵”是全然行不通的，要想做对，必须对每一个问题的数量关系有准确地把握。我发现，跟数学思维中的顺推与逆推一样，求每份数量时都要抓住问题中的关键词，按从后往前的思路找关系式。因为最终问题是求每份数量，就要用相应的总数量除以总份数;而求两个量之间的分率跟求两个量之间的倍数關系一样，要用前量除以后量，按从前往后的顺序来找关系式。通过抓问题、圈关键词、辨明分率与数量、明确思维方向找准关系式，学生对此类问题的认识顿时彻悟了。至此，利用分数与除法的关系来解决的实际问题，跟整数除法中的归一问题和倍数问题等合并建模，从而让学生认识到整数与分数之间的本质联系，使得数的庞大体系与相应的解题模型在学生心中自然生长，进而成功地实现了数学知识的整体建构和数学智慧地自然提升。

总之，我引领学生在多元表征中内化分数的“份数”定义，在数形结合中明确分数的双重“身份”，在变式对比中巧妙完善分数的的外延，在正向迁移中建构分数双重身份的相应解题模型，在一题多解与算法优化中强化分数的运算意义。这样，有效地促进了分数概念的内化，实现了知识与智慧的自然生长，提升了学生的理性思维能力，培养了学生的数学核心素养。

参考文献：

[1] 郑毓信.分数的教学与数学思维[J].小学教学，2010 （5）.

[2]俞正强.“分数的认识”怎么教[J].小学数学教师，2018（9）.

[3]冯桂群.引领多元表征，培育数学思维[J].课程教材教学研究（小教研究），2019（5）.

（责任编辑：杨强）