多面体与球的组合体问题解题思路整理

李晶莹

近几年高考每一年都有对球的组合体问题的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要准确解答这类问题，学生必须具有较强的空间想象能力和准确的计算能力，这对学生的能力要求很高。而摸清并总结出解题的模式和套路，就能帮助学生遇到类似的题目时思路清晰，快速找到解题的突破口，从而达到事半功倍的效果。我们总结如下：

一般解题思路以及常用到的公式：

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解。

（3）研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱

（4）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R=a;

②若球为正方体的内切球，则2R=a;

③若球与正方体的各棱相切，则2R=a.

（5）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=.

（6）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1

常见题型解题策略：

一、规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1. 球与正方体

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E，F，H，G为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则;二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则;三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACA1C1和其外接圆，则.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。

2.球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a，b，c，其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径。

3.球与直棱柱

球与一般的直棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h底面边长为a，如图所示，D和D1分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高DD1的中点O，借助直角三角形AOD的勾股定理，可求。

二、规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1. 球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图，设正四面体S-ABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD，SD，SE为正四面体的高.在截面三角形SDC，作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O.此时

则有

解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便。

2.球与三条侧棱互相垂直的三棱錐

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：

一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图，三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.设AA1=a，则.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.（l为长方体的体对角线长）。

综合上面的几种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确。