“模型化+类比思想”在中职数学概率教学融合的探索

李加强

一、中职数学概率内容的教材分析及教学现状

根据《中等职业学校数学课程标准（2020年版）》的教学指示，数学教学要紧密联系生活实际，教师在课堂上可创设适当的情境，帮助学生感知随机事件的真实存在，了解随机事件及概率的意义，认识古典概型与互斥事件的特征。笔者基于课程标准的教育理念，对中职数学（基础模块）下册教材进行分析，发现课本是通过掷骰子的试验，引入事件可能发生的六种结果，进而定义各种不同的事件，并探究不同事件之间的关系及运算，最后得出概率的基本性质。

然而，根据笔者了解的中职数学概率教学的现状，很多教师在实际的课堂教学中并没有按照教材的展开方式与学生进行骰子试验，也不能有效地运用骰子试验结果，通过类比集合的思想，帮助学生建立概率的知识架构。即使有些学生基本掌握了概率的运算和公式，但对于概率的基本性质、运算的原理及公式的运用程度却很低。而且大部分的学生只是停留在简单的概率数字运算上，很难把握概率性质及原理的运用范围，且不能很好地运用概率统计思维解决实际问题。

因此，笔者认为概率教学若是对着教材“照本宣科”肯定不能达到良好的教学效果，而要对教材的概率性质和类比集合的思想进行研究和分析，深究其来源和规律，敢于在教学方式上作适当的创新和改变，采用恰当的数学概率模型，开展实践和情景的课堂教学。故笔者运用了“构造概率模型+类比集合”的教学方法，旨在激发学生的学习兴趣，引导他们从类比集合之间的关系与运算中理解概率的关系与运算，逐步掌握概率的教学内容，进而培养他们的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养。

二、利用“模型化教学法”改进课堂教学

（一）教学设计理念

新课标指出：“数学教学过程应注重对基本概念和数学思想的理解和掌握，对于核心的概念、基本原理及思想要贯穿教学始终，帮助学生逐步加深理解。”因此，在引入概率的基本性质前，笔者首先会通过列举生活中学生熟悉的例子，帮助他们在认知体系中构建随机现象、随机思想及随机事件的相关概念;再进一步创设恰当的数学模型问题，从模型的结果事件类比集合的关系及运算，建立事件与集合之间一一对应的关系，并结合相应的集合维恩图来帮助学生理解随机事件的包含关系以及相等事件、并事件、交事件、互斥事件和对立事件的概念，最终归纳出概率的基本性质及运算方法。

（二）创设生活情境，引入随机思想

师：在客观世界中，人类所观察到的现象可以分为两类：一类是有确定性的结果，即一定条件下，事先就能判断其结果发生或不发生。例如：A.夏天过去，秋天来到。B.太阳从西边升起。同学们能判断上述结果是否会发生吗？

生：上述现象A是必定会发生的，而现象B是必定不会发生的。

师：回答正确，故我们可以称A为必然事件，B为不可能事件，而它们统称为确定性事件。但有另一类事件，在给定的条件下其结果事先是无法确定的，例如：掷一枚均匀的硬币于桌面上，哪一面朝上;某人所购彩票中奖与否……由于这些事件发生结果的不确定性，我们就称这类事件为随机事件。

（三）随机取数模型

例：从数字1，2，3，4中任意取出1个数。

在这个取数模型中，可能得到4种不确定的结果，每种结果可看作一个随机事件，我们用集合形式定义这些事件：

A₁={取到数字1}，

A₂={取到数字2}，

A₃={取到数字3}，

A₄={取到数字4}，

师：在这个取数模型中，还能用集合形式定义其他事件吗？

引导学生得到类似如下事件：

A₅={取到数字小于2}，

A₆={取到数字为奇数}，

A₇={取到数字为偶数}，

A₈={取到数字小于5}，

A₉={取到数字小于1}，

A₁₀={取到数字小于3}，

师：上述事件中有哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

生：事件A₈为必然事件，事件A₉为不可能事件，其他事件均为随机事件。

师：对的。特别地，对类似于A₉的不可能事件，可以用空集表示。

（四）取数模型与类比集合的融合，探究事件之间的关系和概念

（五）建立集合與事件的概率对应关系，归纳出概率的基本性质

1.事件的频率与概率的区别与联系。在取数模型中，不能预先判断某个随机事件发生的可能性大小，但通过重复大量的取数模型试验并分析结果，会发现某个事件发生的频率呈现稳定的规律，由此可以通过频率来估计事件发生的可能性大小。由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，即频率在0～1之间，从而任何事件的概率都在0～1之间，故对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1。

在每次实验中，必然事件一定发生，因此它的频率是1，从而必然事件的概率为1，例如在取数模型的试验中，可以取到最大数字为4<5，因此P（A₈）=1。而在每次实验中，不可能事件一定不发生，因此它的频率是0，从而不可能事件的概率为0，例如在取数模型的试验中，P（A₉）=0。

2.概率事件之间的运算。当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率Fn（AUB）=fn（A）+fn（B），由此得到互斥事件中概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）。例如在取数模型中，在一次试验时，事件A₁与事件A₂不会同时发生，因此A₁∪A₂发生的频数等于A₁发生的频数与A₂发生的频数之和，故P（A₁∪A₂）=P（A₁）+P（A₂）。

特别地，当事件A与事件B是对立事件时，因为A∪B为必然事件，A∩B为不可能事件，故概率P（A∪B）=1，得到对立事件的运算规律P（A）=1-P（B）。例如在取数模型的试验中，A₆与A₇互为对立事件，因此P（A₆）=1-P（A₇）。

3.集合与事件的运算对应关系表：

（六）利用上述概率的性质，合作探究转盘游戏模型

制作一個简易的圆形转盘，转盘平均分为八个扇形区域，分别填充了红绿两种颜色（如右图所示），让学生上台随意转动转盘，使指针落在某个扇形区域，组织学生思考讨论以下问题。

（1）指针落在红色区域（事件A）的概率是多少？

（2）指针落在绿色区域（事件B）的概率是多少？

第（1）小题，学生经探索，易知此转盘模型事件A发生的概率为“指针分别落在四个红色扇形区域”的四个互斥事件的概率和;第（2）小题可以利用事件A和事件B为对立事件关系，它们的概率和为1解得。

三、总结与反思

“构建多样课程，在数学知识学习和数学能力培养的过程中，使学生逐步提高数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等数学学科核心素养，初步学会用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界”是中等职业学校数学的课程目标。中职学生的数学学习方式不应只限于接受、记忆、模仿和练习，因此笔者从现实生活和具体情境中探索数学概率问题，并创设形象的概率模型，让学生在发展随机观念、认识概率的同时，培养他们的创新思维。通过师生一起探讨取数模型、转盘游戏两个数学活动，不仅能调动学生的课堂积极性，而且有助于培养他们的学习兴趣和数学概率应用意识。并在符合学生的认知发展规律下，运用构造模型和类比集合的融合教学方法，能让学生自然而然地体验到概率事件之间关系的发现和探索的历程。最后结合相应的集合维恩图让学生不断经历直观感知、观察发现、类比与建构等思维过程，从而改善中职数学概率内容的教学效果。