植根数学本质 发展学科能力

吴英慧

《义务教育数学课程标准（2011版）》提出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。学生在数学学习中除了掌握基本的数学知识和技能，更重要的是通过具体的知识的学习，学会用数学思维思考。义务教育教科书人教版小学数学中的最后一单元为“数学广角”，大多数教师对于“数学广角”内容的教学都停留在了数学知识和技能上，而忽略了具体知识下的学科本质和学科能力的培养。本文以人教版五年级下册的“数学广角——找次品”为例，从三个方面谈谈自己的认识 。

一、创设情境，渗透三分原理

本单元的内容分为两个例题，例题1的题干是在3个产品中抽检到1件次品。在该题目中，学生初识“找次品”问题，需要掌握“找次品”问题的基本思路和方法。例题2是从8个零件中找到1个次品，探索找次品的一般方法。教材例题的情境设置以天平为工具，从简单到复杂，从特殊到一般，让学生在比较、猜想、验证的活动中逐步感悟、总结和提炼。因此对于例题2，大多数教师的教学设计为把从8个零件中找1个次品的所有分法列举出来，通过比较观察发现把8个零件平均分成3份来称量，所需的次数是最少的。如此下来学生虽然掌握了最优策略的技巧，但并不清楚为什么要尽量平均分成3份找到次品的次数就是最少的。

要理解到这样的层面对于学生来说是存在一定的困难的，也是教师教学中经常忽略的。华罗庚曾经说过，对数学产生枯燥乏味、神秘难懂的印象的主要原因就是脱离实际生活。因此在教学中，创设多样的现实情境，易于学生理解。如上课伊始，创设游戏情境，4个同学为一组合作，如何最快地在100个“张”字中找到“弧”字。学生在游戏中发现，分工合作，把100个平均分成4份，每个人在25个中找，可以把目標确定在更小的范围。如果5个、6个……为一组合作，便可以尽量地平均分成5份、6份……在游戏中，渗透了找到最优策略的依据是由人数决定的。在探究利用天平找到次品时，学生通过迁移能够更好地理解把待测物品分成3份也是由天平决定的。

二、联结知识，体会优化本质

数学学习是一个新旧知识进行关联形成新结构的过程。一直以来，教师总是习惯于根据教材编排进行“点状式”教学，忽略了把完整的知识结构呈现给学生。结合之前所学的“沏茶问题”的优化本质是“能同时做的事情同时做”，“烙饼问题”的优化本质是“每次烙饼懂充分利用锅位”，“打电话问题”的优化本质是“每分钟都不放空接到通知的人”。

再看“找次品”问题的优化本质是“每次称重都将次品限制在最少数量中”，而教材选择的问题情境是根据天平的特点，次品的位置只能出现在左端托盘、右端托盘和剩余产品这三个位置中。通过“称一次”就可以确定出次品的位置。想要达到称量次数最少的目的，即要将完成称量后将其限制在更小范围内。因此，要使得这三个位置的数量尽可能相同，这样无论次品在三个位置中的哪一个，都是在总数的三分之一里找次品，因此“找次品问题”的优化本质也可以转化为“要把天平内外的三个位置都尽可能放满”。

当学完“找次品问题”，教师有意识地引导学生去关联、去归纳，在丰富的情境、现实中去抽象出其背后共性的特质，会发现最优策略的本质是将资源最大化地利用。

三、数学表达，发展学科能力

“找次品问题”中的教学目标之一是学习用图形、符号等直观方式清晰、简明地表示数学思维的过程，培养逻辑思维的能力。“找次品问题”便涉及这样的思维能力，需要让学生抽象出一架虚拟的、数学化的天平，因此需要学生在脑海中建立“如果平衡……如果不平衡……”的表象进行逻辑推理。在教学例1时可以设计“你能用自己喜欢的方式表示出称量的过程吗？”学生或用口头表述;或画出简易天平的示意图直观地呈现天平称量的过程;或用流程图;或用树形图……不管哪种方式教师都加以肯定，并引导学生进行清晰、严谨的逻辑推理。到例2时，零件数增多，推理步骤增加，就应该有意识地引导学生用更加简洁的方式把各种可能性表示出来进行分析对比。在这个过程中，学生潜移默化地学会了数学的表达，发展了逻辑思维能力，学会用数学的思维进行思考，会用数学的眼光去看世界。

总之，数学的教学应该植根于知识本质，透过知识找到数学的价值，在学生的内心埋下理性的种子。