影响系数法在高速轴系动平衡中的研究与应用*

朱宇腾，姚银歌，黄 昆，李东亚，郑昊天，翟丁熠

（洛阳轴承研究所有限公司，河南 洛阳 471039）

0 引言

作为数控机床的核心功能部件，电主轴是把传统机械主轴的可靠性和新式电机控制的便利性相结合的工业结晶，电主轴行业的发展与机床行业的发展息息相关[1]，电主轴的性能缺陷同样也是造成的机床稳定性不足的最主要原因。通常，行业上通常把采用高速精密轴承，转速可达60 000 r/min，动平衡精度能达到G0.4，径向跳动不超过1μm归类为高端主轴，其是高端机床形成高速率、高精度加工的关键，其性能直接决定了机床性能的上限[2]。其中，回转零件包括转轴、转子、平衡环、螺母等关键零件作为电主轴的核心，他们的动平衡性能又决定了电主轴的性能好坏。回转轴系的不平衡量过大，是造成主轴振动值过大的主因[3]，亦会间接造成机床加工时产生振纹、让刀、寿命不足等诸多问题[4]。

造成回转零件不平衡量过大的因素包括：材质不均匀或有缺陷（气孔、裂纹等）；加工制造时产生的不平衡量（螺纹、非对称的销子孔、键槽等）；装配误差；磨损。

相较于传统机械主轴的中、低转速，电主轴对于动平衡校准的要求更高，而实际生产加工中，回转轴系的不平衡问题无法完全消除，尽管国际通用标准ISO1940已经对于适用于不同动平衡精度等级的回转零件许用不平衡量的大小制定了详细的标准[5]，但是各厂商对于标准的执行程度不一，缺乏足够研究。动平衡问题已成为制约国产机床走向高端的“阿喀琉斯之踵”[6]。为此，本文引入了目前最受学术界接受的影响系数法并加以扩展，分别归纳出适用于刚性转子动平衡的双面影响系数法及适用于柔性转子的多面应系数法，并通过理论结合实践的方式，用案例对主轴动平衡校准中应用影响系数法进行说明。

1 影响系数法

影响系数法是一种用于对刚性转子轴系进行动平衡校准的方法，从计算力学的角度分析，影响系数是利用线性系统中校正量与所测量之间的一种线性关系，来达到主轴平衡的目的。从控制工程的角度看，影响系数是一种振动响应、校正量和传感器位置三者之间的传递函数[7]。在校准平面改变单位校正量后，回转轴系在检测面处产生的响应称为影响系数。按照校准平面的数量可以分为单面影响系数法和双平面影响系数法以及多面影响系数法。其中单面影响系数法适用于盘类零件，双面影响系数法适用于刚性转子，多面影响系数法可应用于柔性转子。目前工程上最常用的影响系数法，是1964年由Goodman提出的[8]，他引进了动平衡方程的最小二乘解和加权最小二乘解，使该方法可以在计算时充分考虑到工程实际情况。

1.1 单一平面的影响系数法

单面影响系数法是影响系数法在主轴动平衡应用中最为简单的一种情况[9]，该方法需要1个校准平面和1个检测平面，校准平面可以对零件进行去重或增重，检测平面则需要读取数据以反应出回转零件不平衡量的大小，通常是检测一定转速下零件的振幅，实际工程应用中也可以用动平衡仪直接测出工件存有的不平衡量来替代振幅。以读取振动幅度为例，未加重时转子在初始状态下检测面的振动幅度为A，在校准平面增加试重Q以后，振动测量值为B，其中B－A为试重Q的振动响应，如图1所示。

图1 单面动平衡法矢量图

影响因子α表示单位配重量在检测面处产生的振动幅度。

则影响因子：

如果想平衡转子，需要在校准面上加配重使A＝0，即加一个A的负方向矢量Q0，其大小可由下式获得：

1.2 双面动平衡影响系数法

双平面影响系数法的思路和单面影响系数法一脉相承[10]，但是需要建立2个与主轴垂直的校准平面（1，2）和2个检测平面（A1，A2），如图2所示。

图2 双面动平衡的理论模型

具体操作方法为：传感器记录无配重时2个测量面的读值，分别为A10和A20，然后在校准面1上进行配重，得到2个测试面上的读值A11和A21；然后去掉校准面1上的配重，在校准面2上进行配重，得到测试面2个读值A12和A22。这样可以分别求出1面加重对A1面A2面的影响α11、α12，2面加重对A1面A2面影响α21、α22，分别如下式所示：

把影响系数分别代入，然后可分别求出校准面1和校准面2分别需要的校正质量Q10和Q20，分别为：

1.3 多面动平衡影响系数法

长久以来，双面动平衡以其操作方便、简单可靠的优点，在主轴产品的设计及加工中占据了主导地位，几乎可以满足大部分产品的性能要求。然而，随着工业水平和市场要求的提高，转子结构的复杂程度和过去已不可同日而语，如轴径比极大的细长轴、转速与精度超高柔性转子等、对工况有严格要求的特殊实验用轴。对于这些产品，双面动平衡法已经无法满足转子的动平衡要求，就需要增加配重平面，引入多面动平衡影响系数法。

多面影响系数法的原理是假设转子的响应是一组线性的不平衡函数，利用矢量数学的方法，采用数学优化方法来计算超定方程组[11]。具体方法为：在主轴轴线上截取K个校准平面，每个校准平面的轴向坐标分别记为S1.S2.….Sk；同时，选取M个测振点，每个测振点也分别记录轴向坐标b1.b2.….bm。当给定转速时，先测试出点M无配重原始振动值V0（bm），然后停机并在Sk校准平面内增加合适的配重Qk，之后再测出M点振动值为Vk（bm），由此求出Sk校准面对M测振点的影响系数αmk为：

由此可以分别求得分别对应m＝1，2，…，M和k＝1，2，…，K时所有的影响系数，用一个M×K的矩阵来表示，则有:

为确保每个测点所产生振动值之和可以抵消振动初值，需要在各校准平面上施加校正质量Q1，Q2，…，Qk，其取值可由下式确定，即：

2 影响系数法在高速轴系动平衡时的应用

以工程应用最为广泛的双面影响系数法为例，对如何将理论应用到实际生产中进行验证。

所用动平衡设备为上海申克机械有限公司HM2BK卧式动平衡机。选取主轴为某型号电主轴应用于轴承内孔磨削，工作转速为15 000 r/min，转子技术要求为动平衡等级G0.4级。

首先，计算转子许用动平衡量，转子系统如图3所示。图中L1为左校准平面轴向位置；L2为右校准平面轴向位置；L3为质心轴向位置。

图3 转子系统

根据在恒定（刚性）状态下转子的平衡质量要求，ISO－1940－1－2003标准计算转子最大许用不平衡量。经测量：L1＝113 mm，L2＝255 mm，L3＝172.15 mm，R1＝R2＝37.8 mm。

左校准平面许用动平衡质量：

右校准平面许用动平衡质量：

式中：G为动平衡等级；M为转轴质量，kg；N为转速，r/min；R为校准半径，mm。

经计算，要达到G0.4的动平衡等级，左校准平面允许不平衡量为0.025 5 g，右校准平面允许不平衡量为0.018 g。

接下来使用影响系数法，对整个轴系进行试重，如图4所示。

图4 转子动平衡

试重过程：转轴无配重，两读数平面A1和A2的在申科动平衡仪上的初始不平衡量读数分别为A10＝2.76 g和A20＝2.58 g。在1平面去重1 g后，A1面读数为1.56 g，A2面为1.78 g。在2面去重1 g后，A1面读数为2.16 g，A2面为1.18 g。

1面去重对A1面A2面的影响：

1面对A1面的影响系数α11＝(2.76－1.56)/1＝1.2；

1面对A2面的影响系数α12＝(2.58－1.78)/1＝0.8；

2面对A1面的影响系数α21＝(2.76－2.16)/1＝0.6；

2面对A2面的影响系数α22＝(2.58－1.18)/1＝1.4。

把影响系数分别带入，然后可分别求出校准面1和校准面2分别需要的校正质量Q10和Q20，分别为:

即在1面内需去重1.5 g，2面内需去重1.2 g。在1面及2面分别去重后，在申克动平衡仪上再次对转子的不平衡量读数，如图5所示。此时，1面不平衡量为7.33 mg，2面不平衡量为6.58 mg，满足ISO标准，该主轴已达到G0.4级动平衡标准，影响系数法可以作为一种行之有效的方法应用到主轴动平衡校准当中。

图5 不平衡量读数

3 结束语

影响系法作为指导高速主轴动平衡校准的一种重要方法，目前已经成为高速轴系的研究热点并取得了一系列成果。此方法便于设计人员在设计轴系时，根据转轴经验不平衡量值结合转轴质量、校准平面、校准半径等量值，合理布置轴系，也对操作人员提供了作业指导并提高了工作效率，为主轴性能稳定提供了有力的支持。本文详细阐述了目前针对刚性主轴较为成熟的双面动平衡影响系数法的理论依据及操作方法，并概述了多面动平衡影响系数法，为超高速主轴轴系（包括磁悬浮主轴、空气主轴等精密轴系）的动平衡校准提供了一个可行的方法。