数学核心素养下STEAM教育与初中数学“综合与实践”相融合研究

冯 玲

（淮南市教育体育局 中小学教学教研室，安徽 淮南 232001）

一、问题的提出

STEAM教育实践源于20世纪80年代的美国，该教育理论的创始人亚克门（Georgette Yakman）认为，STEAM教育就是用跨学科的方法教授科学、技术、工程、艺术和数学的理论和实践活动的总称。

目前世界上许多国家都开始了对STEAM的研究，我国的起步较晚，2015年教育部发布文件明确指出：“有条件的地区要有效利用信息技术推进创客空间的建设，探索创客教育、STEAM教育等新教育模式”，逐渐开始了对STEAM的关注与研究［1］（P23-28）。但是，目前对STEAM教育的研究范围仍然有一定的局限性，参与研究或实施的STEAM教育基本上都是创客教育与教育机构，只有很少的中小学校参与其中。也就是说STEAM教育还未能全面走进中小学，也未能纳入常态的课程与教学，研究进程也相对缓慢，而且研究理论性的多，可操作性的少；STEAM教育是什么，STEAM教育的内容是什么，STEAM教育以何种形式开展，STEAM教育的理论支撑有哪些，仍需不断拓展新认识；理论研究尚浮在表面，对于STEAM课程教学实践的研究具有较为宽广的研究空间。

2018年高中数学课程标准正式界定了数学学科的六大核心素养。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析等六个方面［2］（P4）。义务教育数学课程标准虽然没有给出数学学科核心素养的定义，但却提出了在数学课程中应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识，这就是义务教育数学学科的“十个核心概念”［3］（P5-7）。核心概念与核心素养之间具有密切的联系，如图1所示。

图1 数学核心概念与核心素养的关系

提升学生的数学核心素养需从义务教育阶段做起，更离不开课堂教学，教师在课堂教学中真正做到注重“十个核心概念”的渗透，实际上就是培养了学生的数学核心素养。

“综合与实践”课程要求以问题为载体、师生共同参与，帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识，运用数与代数、图形与几何、统计与概率等知识和方法解决问题。针对具体问题，学生利用已有的知识和生活经验，独立研究或与同伴合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的科学探究过程，体会数学内部知识之间、数学与实践之间、数学与其他知识之间的联系，加深对所学数学内容的理解［4］。

综上所述，STEAM教育理念和“综合与实践”活动课程之间有许多共通之处，二者的教育价值取向高度契合，体现在注重学科间的融合、注重活动式学习方式（项目式学习）、注重本学科知识的综合应用、注重本学科与其他学科知识的综合应用。将STEAM教育理念融入初中数学“综合与实践”课程势在必行，只有这样，学生数学核心素养的提升才能真正落到实处。

二、研究的理论框架

STEAM教学活动通常借助“做中学”、基于项目的学习、深度学习、6E教育模式、科学探究的一般过程、工程设计的一般过程等理论与方法，它们为STEAM的教学活动设计提供理论支撑。STEAM活动的“做中学”有五大特点，即跨学科性、体验性、情境性、协作性和技术增强性，“做”的要求更新颖，“学”的内涵更丰富。STEAM学科的深度学习是指在理解学习的基础上，更加强调学习者能够批判性地学习新的思想和接受事实，将新思想与原有的认知结构建立联系并进行分析，实现知识迁移（将已有的知识迁移到新的情境中），进而做出决策并能解决实际问题的学习。基于项目的学习是以项目形式，围绕问题解决而展开（项目本是由管理学科延伸出来教学领域），因此基于项目的学习，一般有情境、内容、活动、结果等要素，STEAM教育活动基于项目的学习，要求必须有产品产出。6e教学模式是一种基于构建主义教学理论的模式，它的构成包括吸引、探究、解释、设计（工程的主要体现）、拓展和评价。科学探究一般过程是通过科学探究的方法来解决问题和完成项目的实践，是促进中小学生体验科研乐趣、养成良好科研习惯的方法。

STEAM教学活动借助基于项目的学习方法时可能会运用到科学探究一般过程的方法来解决问题，也可能运用到工程设计一般过程的方法来解决问题，工程和技术是实现项目任务的关键。数学综合实践活动的理论基础源自杜威的“在做中学”、皮亚杰的“活动教学论”、布鲁纳的“发现法教学模式”。STEAM教学活动中体现的理论与思想具有目标性、社会性和合作性等特点，学生可以通过团队合作完成项目任务。STEAM教育与“综合与实践”在某种意义上可以说是同根同源。把STEAM教育理念融入初中数学“综合与实践”课程是提升学生核心素养的重要途径。

三、核心素养下STEAM“基于项目的学习”模式

STEAM的教学活动设计应以其中一项理论为主展开，并融入STEAM教育理论。常见的模式通常有“基于项目的学习”模式和“6E教育模式”。课题组选择“基于项目的学习”模式，对人教版八年级“黄金矩形”进行项目型学习的教学设计，旨在培养学生对项目的学习兴趣与热情，调动学生学习的主动性和积极性。这样的选择基于以下几点考虑：一是项目工具容易获得（矩形纸张），且与生活紧密联系。二是便于操作，且体现了项目与技术、工程有着潜在的关联，这是融入STEAM教育理念的契机。按照STEAM教育理念设计“项目型学习”课例进行教学，以达到更好的学习效果，促进学生人文素养（审美情趣）与数学核心素养（运算能力、逻辑推理）的形成与发展。该模式下，学生基于真实问题情境（折叠黄金矩形）进行科学探究，结合科学探究的思维与工程设计的实践，通过实践体验、小组合作解决挑战性任务，同时也整合了跨学科知识。

基于项目的学习是STEAM教育的主要方式，STEAM课程活动通常以项目形式围绕问题解决而展开，其构成如图2所示。

图2 基于项目的学习的构成

项目型学习为学生提供了真实情境，在情境中解决现实问题，在解决问题的过程中体会科学、技术、工程和数学各学科的概念和原理。在设计时要对项目给予必要的规定，如条件限制、任务目标（学生掌握的知识技能）、参考标准（标准帮助学生了解他们在完成任务方面的成长，实现评估的基础和依据），要在整个过程中实现团队的协作、沟通与交流最终解决问题，要在活动中强化学生的高阶思维，还要有语言、艺术等方面的支持。

四、核心素养下STEAM“基于项目的学习”模式课例教学设计

（一）项目型学习模式课例设计模型

我们在进行调研、教学实践、研讨交流的基础上总结提升，提炼出将STEAM教育理念融入初中数学“综合与实践”课程的教学设计模型：“数学+技术+x”模型，即以数学为核心，以技术（尤其是信息技术）为手段，深度融合科学、工程和艺术。此模型旨在凸显初中数学“综合与实践”课程的综合性、数学素养的核心性、STEAM教育理念的引领性与学科融合性。其具体框架如图3所示。

图3 项目型学习框架

此框架，并不仅仅只有简单的两两结合或三三结合，而是旨在追求多要素和谐结合，相互作用。本课题面向初中数学教师，服务于初中数学课堂教学，这就决定了必须以数学为核心，以信息技术（办公软件、几何画板、音视频处理软件、绘图软件、电子白板等等）为主要手段，在课堂上呈现出科学、工程、艺术的相关知识，并将其完美的融入课堂，渗透进课程之中。

“项目型学习”一般情况下由多个课时完成，本研究所探讨的是现行教学体制下的课堂（45分钟）教学模式。

下面以人教版数学八年级下册第18章数学活动2“黄金矩形”为例进行此教学模式的实践探讨。数学活动“黄金矩形”的知识框架如图4所示。

图4 “黄金矩形”的知识框架

根据课程教学的实际要求，本文设计了“黄金矩形”的课例活动教学计划安排表，如表1所示。

表1 “黄金矩形”课例活动教学计划安排表

（二）课后追踪与评价

按照数学活动“黄金矩形”的课例活动模型设计、实施了课堂教学之后。我们通过问卷进行追踪得出如下数据分布。

图5 课后追踪与评价统计图

统计数据显示：

(1)学生对本节课的核心知识掌握良好，学科素养得到提升。

第5题显示出93%的学生能很好的掌握黄金矩形的概念，并做出判断。第6题显示出48%的学生能独立思考完成课堂中折出的矩形是黄金矩形的证明（逻辑推理），48%的学生与小组成员交流后能完成证明。

(2)学生较好地完成了项目要求。

第4题显示出77%的学生能很好地完成“折黄金矩形”，21%的学生基本完成“折黄金矩形”。第18题显示，47%的学生能独立完成礼品盒的制作，47%的学生和小组交流后能完成礼品盒的制作，6%的学生在老师的帮助下完成礼品盒的制作。

(3)基本实现STEAM教育主导的学科融合

第20题显示，有92%的学生通过本节课的数学活动和交流，体会到数学与现实社会生活的紧密联系；通过实践探索，切实感受到数学与科学、技术、工程、艺术的密切相关。

五、核心素养下STEAM教育利用“技术”突破难点的实例

STEAM教育与“综合与实践”有着千丝万缕的联系。让STEAM教育理念融入初中数学“综合与实践”课程中是促进核心素养培育的重要途径。在具体的操作过程中需要注重学科间的融合，注重活动式学习方式（项目式学习），注重本学科知识的综合应用，注重本学科与其他学科知识的综合应用，以更好地推动课堂，突破教学中不易解决的难点问题。 课题组以“最短路径（将军饮马）问题”为例，对STEAM教育理念与初中数学“综合与实践”相融合进行了积极和有益的课堂教学探索。通过对该课堂案例进行重新分析和审视反思，旨在引领一线教师在进行“综合与实践”模块的教学时，注重深度学习，注重跨学科学习，注重知识的综合应用，注重强调以学生为主体的学习方式，进一步引领学生在“综合与实践”活动中发现问题、提出问题、分析问题，解决问题，积累基本数学活动经验，提升学生的数学核心素养。

（一）借助平面镜实验

在教学中,可利用物理光学的镜像实验对“最短路径（将军饮马）问题”的难点进行转化，把实际问题转化成数学问题。

师：我们把河边看做一条直线，将两个村庄视为两个点，如何在直线上确定点使得两点与确定点的距离和最小（图6）？

图6 海伦光程最短原理

（启发同学思考：如何能让其中的一点，“穿越”到直线的另一侧,转化成两点在直线异侧的最短路径问题？）

师：请看实验，把激光笔的光源点放在A处，直线l处放置平面镜，A在镜子里的虚像为A' 。如何找到虚像A' 点，完成A点的“穿越”呢？

生：作点A关于直线l的对称点A' 。

师：这里的平面镜在此视角下的视图是一条直线，这条直线相当于数学中的什么工具呢？

生：对称轴！

师：轴对称有什么性质，你们还记得吗？

生：轴对称的两点所连线段被对称轴垂直平分。

师：线段的垂直平分线有什么性质？

生：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等。

师：如何在直线l上找一点P使A' B最短呢？

生：连接A' B交l于点P，P是所求点，因为两点之间，线段最短。

师：如何在直线l上找一点P使得PA+PB最短呢？说明理由。

师生互动：还是P点，因为l是点A和点A' 的对称轴，对称轴就是AA' 的垂直平分线，垂直平分线上的点到对称点的线段相等。

师：大家再观察最短路线的做法，这像是物理中的……

生：（惊呼）这不是物理中的光的反射路线吗？

师：光从A点出发，经直线l反射到B点所构成的入射角等于反射角，于是根据光学作图知识可知，取A点关于l的对称点A' 点，连A' B交直线l于点P（B点作法同上),P就是所求作的点，因为光在某种介质沿直线传播，而两点之间线段最短，这就是著名的光程最短原理，后人把这条原理称为海伦光程最短原理，也叫做海伦最短线。

设计理念：利用海伦光程最短原理，可以解决许多最短路径的数学问题。

数学和物理是科学上最重要的两个分支，物理为数学思考提供了丰富的背景来源，在解决最短路径问题时，通过物理的光学实验，学生依据光学作图，容易联想到轴对称变换，将直线同侧两点，转换成直线异侧两点，化折为直，形成解题策略。

（二）借助平面镜成像

师：同学们，我们在上新课之前首先回忆一个物理学实验。（图7）

图7 平面镜成像

生：集体回答平面镜成像的特点。

师：像和物关于平面镜成什么对称？

生：轴对称!

师：很棒!同学们对这个物理实验掌握的很好．如图①（PPT），请你画一条蜡烛通过平面镜反射到眼睛的光路图。

生：上黑板画图。（在学生画完图后，老师在屏幕展示图②）

师：这位同学请来解释一下你为什么这么画？

生：光在同一种均匀介质中是沿直线传播的，所以我们眼睛感觉光是由反射光线的反向延长线上的像S' 发出的，因此连接S' 和眼睛两点之间的线段就能得到反射光线，再把线段与平面镜的交点与物连接就得到入射光线。

师：这位同学回答的非常棒，为我们解释了光路图的由来，即费马提出的光行最短原理。

师：线段AS' 是点A和像S' 点之间最短的路径吗？

生：是的，因为两点之间线段最短。

师：很好，丙又用数学知识解释了这个两点之间线段最短。

师：观察图②，线段PS和PS' 是否相等，为什么？

生：相等，因为S和S' 关于玻璃板成轴对称，即玻璃板是这两点连线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点之间的距离相等，所以PS等于PS' 。

师：根据你们的解释老师得出结论：AP+PS=AS' ，是否正确？

生：正确。

师：这条光路是玻璃板上所有点与眼睛和物的连线段之和中最短的吗？为什么？

生：是的，根据光行最短原理。

师：很好，我们今天也来研究一个最短路径问题（PPT展示）——引出课题“将军饮马”（图8）

图8 将军饮马

在学生思考时可以把图②转换成图③，以方便学生观察对比。

设计理念：知识的学习是不断积累的过程，各学科的学习也不是一个独立的过程，本节课“将军饮马”涉及的最短路径和对称变换不仅在前面学习几何知识时已经了解和掌握，同样在物理的几何光学中也有涉及，所以作者认为教授本节课时可以利用学科融合的理念：首先通过回忆物理学科平面镜成像时像与物的关系（知道物与像是关于玻璃板成轴对称的），把将军饮马问题中的同侧两点转换成异侧两点，再利用光在同种均匀的介质中是沿直线传播的原理，明确从像点到眼睛的线段长度等于光路的长度，把将军饮马问题的最短路径的折线转化为直线（线段）。这种引入不仅突破了“将军饮马”问题中的难点“同侧变异侧”，同时也让学生对光路最短有了几何证明的根据，为物理光学作图提供了理论依据。

（三）借助几何画板化折为直

师：打开几何画板软件（图9），如图①，C为直线l上的一个动点，拖动点C，你能找到AC与BC的和最小时点C的位置吗？动手试一试。（学生操作实践，找到最佳位置点C,如图②所示）

图9 借助几何画板化折为直

师：观察图②中的∠1与∠2,测量后你有何发现？

生：∠1=∠2。

师（追问）：为什么∠1=∠2时，AC与BC的和最小？（学生可能一脸茫然）

师（引导）：目前学过的与线段最短有关的知识有哪些？同学们思考下。

生：垂线段最短。

师：可是，图②中没有涉及到垂线段，显然AC与BC的和与“垂线段最短”无关联，可以排除。还有哪些知识与线段最短有关呢？

生：两点之间线段最短。

师（故作困惑状）：可是，AC+BC是两条线段的和，不是一条线段呀？

生：AC+BC看起来像是线段AB沿点C“折”起来了。

师：我们不妨把AC+BC称为“折线段ACB”，那么你能把“折线段”ACB转化成一条直的线段吗？（学生自然联想到化“折”为“直”）

生：如图③所示，延长AC至B' ,使B' C=BC。如图④所示，延长BC至A' ,使A' C=AC。

师：此时，B' 、B（或A' 、A）与直线l有何位置关系？

生：B' 、B（或A' 、A）关于直线l对称。

师：由∠1=∠2，易得B' 、B（或A' 、A）关于直线l对称，从而找到作出最佳位置点C的方法。下面请同学们进一步思考，为什么B' 、B（或A' 、A）关于直线l对称时，AC与BC的和最小？

设计理念：

1.遵循事物认知的自然规律，道法“自然”。借助几何画板软件动手操作拖动，让最佳点C的位置自然“出现”，为后续探究将直线同侧两点转化为异侧两点做好铺垫。

2.尊重学生已有的认知结构,注重新旧知识之间的内在联系,让新知在学生已有的认知基础(两点之间线段最短)之上“生长发芽”,从而实现思维难点突破,使思维渐入佳境。

（四）借助几何画板“画圆”

师：根据前面的分析，我们需要在直线l上找到P点，使得PA+PB最小！你认为P点放在直线l的什么位置呢？请你借助电脑的几何画板软件验证你的猜想，随后在班级进行交流（图10）。

图10 借助几何画板“画圆”

生1：我觉得应该过A点做直线l的垂线，P点应该是垂足。这样就可以利用垂线段最短。但是通过几何画板测量发现能找到更短的。

生2：我猜想作线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点是P点。但是通过几何画板测量发现也能找到更短的。

师：你们能利用几何画板找到P点的真正位置吗？

学生活动：利用几何画板，拖动P点，测量并计算PA+PB的值，确定最小值时P点位置。

生：我找到了，PA+PB的最小值等于5.04。

师：同学们，我们不能只依靠作图软件解决问题，大家想一想，能不能通过作图的办法找到P点呢？

师：如果让你改变B点位置，你能得到一个你可以解决的问题吗？

生：如果B点在直线l的下面，就可以利用两点之间线段最短，直接连线段AB，AB与直线l的交点就是P点。

师：非常好！A、B在直线l的异侧就行了！那么你能不能想办法把我们这个将军饮马的问题改成两点在异侧的问题吗？需要满足什么条件呢？

生：要保证PA+PB等于5.04！

生：要保证A、P、B三个点在一条直线上！

师：大家说的都有道理！怎么才能保证PA+PB等于5.04呢？

生：以A为圆心，5.04为半径做一个圆，圆上的点都可以。

师：圆上的点都可以吗？

生：老师，我觉得应该是这个圆与直线的交点作为点才可以。

师：请大家做出这个新的B点，我们把它命名为B1，你认为B点和B1点有怎样的位置关系？能不能用几何画板验证一下。

生：两个点关于直线l对称。我做B点关于直线l的对称点，刚好B1与之重合。

师：通过刚才的分析和验证，你能不能总结将军饮马问题的解法？也就是如何找到P点？

生：做B点关于直线l的对称点B1，连接AB1，交直线l于P！

设计理念：学生通过在七年级及八上第12章的学习，有了几何画板的初步使用经验。本节课学生对几何画板充分运用，逐步探究、层层深入，利用信息技术的优势，通过“猜想验证—操作探究—逻辑分析—作图验证”的过程，在老师的耐心引导下，自主探索，得出将军饮马问题的解决方案，突破了本节课的难点。课堂上，教师带领学生多次使用几何画板软件，展开探究活动、判断分析结论、利用工具验证，最后缜密推理论证，体现了技术在数学课程中的作用。学生通过本节课的学习，体验了实际问题数学化的方法，同时也获得了数学活动的经验，有利于进一步理解有关数学知识，发展应用意识和能力。

（五）借助“折纸”

问题1：如图①，A为马厩，B为帐篷。 某一天牧马人要从马厩A出发，牵马到一条笔直的河边l饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B。牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？（图11-1）

图11-1 折纸实验

师：你能将这个实际问题抽象为一个数学问题吗？

生：如图②，点A、B是直线l异侧两点，点P是直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，PA+PB的和最小？

师：你能找到满足条件的点P吗？

生：连接AB，与直线l相交于一点P，点P即为所求。

师：你能说出P点为所求点的理由吗？

生：因为“两点之间，线段最短”，

图③中PA+PB＜AP1+P1B，PA+PB＜AP2+P2B。

问题2：牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷搬到河的另一侧，即与马厩A位于河的同侧。如图④，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地。到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？（图11-2）

图11-2 折纸实验

师：你能将这个实际问题抽象为数学问题吗？

生：如图⑤，点A、B是直线l同侧两点，点P是直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，PA+PB的和最小？（图11-3）

图11-3 折纸实验

师：①这个问题与前面的问题之间有什么联系与区别？②能否抓住它们之间的联系与区别解决这个问题？

生：……

师：如果我们将同学们刚才作图的草稿纸，沿直线l对折，如图⑥，点B落在了什么位置？

生：落在了直线l的另一侧，点A、B成为了直线l同侧的两点。

师：刚才图中PB，P1B，P2B的位置随之发生了变化，它们的长度发生变化了吗？

生：没有，折叠只改变了PB，P1B，P2B的位置，没有改变它们的长度。

师：那么PA+PB，AP1+P1B，AP2+P2B的值变化了吗？

生：没有。

师：PA+PB，AP1+P1B，AP2+P2B的大小关系变化了吗？

生：没有，仍然是PA+PB＜AP1+P1B，PA+PB＜AP2+P2B。

师：通过“折纸”，我们确定的点P，是否能够满足题意？

生：是的。

师：如图⑦，原来位置的点B如果被记为B' ,那么点B和点B' 有什么关系？（图11-4）

图11-4 折纸实验

生：点B和点B' 是关于直线l的一对对称点。

师：现在你们能通过作图解决“点A、B是直线l同侧两点，点P是直线l上的一个动点，当点P在直线l的什么位置时，PA+PB的和最小？”这一问题吗？

生：（1）作点B关于直线l的对称点B' ；

（2）连接AB' ，与直线l相交于点P，则点P即为所求。

师：“作点B关于直线l的对称点B' ”在这个问题的解决中起到了什么作用？

生：（1）转移点；（2）转移线段。

设计理念：STEAM教育能够培养学生用跨学科的知识与技能解决问题的能力与合作创新的能力。但有一部分教师和同学会认为，融入STEAM教育理念的教学必须是和科学技术手段如多媒体、教学专用软件等相关的，而折纸不仅是历史最悠久、最具人类精神的创新游戏，也是STEAM教育的重要组成部分。在生物科技、新材料、机器人与人工智能、航空航天等领域，折纸不仅是游戏，更是实验室实际进行的探索手段,它们包括但不限于：（1）折纸的科学研究；（2）折纸和折叠的数学方法，包括计算数学；（3）折纸和/或折叠结构的技术应用；（4）折纸在教学教育中的用途；（5）利用科学折纸或技术折纸原则进行的艺术设计。

六、结语

STEAM教学活动设计模式从知识、情境、内容、素养、活动、结果（评价）角度，体现了STEAM教育的理念，凸显初中数学“综合与实践”课程的综合性、数学素养的核心性、STEAM教育理念的引领性与学科融合性。 STEAM不只是在多学科的基础上将知识融合起来，它更强调主题之下的理念、概念及一些基本技能的融合，也即我们常说的“知识技能”。“融合”是“知识技能”的精髓。 运用技术手段解决数学和其它学科中的数学问题，有助于更深层次地理解数学的丰富内涵，即“技术融合”。如何在数学教学融入STEAM教育理念是一个重要的研究和实践的课题，即“理念融合”。根据不同年级阶段学生的认识规律和思维水平，不仅要从现实生活题材中引入数学，而且要注重加强数学和其它学科的联系，打破传统的学科限制，注重数学应用的多学科性，即“学科融合”。