环的余挠维数

熊涛

(西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637002)

1 引言

本文规定,R恒指有单位元的交换环. 对R- 模N, pdRN代表N的投射维数.用gl.dim(R) (对应地,w.gl.dim(R)) 表示R的整体(对应地, 弱整体) 维数. 对于未解释的概念和符号, 参考文献[1-2].

余挠模受到诸多文献关注. 文献[3] 中R- 模C称为余挠模是指对任何平坦模F,都有Ext1R(F,C) = 0. 每个模都有内射包, 与内射包相对应的概念是投射盖. 人们自然要问, 每个模是否有投射盖. 文献[4] 证明了每个R- 模有投射盖当且仅当R是完全环(每个平坦模是投射模). 随着盖包理论的发展, 文献[5] 提出了平坦盖猜测(Flat Cover Conjecture, 缩写为FCC): 每个R- 模有平坦盖. 此后, 多篇文献讨论了平坦盖的存在性. 文献[6] 借助余挠模, 彻底解决了FCC: 任何环上, 每个模都有平坦盖和余挠包.

同调维数是刻画环的重要工具. 环R是完全环是指每个R- 模都有投射盖, 等价地,每个平坦R- 模是投射模. 文献[8] 中定义1.1 称R为n- 完全环是指每个平坦模的投射维数不超过n. 文献[7] 中推论7.2.7 证明了环R是完全环当且仅当Cot.D.(R)=0;文献[7] 中, 推论7.2.6 证明了环R是n- 完全环当且仅当Cot.D.(R)≤n.

作为一种新的同调维数, 自然需要探讨, Cot.D.(R) 与经典的同调维数之间的关系和差别. 本文探讨了这一关系和差别.

2 环的余挠维数

先研究Milnor 方图上的余挠维数.

说方图1 是拉回图(或者笛卡尔方图) 是指i1与i2是内射的, 且j1与j2是满射.此时规定R ⊂T, 且做如下标识

图1 环与同态的交换方图

从而, m 是R与T的共同理想, 且满足D=R/m 与F=T/m. 此时, 笛卡尔方图便成了如下可记为(□) 的形式:

如果T是整环, m̸= 0 是T的极大理想.φ:T →F是自然投射,D是F的真子环, 此时R=φ−1(D). 将这种形式的笛卡尔方图记为(□∗).

在图2 中, 进行如下特殊化处理: 设P是D- 模,Q是T- 模, 且设

图2 可记为(□) 的笛卡尔方图

是F- 同构. 此时, 便出现如下形式的(□) 图.

图3 特殊化处理的(□)

图4 (□) 经过特殊化处理后的对应变化图

引理2.1对方图(□), 设M是如前文提到的R- 模, 则

(1)α是同构;

(3) 如果P是平坦D- 模, 或者F是忠实平坦D- 模, 则β是同构.

故对每个i, 都有(0,vi)∈M. 注意,

图5 引理2.1 中(3) 用到的第一个图

图6 引理2.1 中(3) 用到的第二个图

由五引理, (α,β) 是同构. 故β是同构.

证毕.

证毕.

定理2.1对方图(□∗), Cot.D(R)≤1 当且仅当Cot.D(D)≤1 与Cot.D(T)≤1成立.

证毕.

推论2.2设D是整环, 且Cot.D(D)≤1,F是D的商域的扩域. 构造环

则Cot.D(R)≤1.

遗传环是凝聚环, 但满足Cot.D(R)≤1 的环, 却未必是凝聚环.

例2.1构造环R= Z+XR[[X]]. 则由定理2.1 可得Cot.D(R)≤1. 又由于[R:Z]=∞, 故由文献[11] 可知R不是凝聚环.

遗传环是Noether 环. 但满足Cot.D(R)≤1 的凝聚环却未必是Noether 环.

例2.2设X是Q 上的未定元. 构造环R= Z+XQ[X]. 则由文献[11] 可知R是非Noether 的凝聚整环. 由推论2.2 可知Cot.D(D)≤1.

下面探讨环的余挠整体维数Cot.D(R) 与整体维数gl.dim(R) 之间更细致的关系.

作为余挠模的进一步发展, 文献[12] 引入了Warfield 余挠模.R- 模M称为Warfield 余挠模是指对任何无挠R- 模A, 都有Ext1R(A,M)=0.

引理2.2设R是整环, 则R是Pr¨ufer 整环当且仅当每个余挠R- 模是Warfield余挠模.

证明设M是余挠R- 模. 对任何无挠R- 模N, 由条件,R是Pr¨ufer 整环, 故N是平坦模. 从而Ext1R(N,M)=0, 即M是Warfield 余挠模. 反之, 设N是无挠R- 模.对任何余挠R- 模M, 由条件,M是Warfield 余挠模. 则Ext1R(N,M)=0 成立. 由文献[13] 可知,N是平坦模. 故R是Pr¨ufer 整环.

证毕.

引理2.3设R是整环,U是Warfield 余挠模. 则U的内射维数idRU ≤1.

证明设M是R- 模, 则存在正合列0→K →P →M →0, 这里P是投射模,K是无挠模. 则Ext2R(M,U)～=Ext1R(K,U)=0 成立, 故idRU ≤1.

证毕.

引理2.4对整环R, 以下陈述等价:

(1)R是Matlis 整环, 且gl.dim(R)≤2;

(2) 可除模是Warfield 余挠模;

(3)h- 可除模是Warfield 余挠模;

(4) Warfield 余挠模的商模是Warfield 余挠模;

(5) 对任何无挠模N, 都有pdRN ≤1.

证明(1)⇒(5). 设N是无挠R- 模, 则存在正合列

这里每个Ki～=K. 由条件, pdRK ≤1 成立, 故pdRB ≤1 成立. 因此

(5)⇒(3). 设D是h- 可除R- 模,N是无挠R- 模. 则存在正合列0→A →E →D →0, 这里E是内射模. 则由条件, Ext1R(N,D)～= Ext2R(N,A) = 0 成立. 故D是Warfield 余挠模.

(3)⇒(5). 设N是无挠模,X是任何R模. 则存在正合列0→X →E →D →0,这里E是内射模,D是h- 可除模. 由条件,D是Warfield 余挠模. 则由正合列0 = Ext1R(N,D)→Ext2R(N,X)→Ext2R(N,E) = 0 可得Ext2R(N,X) = 0, 从而pdRN ≤1.

(3)+(5)⇒(1). 显然有pdRK ≤1. 故R是Matlis 整环. 对任意R- 模X, 存在正合列0→X →E →D →0, 这里E是内射模,D是h- 可除模. 由条件,D是Warfield余挠模. 由引理2.3 可得, idRD ≤1 成立, 故idRX ≤2. 因此gl.dim(R)≤2.

(1)+(3)⇒(2)⇒(3). 显然.

(3)⇒(4). 设M是Warfield 余挠模,C是M的商模. 记A= ker(M →C). 从而0→A →M →C →0 是正合列. 对模A, 存在正合列0→A →E →D →0, 其中E是内射模. 从而D是h- 可除模. 考虑如下行是正合列的推出图的图7:

图7 引理2.4 用到的推出图

由条件,D是Warfield 余挠模. 设N是无挠R模. 则序列0 = Ext1R(N,M)→Ext1R(N,X)→Ext1R(N,D) = 0 与Ext1R(N,X)→Ext1R(N,C)→Ext2R(N,E) = 0 是正合列. 故Ext1R(N,C)=0, 即C是Warfield 余挠模.

(4)⇒(3). 由于内射模是Warfield 余挠模, 故结论成立.

证毕.

引理2.51- 完全整环R是Matlis 整环. 故整环R是1- 完全整环当且仅当可除模是余挠模, 当且仅当每个h- 可除模是余挠模.

证明由于Cot.D(R)≤1, 故其商域K满足pdRK ≤1 成立, 即R是Matlis 整环.

证毕.

定理2.2设R是Pr¨ufer 整环, 则Cot.D(R)≤1 当且仅当R是Matlis 整环,且gl.dim(R)≤2.

证明设Cot.D(R)≤1 成立, 则由引理2.5 可知,R是Matlis 整环. 设X是任意R- 模, 则存在正合列0→X →E →C →0, 这里E是内射模,C是h- 可除模. 则再由引理2.5 可知C是余挠模. 由引理2.2 和引理2.3, idRC ≤1 成立, 即idRX ≤2.从而gl.dim(R)≤2.

反之, 设R是Matlis 整环, 满足gl.dim(R)≤2. 设C是h- 可除模, 由引理2.4 可得,C是Warfield 余挠模, 故C是余挠模. 由引理2.5 可知, Cot.D(R)≤1 成立.

证毕.

现在给出一个满足Cot.D(R)≤1 的Pr¨ufer 整环R的例子.

例2.3设Q 是有理数域,X是Q 的未定元. 设m=(X). 构造环这里Z 是整数集合. 则由文献[14] 可知R1是Pr¨ufer 整环, Cot.D(R1)≤1. 故R1是Matlis 整环, 且gl.dim(R1)=2.

Matlis 整环R未必有Cot.D(R)≤1 成立. 为了举出反例, 给出如下命题:

命题2.1对方图(□∗),R是Matlis 当且仅当T是Matlis 整环.

现在设T是Matlis 整环, 0→B →P →K →0 是正合列, 且P是投射R- 模. 由于D挠的R- 模, 故D⊗R K=0 是投射D- 模. 由定理2.1 的证明可知B是投射R-模, 故pdRK≤1. 故R是Matlis 整环.

证毕.

例2.4设D是赋值环, 且gl.dim(R) = 3. 则D是Pr¨ufer 整环, 也是Matlis 整环. 由定理2.2 可得, Cot.D(D)>1 成立. 构造环R=D+XF[X], 这里F是D的商域. 则由命题2.1 可得,R是Matlis 整环. 由定理2.1 可得, Cot.D(R)>1 成立.

以如下反例结束本文.

一个满足Cot.D(R)≤1 的整环未必是Pr¨ufer 整环.

例2.5设Q 是有理数域,X是Q 的未定元. 设m=(X). 构造环

如例2.4, 与R2= Z4, 这里Z 是整数集合. 再构造环R=R1×R2. 由文献[14] 可知,Cot.D(R)=1, 且w.gl.dim(R)=∞成立.

当然, 一个整环满足w.gl.dim(R)<∞, 也未必有Cot.D(R)≤1.

例2.6设C(X,Y) 是多项式环C[X,Y] 的商域. 设Z是C(X,Y) 上的未定元,且m=(Z). 构造环R1=C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m, 由文献[14] 可知,

成立.

一个整环满足w.gl.dim(R)=∞, 也未必有Cot.D(R)≤1.

例2.7构造环R1=C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m,如例2.6, 设R2=Z4, 则R2是完全环, 且w.gl.dim(R2) =∞. 构造环R=R1×R2. 由文献[14] 可知, Cot.D(R) = 2,w.gl.dim(R)=∞.