学科育人视角下的数学课例评析

【摘 要】数学课堂教学要全面落实立德树人目标，需要构建学科育人相应的实施策略。研究者以课例评析的方式，提出了在数学课堂教学中，要设立德育目标，通过思维育人、史料育人、審美育人、活动育人四个维度展开学科育人教学策略。

【关键词】学科育人;教学策略;课例评析

【作者简介】黄河清，广西南宁市第三中学党委书记，正高级教师，广西特级教师，享受国务院政府特殊津贴，全国模范教师，广西八桂名师。

党的十八大以来，习近平总书记多次指出，教育要坚守为党育人、为国育才使命。国务院办公厅印发的《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》提出，要进一步改善德智体美劳全面培养体系，进一步健全立德树人落实机制，要把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各个环节。

对一线教师而言，课堂教学是育人的重要途径，要推进立德树人目标全面落地，突破口就在于需强化学科教学的育人功能。怎样在学科教学中实现学科育人、教学育人？需要有与之相匹配的策略和方法，需要广大教师的创新实践。笔者以人教版高中数学选修2-2第二章“推理与证明”的第1节“合情推理与演绎推理”教学为例，谈谈自己的一些思考与认识。

一、课例呈现

（一）新课引入

中国古代有许多名言佳句，深刻地反映了数学的内在关系，教师出示图1引出新课。

根据《现代汉语词典（第7版）》，“一叶知秋”的意思是看见一片落叶就知道秋天的来临，比喻发现一点儿预兆就料到事物发展的趋向。这个词语言简意赅地呈现了“推理”的本质属性，即推理是根据一个或几个已知的判断来确定新的判断的思维过程。

（二）概念形成

首先，教师引导学生观察以下判断。

由铜、铝、金、银能导电一切金属均能导电。

由五个橘子是甜的一箱橘子都是甜的。

由三边形，凸四边形、凸五边形、凸六边形的内角和公式凸多边形的内角和公式，如图2。

接着，教师向学生提出以下问题。

问题1：以上三个判断的思维进程有何共同之处？

基于问题思考，引导学生得出归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

问题2：推理都有前提和结论，那么归纳推理的前提和结论分别是什么？

首先，教师请学生举出一些归纳推理的例子，并把所举的例子的前提写下来;然后，学生请同桌写出结论;最后，教师引导学生归纳总结归纳推理的前提和结论的特点（如图3）。

（三）概念深化

教师引导学生了解数学上的著名推理——哥德巴赫猜想，并让学生观察下面的式子。

无意观察：3+7=10  有意改写：10=3+7

20=3+1720=3+17

13+17=3030=13+17

反映规律：偶数=奇质数+奇质数

初步想法：10，20，30都是偶数，其他偶数是否也有类似的规律呢？

特例分析：6=3+3    16=5+11

8=3+518=5+13

10=3+7……

12=5+71 000=29+971

14=7+71 002=139+863

大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

问题3：请同学们试着从哥德巴赫的角度去思考，体验他思考问题的情境和过程，你认为哥德巴赫敢于提出猜想的信心来自什么？

教师提出问题3后引导学生积极思考和讨论。学生指出，哥德巴赫经过观察后发现了规律，并经过大量的特例验证，无一例外发现，所以就大胆提出了猜想。

该问题的研究，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维过程，这是认识事物的基本规律，也是数学重要的思想方法。

问题4：哥德巴赫为什么要把猜想写信寄给欧拉？

通过问题提出，教师介绍以下史料：哥德巴赫知道，大量的特例也不能代表全部，猜想是需要进行严格的证明的，于是他写信给欧拉，是想求助于当时的数学权威，他希望欧拉能够给出一般性的证明。欧拉在回信中说道：“我认为，任何一个大于2的偶数，都是两个素数之和。不过，这个命题我也不能给出一般性的证明，但我确信它是完全正确的。”时至今日，许多科学家都试图给出证明，我国数学家陈景润和华罗庚也为这个猜想的证明做了艰辛的探索，但哥德巴赫猜想至今仍然没有人能成功证明。不过如今人们对它的信任程度大大超过了对它的怀疑程度。

在教学中，通过对哥德巴赫猜想的分析，学生对归纳推理有了以下深刻的认识。

（1）猜想有一定的偶然性，兴趣是探究的先行者。

（2）数学研究中，有时对研究对象进行一些形式上的改变有助于发现规律。

（3）在猜想提出的过程中，特例的验证是必要的。

（4）由于特例的共同属性有很多，对不同属性的选择推理出的结论也不一样。

（5）推理的目的是求真，但推理的结论是否为真还需要证明。

接着，教师再引导学生了解另一位数学家的猜想——费马猜想。

法国数学家费马观察到以下式子的得数都是质数。

221+1=5，

222+1=17，

223+1=257，

224+1=65537。

猜想：任何形如22n+1（n∈N*）的数都是质数。

善于计算的欧拉发现：第5个费马数F5=225+1=4294967297=641×6700417不是质数。

哥德巴赫猜想、费马猜想和四色猜想被称为世界三大数学猜想，它们的共同点是题面简单易懂，但内涵深邃无比，影响了一代代的数学家，促进了数学的发展。

通过以上的分析，教师引导学生总结出归纳推理的特点如下。

（1）归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，而归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，所以前提真而结论假是有可能的。

（3）归纳推理要在观察和实验的基础上进行。

（4）归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段。

（四）应用探索

例1 已知数列{a1}的第1项a1=1，且an+1=an1+an（n=1，2，3，…），试归纳出这个数列的通项公式。

解：当n=1时，a1=1;当n=2时，a2=11+1=12;

当n=3时，a3=121+12=13;

当n=4时，a4=131+13=14。

猜想：an=1n。

例2 请同学们观察如图4的凸多面体并填写表格（见表1），用归纳推理能推出什么结论？

数学家欧拉在研究凸多面体时，通过观察、归纳、推理，得出了著名欧拉公式：F+V-E=2。

在引出欧拉公式后，教师顺势介绍欧拉的生平事迹，在课堂教学中渗透德育教育，达到学科育人的目的。

（五）总结归纳

问题5：本节课你学到了什么知识技能或思想方法？你最大的感悟是什么？

教师提出问题5，并引导学生认识到，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。归纳推理很大程度上是一种创造性思维，面对同样的对象，每个人做出的推理并不一致，有时结论是开放的，不是唯一的，但只要是“合情”的，就应该是可以的。

二、课例评析

在本节课中，从学科育人的视角看，执教者最大的创新在于设立了数学教学的德育目标，以思维育人、史料育人、审美育人、活动育人四个维度为抓手，在教学的各个环节全面融入育人思想，使课堂教学从形式到内容都有立德树人目标的引领。

（一）思维育人——强化数学学习的特点，促进学生思维品质提升

数学是思维的科学，因此学习数学要注重思维过程的学习，要注重让学生学会透过事物的具体性质而从“量和形”上去研究，这是一个数学化的过程，也是一个高度抽象概括的过程。本节课中，教师在强化学生思维训练的同时，抓住了以下三个关键点。

一是深化学生对概念合理性的认识。例如问题1“以上三个判断的思维进程有何共同之处？”通过几组判断，让学生明确归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理的特征，使学生充分感受到数学思维的合理性与必然性。

二是充分暴露思维过程。如问题3“请同学们试着从哥德巴赫的角度去思考，体验他思考问题的情境和过程，你认为哥德巴赫敢于提出猜想的信心來自什么？”引导学生模拟前人的思维过程，感受数学家发现问题、提出问题和解决问题的过程。

三是问题导学。在课堂教学中，要激发学生的学习欲望，问题的设计就要与学生已有的知识和经验相关联，设计的问题要让学生愿意解决并且有解决它的知识和能力基础;同时问题的解决必须包含一定的独立见解和创造精神，让学生在解决问题时不能照搬已有的解题套路，必须经过认真思考分析或寻找新的处理方法才能有效解决问题。本节课的问题设置较好地体现了这些原则。

（二）史料育人——借助数学史，促进学生品德和学科素养的养成

数学发展的历史，是一个寻找真理、不断扬弃、不断创新的过程，它所经历的艰辛、坚持、拼搏，都是较好的德育内容。教师应深入挖掘教材中丰富的史料内容和育人价值，让学生了解数学知识的时代背景、历史条件与人类发展的关系，培养学生实事求是的科学精神。

本节课中，教师注重挖掘史料内容。例如，用“一叶知秋”形象地反映了推理的本质属性。又如，在“概念深化”教学环节中，教师以哥德巴赫猜想和费马猜想作为材料，引导学生学习归纳推理的思想、方法，既融入数学史和数学经典故事，又让学生能站在一个更高的角度进行学习、思考、探索，彰显教学活动的特色。在“应用探索”教学环节中，教师再次将欧拉公式以问题形式引导学生进行探索，并将数学家欧拉的故事和成就展现给学生，进一步丰富了史料育人的内涵。

（三）审美育人——巧妙设计，深度开发教学内容的美育功能

审美教育是培养学生认知美、喜欢美、欣赏美、进而创造美的能力的教育。数学学科在其内容、结构和方法上具有特殊的美，数学的符号、公式、概念、曲线、思想方法，无不蕴含着美。教师要让学生了解数学问题解决时构造的巧妙、推证的严密、结果的精确，让学生在数学学习中感受这些美的元素，从中理解数学的概括性、逻辑性和简洁性，学会用数学的语言表达世界，用简洁、优美的数学关系表达事物的内在规律，提高对美的理解和追求，这是数学美育的重要任务。本节课中，教师在以下两个方面做了充分的思考和设计。

一是结构。课堂教学中的所有范例，无论是从数量关系还是图形特征，注重突出问题的结构特点，让学生能有效观察到它们所蕴含的规律。如哥德巴赫猜想、费马猜想、例1和例2的问题结构都成为帮助学生寻找解决问题方法的向导。

二是分析。教师在问题成功解决后，给出了具有针对性的分析和启示，展示了教师对数学学习规律和数学美的理解。事实上，在成功解题后，对其蕴含的数学思想方法的点拨才是最重要的。只有通过教师的专业剖析，学生才能够更深入地了解问题解决的来龙去脉，提高分析问题时注重挖掘本质、去粗存精、去伪存真、触类旁通的能力。

（四）活动育人——创设问题导学情境，让学生在主动探索中提升能力

建构主义学习理论认为，知识的学习是学生在与自然的对话中主动建构的，教师应创设问题情境，这种问题情境不是教师凭空想象的，而是教师依据学习的需要以及教学目标创设的。事实上，数学学习应特别注重过程中深刻的、充实的、探究的经历和体验，只有让学生透过课本结论，感受前人思维的启迪和升华的过程，体验丰富而完整的学习过程，对知识的理解才会深刻，而只有感悟深刻的知识才会融入学生的知识结构中去。同时，丰富的过程体验是激发学生学习兴趣的有效手段，特别是学生的探究兴趣，必须通过教学手段去培养。西方课堂教学中有一个被广泛接受的“TRY哲学”，“TRY”意为“尝试”。学校是学生“TRY”的基地，课堂是学生“TRY”的前沿，就连讲台也是学生“TRY”的地方。学生通过“TRY”去感受知识的奥秘，去发现问题、解决问题，保持对新鲜事物的好奇心，在不断的“TRY”中培养自信心。这是学生乃至长大成人后发现问题和解决问题，以及有所创新和成就的重要心理品质。

另外，本节课执教者的一大教学亮点是问题导学，从问题1到问题5，再到例2可以看出，这些问题不仅仅是简单的“问话”，它包括问题情境的创设、对话设计、问题的提出、问题的解决、教学的组织、教学的实施方法等一系列丰富而有序的过程，通过一系列问题把学生引向独立思考、积极探索、合作学习之路，这是我们构建新型课堂教学方式的指导思想。

综上所述，要将立德树人的目标落实在学科教学上，教师需要深入研究课堂教学模式、教师教学方法、学生学习方式等，在教学各个环节中落实学科育人的内容、方法，通过思维育人、史料育人、审美育人、活动育人四个维度将学科育人深度融入数学课堂，使课堂教学学科育人的功能发挥出更大的效益。

（注：本课例的执教者为广西南宁市第三中学陈华曲，内容略有删减。）

（责任编辑：陆顺演）