一类Kadomtsev-Petviashvili和(3+1)维KdV型方程的新行波解

林府标，张千宏

(贵州财经大学数统学院，贵州 贵阳 550025)

0 引言

目前虽然已经提出了精确求解非线性偏微分方程的许多行之有效的方法，例如齐次平衡法[1-3]，指数函数法[4-5]，广义Tanh函数法[6-8]，试探函数法[9-11]等，但是求解非线性偏微分方程并没有普遍适用的统一方法，而且许多重要的非线性偏微分方程至今还没有找到精确解.因此，继续探索精确求解非线性偏微分方程的新方法和给出新的精确解是一项有实际意义和探究价值的工作.下列Riccati方程在流体力学、弹性振动理论、生物学等众多领域有着广泛且重要的应用：

(1)

特别地，广义Tanh函数法的关键思想就是充分利用Riccati方程(1)进行反复计算，将φ的所有导数转化成关于φ的代数多项式，从而把非线性偏微分方程的精确求解问题归结为非线性代数多项式方程根的探究问题.另外，运用Riccati方程(1)的一个好处是参数b的符号可用于判断所得行波解的数量和形状.

众所周知，Riccati方程(1)具有三角函数和有理函数类型的显式精确解[6-8].另外，文献[12]给出了Riccati方程(1)的12种类型的显式精确解.运用试探函数法结合Matlab软件计算给出 Riccati方程(1)的8种类型的显式新精确解，其结果列于表1，而表1中的显式精确解在文献[6-8，12]中并没有给出.

本文首先用试探函数法结合Matlab软件计算寻找Riccati方程(1)的显式新精确解；其次运用所获得的Riccati方程(1)的新精确解构造精确求解非线性演化偏微分方程的exp(-ψ(ξ))展式法；最后采用广义Tanh函数法和exp(-ψ(ξ))展式法求解一类Kadomtsev-Petviashvili方程和(3+1)维KdV型方程的显式新行波解.

表1 Riccati方程(1)的显式新精确解

1 exp(-ψ(ξ))展式法的求解步骤

许多非线性偏微分方程[8-11]不能采用广义Tanh函数法[6-8]获得其精确解，例如不易找到精确解的Rosenau方程ut+uxxxxt+ux+uux=0.因此，为了寻找非线性演化偏微分方程的更多精确解，利用表1中Riccati方程(1)的精确解构造exp(-ψ(ξ))展式法.事实上，在Riccati方程(1)中若令φ=exp(ψ(ξ))，则Riccati方程(1)可转化变形为

(2)

其中ψ=lnφ(ξ)，而函数φ=φ(ξ)为Riccati方程(1)的解，其具体表达式可根据b的符号从表1中选取.考虑一般形式的非线性演化偏微分方程

F(u，ut，ux，uy，utt，uxx，uyy，uxt，…)=0.

(3)

其中：u=u(t，x，y)是未知函数；F是关于u和它的各阶偏导数的多项式，并且含有最高阶导数项和非线性项.

第一步 作行波变换ξ=x-ct+ky，其中c，k为常数.假设方程(3)具有形如u(t，x，y)=v(ξ)的解，从而方程(3)约化变形为常微分方程

F(v，-cv′，v′，kv′，c2v″，v″，k2v″，-cv″，…)=0.

(4)

第二步 若可能，则先对方程(4)两边同时关于ξ积分1次或多次，然后假设方程(4)的解的表达式可写成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+…+bn(exp(-ψ(ξ)))n.

(5)

其中：ψ=ψ(ξ)满足方程(2)；正整数n可利用齐次平衡原理[1-3]通过方程(4)中最高阶导数项和非线性项得到；bi(i=0，1，…，n)为待定实参数.

第三步 将v=v(ξ)的表达式(5)代入方程(4)，反复采用方程(2)结合Matlab软件计算整理可得到关于exp(ψ(ξ))的多项式.因此分别令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…)的各项系数为零，即可获得关于bi(i=0，1，…，n)，b，c，k的代数方程组.

第四步 利用吴消元法[13]结合Matlab软件计算将求出的常数bi(i=0，1，…，n)，b，c，k代入方程(5)，可写出方程(3)的新行波解，其中ψ=lnφ(ξ)，而函数φ=φ(ξ)可根据b的符号从表1中选取.

注1 对于未知函数u=u(t，x)，u=u(t，x，y，z)的情形，可类似地写出exp(-ψ(ξ))展式法的求解步骤.

2 Kadomtsev-Petviashvili方程的新行波解

先考虑(2+1)维常系数Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程：

(6)

其中α，β，γ均为自由参数.KP方程(6)可看作KdV方程在高维情形的推广，它可用于描述水波的运动.作行波变换，令ξ=x-ct+ky，其中c，k为常数，且假设u(t，x，y)=v(ξ)为方程(6)的解.则方程(6)可约化为常微分方程βv″″+(γk2-c)v″+α(v′2+vv″)=0，于是对此方程两边同时关于ξ积分1次，并令积分常数为零得到

βv‴+(γk2-c)v′+αvv′=0.

(7)

根据exp(-ψ(ξ))算法(5)的核心思想和齐次平衡原理[1-3]，在方程(7)中平衡v‴和vv′项得到n=2.因此，假设方程(7)的解的表达式可写成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+b2(exp(-ψ(ξ)))2.

(8)

其中:b0，b1，b2为待求常数；函数ψ=ψ(ξ)满足方程(2).于是把(8)式代入方程(7)，反复利用方程(2)计算整理得关于exp(ψ(ξ))的多项式，分别令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系数为零得到关于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代数方程组：

bb2(αb2+12b2β)=0，bb1(αb2+2b2β)=0，b1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(9)

其中：b0为自由常数；ψ=lnφ(ξ)，而函数φ=φ(ξ)可从表1中根据b的符号依次选取.进而可写出行波解(9)的具体表达式，但文献[14]并没有给出精确解.

类似地，利用广义Tanh函数法[6-8]结合齐次平衡原理[1-3]，假设方程(7)的解的表达式可写成

v(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2φ2(ξ).

(10)

其中：b0，b1，b2为待求常数；函数φ=φ(ξ)满足Riccati方程(1).于是把(10)式代入方程(7)，反复利用Riccati方程(1)计算整理得关于φ的多项式，因此分别令φj(j=0，1，…，5)的系数为零得到关于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代数方程组：

b2(αb2+12β)=0，b1(αb2+2β)=0，bb1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(11)

其中：b0为自由常数；函数φ=φ(ξ)可根据b的符号从表1中依次选取.从而可写出行波解(11)的具体表达式，但文献[14]并没有给出精确解.

考虑(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程[15]

(12)

作行波变换ξ=x-ct+ky+λz，其中c，k，λ为常数，且假设u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(12)的解.则方程(12)可约化为常微分方程v″″+(c+k2+λ2)v″-6v′2-6vv″=0，对此方程两边同时关于ξ积分1次，并取积分常数为零得到

v‴+(c+k2+λ2)v′-6vv′=0.

(13)

依据exp(-ψ(ξ))展式法(5)和齐次平衡原理[1-3]，在方程(13)中平衡v‴和vv′项得到n=2.因此，方程(13)的解的表达式可假设写为

v(ξ)=d0+d1exp(-ψ(ξ))+d2(exp(-ψ(ξ)))2.

(14)

其中：d0，d1，d2为待定常数；函数ψ=ψ(ξ)满足方程(2).把(14)式代入方程(13)，反复利用方程(2)结合Matlab软件计算得关于exp(ψ(ξ))的多项式，分别令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系数为零，得到关于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代数方程组：

bd2(d2-2b2)=0，bd1(3d2-b2)=0，-8b2-bc+6bd0-bk2-bλ2+18d2=0，

(15)

其中：d0，c，k，λ为常数；ψ=lnφ(ξ).根据b的符号，从表1中选取函数φ=φ(ξ)可写出解(15)的具体表达式，但文献[15-18]并没有给出精确解.

同理，依据广义Tanh函数法[6-8]结合齐次平衡原理[1-3]可设方程(13)的解的表达式为

v(ξ)=d0+d1φ(ξ)+d2φ2(ξ).

(16)

其中：d0，d1，d2为待定常数；函数φ=φ(ξ)满足Riccati方程(1).把(16)式代入方程(13)，反复利用Riccati方程(1)结合Matlab软件计算得关于φ的多项式，分别令φj(j=0，1，…，5)的系数为零，得到关于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代数方程组：

d1(-18bd2+8b+c-6d0+k2+λ2)=0，bd1(2b+c-6d0+k2+λ2)=0，

(17)

其中d0，c，k，λ为常数.根据b的符号，从表1中选取函数φ=φ(ξ)可写出解(17)的具体表达式，但文献[15-18]并没有给出精确解.

3 (3+1)维KdV型方程的新行波解

考虑(3+1)维KdV型方程[19]

(18)

作行波变换ξ=x-ct+ky+λz，c，k，λ为常数，且假设u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(18)的解.则方程(18)可约化为常微分方程

λv(5)+kv‴+30λv′v‴+60λv′3-cv′+6kv′2=0.

(19)

类似地，利用广义Tanh函数法[6-8]和exp(-ψ(ξ))展式法(5)求解方程(19)可获得方程(18)的行波解.为了行文简洁，省略其求解过程，仅给出方程(18)行波解的结果：

其中：c0，c，k，λ为常数，且k2+4cλ≥0；ψ=lnφ(ξ)，而函数φ=φ(ξ)可根据b的符号从表1中选取.上述找到的精确解文献[18-19]并没有给出.

4 结论

找到了Riccati方程的8种类型的新精确解，利用Riccati方程的新精确解构造了exp(-ψ(ξ))展式法，此方法可用于求解非线性偏微分方程.采用广义Tanh函数法和exp(-ψ(ξ))展式法获得了(2+1)和(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程及(3+1)维KdV型方程的新行波解.把Riccati方程的显式新精确解结合广义Tanh函数法和exp(-ψ(ξ))展式法可用于求解其他一些非线性演化偏微分方程的新精确解，例如文献[15]中求解的Potential Kadomtsev-Petviashvili(PKP)方程uxt+3/2uxuxx+1/4uxxxx+3/4uyy=0.