封闭系统的传染病传播问题

祁渤 杨文宇 廖梓巽

[摘  要：本文针對封闭系统的传染病传播问题，运用了微分方程、导数等方法。讨论 在封闭系统中，传染病得病人数的变化情况，分别对多种情况进行说明并构建了VPH（易感→患病→康复）、VLPH（易感?潜伏→患病→康复）等模型，综合运用了Matlab、思维导图、RStudio 等软件编程求解，得出合理结论。

关键词：疾病传染;微分方程;Matlab;思维导图]

将学校看作一个封闭系统，学生的总数量不变。食堂作为其中的一个公共场 所，包含流动的人群和固定的工作人员。 当工作人员或学校中的某人为潜伏者时，其会通过出入食堂的人们来传染病 毒，对此，我们用所学的知识来讨论学校内可能成为感染者的人数变化情况。

一、问题

本题是在一个封闭系统中，包含一个公共场所，该场所中含有固定的工作人员，且在该封闭系统中含有一个潜伏者可传染病毒。要求讨论在某些条件下患病者数量的变化

二、模型假设条件

1.该封闭系统中总人数 A 视为常数且保持不变，时间 D 以天为计时单位;

2.封闭系统中公共场所除工作人员外都可自由进出;

3.该病毒处于潜伏期阶段也具有传染性;

4.将人群分为以下四类： 易感者 V（Vulnerable groups）; 患病者 P（Patients）; 潜伏者 L（Lurkers）; 3 康复者 H（Health people）;

5.病情恢复有三种情况，一是患病者 P 恢复为易感者 V;二是患病者 P 恢复为 康复者 H;三是潜伏者 L 恢复为易感者 V;

6.成为康复者后，后续有两种情况，一是获得短暂性免疫，单位时间后又再次 成为易感者，二是获得终身性免疫，即不会再次感染病毒;

7.不考虑这段时间内人口出生率和自然死亡率以及由病毒引起的死亡人数;

8.忽略个体之间的差异和性别对该病毒传播的影响。

三、模型求解

模型：VLPH 模型（Vulnerable-Latent-Patient-Health Model）

（一）模型假设

1.该封闭系统人群分为易感者V、潜伏者L、患病者P和康复者H四类，D时刻这四类人的人数占总人数的比例分别为v（D）、l（D）、p（D）和h（D）。

2.该封闭系统中有一可传播病毒的潜伏者（工作人员或其他人员），研究其从潜伏者开始感染易感者的人数变化情况。

3.每天每个潜伏者接触到t2名易感者，即每个潜伏者能接触到易感者的接触率为t2/A（t2>0）;每天每个易感者接触到t名潜伏者，即每个易感者能接触到潜伏者的接触率为 t/A（t>0）;潜伏者的潜伏期转阳率为θ，传染率即患病者接触到易感者后得病的概率为c（0

4.患病者具有恢复能力，痊愈后具有抗性不再被感染，恢复率为γ2（0< γ2<1）。

（二）模型构建

根据假设，每天每个患病者能使（t/A*c*P/A）名易感者变为患病者，每天有（P*γ2）名患病者恢复为康复者，每天有（H*θ）名康复者转换为易感者。D11时刻易感者数为V（D），患病者数为P（D），康复者数为H（D）。每天共有（V*t/A*c*P/A）名被感染为患病者。

其中A=V（D）+L（D）+P（D）+H（D），v（D）+i（D）+P（D）+h（D）=1

每天增加的患病者比例为：

每天增加的患病者数量为：

建立模型，得到微分方程为

（三）模型求解

根据构建的模型，对总人数A，时间天数D，接触人数t，t2，传染率c，恢复率γ，潜伏期转阳率θ进行赋值。

①该潜伏者为工作人员：A=500，D=500，t=100，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08; ②该潜伏者为其他人员：A=500，D=500，t=300，t2=200，c=0.8，γ=0.01，θ=0.08。将值代入微分方程，用Matlab软件绘制出该模型系统中得病人数的变化情况如下：

四、结果分析

综上图所示可知，在此模型下，存在潜伏者。随着时间推移感染者数量在不断减少，最终趋于零。康复者因为不断增加，潜伏者在t1时间前迎来峰值，因自身可免疫成为易感者，则随着 时间的推移，潜伏者数量也逐渐趋于零。其他人员的接触率更高，传播病毒更快，因此提高了潜伏者和感染者的峰值，但随着时间推移，两者数量都将趋近于零。由于潜伏者的存在，并且其在潜伏期可以传播或治愈，因此更加接近实际，采用此模型分析问题最佳，反应各类人数量变化真实明显。

参考文献

[1]杨启帆，方道元：数学建模，浙江大学出版社，1999年版.

[2]方道元，韦明俊：数学建模：方法导引与案例分析，浙江大学出版社 2011年版.

[3]李大潜：中国大学生数学建模竞赛，高等教育出版社，1998年版.

作者简介

祁渤（1999.01-），女，汉族，辽宁省辽阳县，本科在读，大数据（计算机应用）。

杨文宇（2000.03-），女，汉族，辽宁省大连市，本科在读，大数据（计算机应用）。

廖梓巽（1998.12-），男，汉族，四川省成都市，本科在读，大数据（计算机应用）。

辽宁科技学院  辽宁  本溪  117000