浅谈数学思想方法在初中数学教学中的应用

2021-07-16潘卫斌

广东教学报·教育综合 2021年69期

潘卫斌

【摘要】本文根据初中阶段的数学解题思想方法的特征和笔者多年任教初中数学的经验以及对初中数学思想方法的了解，总结出几种常见的数学解题思想方法和一些应用题型，以便共同研究探讨，有助于提高初中数学教学质量和培养学生良好的素质，以适应新世纪人才的要求。

【关键词】数学思想;数学方法;应用

中学数学教材的整体结构有两根强有力的支柱，那就是数学基础知识和数学思想方法。数学思想方法是数学思想和数学方法的统称，两者联系密切而又有所区别，且有层次之分。“数学思想”和“数学方法”这两个术语常被混用或合用。由于我们既需要用数学方法解决问题，有时也需要对这些方法作出评价。而掌握数学思想方法是提高学生科学素质和运用能力的重要途径，也是实现中学数学教学目标的重要保证。因此，我们必须正确认识数学思想和方法。

数学思想，一般是能反映某些重大数学成就的思想。而数学方法可大可小，小至解决某个或某类具体数学问题的具体方法，例如，分解因式的待定系数法;大至建立某个分支体系的数学方法，如，公理化方法等。数学家张奠宙教授认为：“同一个数学思想，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在教学体系中自身价值和意义时，就称之为思想。”这是对“思想”和“方法”相互关系的一种合理解释。为了适应新世纪人才的要求，也为了培养学生良好的素质，在平时教学中，我们应注重数学思想方法的渗透。下面，笔者就简单地谈一下自己所了解的一些数学思想方法及在平时教学中对这些方法的应用。

一、数形结合的思想方法和应用

数学是研究“数”与“形”及其关系的一门学科。因此，“数形结合”的思想方法是研究数学的一个基本思想方法。其本质是将抽象的数量关系与直观的图形性质结合起来，通过两者间的相互转化，从而达到“化繁为简”“化难为易”的目的。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在数学学习中，要有见“数”想“形”，见“形”思“数”，“数形结合”的思维习惯。这样才有利于提高数学素养，也有利于发展分析问题、解决问题的能力。因此，在数学教学中必须灌输这一方法的学习和应用。

如，例1：关于x的方程 4x?-4mx+m+1=0 的两个实根为α，β，且0<α<1，1<β<2，求实数m的取值范围。

分析：这个方程是一元二次方程，α，β为实根，从“式”思“形”应是二次曲线与x轴的交点，其一交点是属于（0，1），其二交点属于（1，2），如图一所示;从形中可得有 f（0）>0， f（1）<0， f（2）>0.

解：设：f（x）=4x2-4mx+m+1，此抛物线与x轴交点的横坐标就是方程4x2-4mx+m+1=0的根，如（图一）所示：

（图一）

反思：本题若只从方程方面考虑，方程有两个实根，则△>0。但解出m的范围不能保证α∈（0，1），β∈（0，2）。而本题的解法f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，从连续函数的性质可知存在α∈（0，1），β∈（1，2），使得f （ α ）=f （ β ）=0。由于初中生没有学习过连续函数，所以只能从图形的直观方面去得到理解。

又如，例2：设x是实数，试比较x2与的大小。

分析：x2与是两个式子，比较起大小可设两个函数 y1=x2、y2=，从其图形考虑，图象在上方的为大，在下方为小，如（下图二）所示：

解：设：y1=x2，则它的图象是一条开口向上的抛物线，顶点坐标为原点（0，0）。设：y2=，则它的图象是一条折线，且经过原点（0，0）。那么在同一坐标系中作出y=x2 及 y=的图象，由：可知它们有3个交点，即为 A（-1，1）， B（1，1），O（0，0）。

观察图象可知：

1.当：x=0，x=-1，x=1时，x2=;

2.当：-1

3.当：x>1 或 x>-1时，x2>。

（图二）

反思：比较x2与两个式子的大小，应从x的取值情况考虑，由x2与的对称性可考虑（0，+∞），尽管如此，讨论起来还是很麻烦，学生也不能很好地理解，不如图形比较直观。

从以上两例可以看出，数形结合的思想不仅是分析、解决数学问题的好方法，更主要的是，这一思想对问题处理的立场和方法，将会使学生受益无穷。

二、分类讨论的思想方法

在解决一些数学问题时，由于题中的某些条件存在多种情况，且都会影响到问题的解法和结论。解题时，需从符合题设的各种情况对问题进行科学地、合理地分类，然后逐类分别进行讨论，从而使问题得到圆满的解答，这种数学方法叫做“分类讨论法”。