气动三自由度并联平移型机器人的同步控制
2021-07-16张晓尧朱爱东
张晓尧，王 涛，王 波，朱爱东
(北京理工大学自动化学院，北京 100081)
引言
并联平移机械手由多条运动链组成，具有高刚性、高精度和高承载力的优点[1-3]，因其结构复杂，非线性较强，相关控制策略研究也较为复杂。SUN等[4]使用交叉耦合控制来改善并联机械手运动的同步。SHAN Xianlei等[5]研究了基于机械误差和摩擦补偿的控制策略，与增广PD控制相比，运动控制精度得到了提升。 YANG Xu等[6]研究了一种用于并联机器人轨迹跟踪控制的连续摩擦前馈滑模控制器，该控制器具有比滑模控制器更好的瞬态和稳态跟踪性能。自抗扰控制器可对外部扰动进行估计，对非线性系统的控制具有一定的鲁棒性及抗扰动能力，在液压控制和气动控制领域受到广泛关注[7-9]。
气动三自由度并联平移机械手的末端动平台在辅助臂约束下，仅可沿x,y,z方向进行平移运动,不具有旋转自由度。本研究针对动平台的三维空间位置控制，提出一种线性自抗扰协调控制方法。线性自抗扰控制器用于改善驱动臂的跟踪性能，协调控制器用于增加气动并联平移机械手3个驱动臂的运动协调性，并进一步减少定位误差。
1 气动并联平移机械手
1.1 机械结构
三自由度气动并联平移机械手的结构如图1所示，该机械手由动平台、固定基座和3组相同的辅助臂和驱动臂组成。每条驱动臂由上球形铰链、驱动缸(SMC CE1B12-150Z)和下球形铰链组成，负责驱动机械手运动；每条辅助臂由直线导轨、花键轴和2个轴承组成，负责限制机械手的冗余自由度。 结构满足以下几何条件：
(1) 第i个辅助臂的R副(ri)和C副 (ci)必须平行于同一矢量si,i=1,2,3；
(2) 辅助臂的方向应满足当i≠j时，si≠sj,i,j=1,2,3。
1.直线导轨 2.上轴承 3.花键轴 4.下轴承 5.动平台6.固定平台 7.上球铰 8.气缸 9.下球铰 10.工作台图1 气动并联平移机械手组成结构
1.2 运动学分析
图2 驱动臂坐标系几何图
bi=p+O′bi
(1)
1) 运动学雅可比矩阵
根据如图2所示，可将第i条驱动臂的矢量环等式表示如下：
(2)
将式(2)对时间求导，可得下式：
(3)
(4)
式(4)对3个驱动臂均成立, 将3个方程写为矩阵形式：
(5)
其中：
(6)
Jq=I3×3
(7)
(8)
雅可比矩阵中各元素可易由下式推出，根据机械手的拓扑结构和式(1),ai,bi可表示如下：
ai=[acφiasφi0]T
(9)
bi=[x+bcφiy+bsφiz]T
(10)
式中，c —— 余弦
s —— 正弦
(11)
故雅可比矩阵中元素jij表示如下:
(12)
(13)
(14)
其中，e=a-b。
看到这样尴尬的处境后，楚艳便主动担起了让传统之美重新绽放光彩的重担。读研究生时，她师从著名设计师李克瑜，“老师经常耳提面命，要从中国传统文化中寻找灵感，去学习积淀，把传统文化中最美的精髓用现代审美做创新，让更多人感受中国文化的美！”毕业时，楚艳提交的《东方风格服饰设计再创造》硕士论文，也是如今她主推新中式服装的源头。
2) 运动学位置逆解
给定动平台位置和方向得出驱动器位移变量即为运动学位置逆解。参考式(1)和式(2),可得下式：
(15)
将式(15)与自身做点乘再将式(9)和式(10)带入结果可得：
(li0+li)2=(x-ecφi)2+(y-esφi)2+z2
(16)
求解式(16)可得到运动学位置逆解，表示如下：
(17)
3) 运动学位置正解
给定一组驱动器输入计算动平台的位置和方向，即为运动学位置正解。根据式(16)写出另外2组方程, 得出关于未知变量x,y,z方程组。分别将i=2,3时的式(16)减去i=1时的式(16)可得下式：
(l20+l2)2-(l10+l1)2
=(x-ecφ2)2+(y-esφ2)2-
(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2
(18)
(l30+l3)2-(l10+l1)2
=(x-ecφ3)2+(y-esφ3)2-
(x-ecφ1)2-(y-esφ1)2
(19)
化简式(18)、式(19)可得：
2e(cφ1-cφ2)x+2e(sφ1-sφ2)y-
(l20+l2)2+(l10+l1)2=0
(20)
2e(cφ1-cφ3)x+2e(sφ1-sφ3)y-
(l30+l3)2+(l10+l1)2=0
(21)
由于cφ2=cφ3,式(21)减去式(20)可得：
(22)
将式(22)带入式(20),可得x的解：
由于x,y均已求解,z可由以下方程确定：
(24)
依据固定平台上的Oxyz坐标系,选择z解中的负值。
2 机械手控制器设计
设计线性自抗扰协调控制器(LADRCC)对气动并联平移机械手进行控制，其由两部分组成：一个是线性自抗扰控制器(LADRC)，用于改善单个驱动臂的跟踪效果；另一个是协调控制器，用于增加3个驱动臂的运动协调性，以减少动平台的空间定位误差。 控制器的结构图如图3所示。
2.1 线性自抗扰控制器
针对气动并联平移机器人每个驱动臂都包含的单个气缸，设计线性自抗扰控制器进行控制，其由线性微分跟踪器(LTD)、线性扩张状态观测器(LESO) 和线性状态误差反馈控制律组成。线性自抗扰控制器的方框图如图4所示。
图3 气动并联平移机械手控制方框图
图4 线性自抗扰控制器方框图
根据文献[10],气缸模型可被简化如下：
(25)
(26)
1) 线性跟踪微分器
根据文献[11]，线性跟踪微分器设计如下：
(27)
式中，v0—— 给定信号
v1——v0跟踪信号
v2——v1近似微分信号
r—— 可调参数
2) 线性扩张状态观测器
在气缸系统的状态方程中，未知的非线性部分是有界且可微的，可视为扩张状态x3，即f(x1,x2)=x3，因此系统的状态方程表示如下：
(28)
线性扩张状态观测器的构造如下[12]：
(29)
式中，β1,β2,β3为3个可调参数，按照线性系统状态反馈理论，采用极点配置的方法整定其为:β1=3ω,β2=3ω2,β3=ω3；z1和z2实时跟踪系统状态x1和x2，z3实时跟踪系统总扰动。
3) 线性状态误差反馈控制
通过状态变量的线性组合可以生成以下控制量:
(30)
式中，e1=v1-z1，e2=v2-z2；k1和k2为2个可调参数；u1为生成的控制量。
2.2 协调控制器
气动并联平移机械手的3个驱动臂由气缸组成。根据线性驱动的结构特点，第i个驱动臂的同步误差定义如下：
(31)
对每个驱动臂的同步误差进行控制，即可增加气动机器人空间运动的协调性。同步误差定义的示意图如图5所示。
图5 同步误差示意图
采用如下所示PI控制器作为协调控制器:
(32)
3 实验结果
气动并联平移机械手的主要结构参数如表1所示。
表1 机械手主要结构参数 mm
在实验中，将气动并联平移机械手动平台的轨迹设置为空间螺旋轨迹，轨迹方程如下式：
(33)
气源压力ps设为0.5 MPa,2个控制器参数设置为:r1=200,ω=150,k1=118,k2=13,b0=1600,kp=33,ki=0.06。
图6～图8为使用自抗扰协调控制策略与PID控制策略下3个驱动臂的跟踪效果,纵坐标为驱动臂位移s。为进一步比较跟踪精度，以3个驱动臂跟踪误差的均方根为测量指标，定义如下:
(34)
图6 驱动臂1跟踪效果
图7 驱动臂2跟踪效果
图8 驱动臂3跟踪效果
如图9所示,PID控制器误差约为2.1 mm，自抗扰协调控制器跟踪误差约为1.2 mm，有效地提高了气动并联平移机械手的轨迹跟踪精度。
4 结论
本研究针对气动并联平移机械手，提出一种线性自抗扰协调控制方法。 将线性自抗扰控制应用于气动并联平移机械手的单个驱动臂，并根据机械手的结构特点，设计基于驱动臂跟踪误差分解的协调控制器，以增加运动的协调性。 基于所设计的控制策略，对气动并联平移机械手进行了空间轨迹跟踪实验，与PID控制相比，提出的线性自抗扰协调控制有效地提高了气动并联平移机械手的轨迹跟踪精度。
图9 PID控制和LADRCC控制均方根误差对比
