一类热弹性板的Phragmén-Lindelöf二择一结果

石金诚, 肖胜中

(1. 广州华商学院 数据科学学院, 广州 511300； 2. 广东农工商职业技术学院 科研处, 广州 510507)

1 引言与预备知识

解的空间指数衰减估计是Saint-Venant原则的一个重要性质, 但在研究解的Saint-Venant原则时, 通常需添加一个解在无穷远点处趋于零的限制. 近年来, 关于解的Phragmén-Lindelöf二择一结果研究受到广泛关注, 此时不需要对解在无穷远处添加限制条件. 经典的Phragmén-Lindelöf定理表明, 调和方程的解从圆柱面有限的一端到无穷远处必随距离呈指数增长或指数衰减. 由于双调和方程在应用数学与力学中具有重要作用, 因此, 在二维空间中的半无限带形区域上, 对双调和方程进行空间性质的研究受到广泛关注. Payne等[1]给出了双调和方程在3个不同区域的Phragmén-Lindeöf二择一结果； 文献[2-5]利用不同方法研究了双调和方程的空间性态. 特别地, 文献[6]考虑与时间相关的双调和方程解的性态, 采用二阶微分不等式的方法得到了与时间相关的Stokes方程的Phragmén-Lindelöf二择一结果. 对于解的Saint-Venant原则或Phragmén-Lindelöf二择一研究目前也取得了一些成果： 文献[7-13]研究了各种热方程, 得到一些抛物方程解的空间性质. 本文研究双曲抛物耦合方程组的Phragmén-Lindelöf二择一性质. 由于该方程组中两个方程的性态不同, 从而导致构造解的能量函数较难.

本文所考虑的区域定义为Ω0={(x1,x2)|x1>0, 0

Lz={(x1,x2)|x1=z≥0, 0≤x2≤h}.

考虑如下可用于描述由弹性膜和弹性板构成演化过程的方程组[14]：

其中v表示板的垂直扰度,θ表示温度差,λ,κ,γ均为正常数, Δ表示Laplace算子, Δ2表示双调和算子.给出如下初边值条件：

(3)

其中gi(x2,t)(i=1,2,3)是给定函数, 并满足如下的相容性条件：

(4)

2 能量函数的定义

首先, 在式(1)两边同时乘以exp{-ωt}v,t并积分, 可得

定义函数φ1(z,t)为

联合式(5),(6), 可得φ1(z,t)的另一个表达式：

其次, 在式(2)两边同时对t求导, 再乘以exp{-ωt}v,t并积分, 可得

定义函数φ2(z,t)为

联合式(8),(9), 可得φ2(z,t)的新表达式为

(10)

在式(2)两边同时对t求导, 再乘以exp{-ωt}θ,t并积分, 可得

定义函数φ3(z,t)为

联合式(11),(12), 可得φ3(z,t)的另一个表达式：

(13)

在式(1)两边同时乘以exp{-ωt}θ,t并积分, 可得

定义函数φ4(z,t)为

联合式(14),(15), 可得φ4(z,t)的另一个表达式：

(16)

在式(1)两边同时乘以exp{-ωt}v,αα并积分, 可得

定义函数φ5(z,t)为

联合式(17),(18), 可得φ5(z,t)的另一个表达式：

由式(9),(15), 可得

由式(6),(12), 可得

由式(18), 可得

由式(20), 可知

其中ε1是大于零的任意常数.联合式(21)～(23), 可得

其中k1,k2是大于零的任意常数.

联合式(7),(10),(13),(16),(19), 定义能量函数φ(z,t)为

φ(z,t)=k1(φ2(z,t)+φ4(z,t))+φ5(z,t)+k2(φ1(z,t)+φ3(z,t)).

(25)

在式(24)中, 取

可得

令

3 Phragmén-Lindelöf二择一结果

下面首先通过φ(z,t)的性质得到一个微分不等式, 然后求解该微分不等式, 最后结合φ(z,t)与E(z,t)的性质得到解的Phragmén-Lindelöf二择一结果.

联合式(7),(10),(13),(16),(19),(25), 可得

对于式(27)右边第一项, 由Hölder不等式和算术几何平均不等式, 可得

对于式(27)右边其他项, 采用类似式(28)的处理方法, 可得

(29)

其中k3为可计算的大于零的常数.

下面分两种情形讨论：

(30)

(31)

在情形1)下, 类似于式(27)的推导, 可得

(32)

其中k4是可计算大于零的常数.对式(32)两边同时从z到z1积分, 可得

(33)

(34)

联合式(30),(34), 可得

(35)

(36)

其中

联合式(31),(36), 可得

(37)

综合上述讨论, 可得：

定理1假设(v,θ)为初边值问题(1)-(4)的古典解, 则下列两个不等式之一成立：

(38)

(39)

4 垂直扰度v的点点估计

引理1(Wirtinger不等式)[6]若u(x2)∈C1(0,h), 且u(0)=u(h)=0, 则

(40)

定理2在式(39)能量指数衰减的基础上, 对于垂直扰度v, 有如下点点指数衰减估计:

(41)

(42)

由式(42),(43), 可得

证毕.