基于数学理解的三角函数概念教学

严兴光

(浙江省杭州第十四中学 310006)

1 问题的提出

在三角函数概念教学中，教师通常会先复习初中锐角三角函数，再把直角三角形移到直角坐标系中，提出“你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？”再提出“我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义?”由此展开三角函数概念教学.

人教A版普通高中教科书·数学(2019版)的教材解读中对以上引入作了如下点评：

“终边上点的‘坐标比’定义三角函数能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有不利影响.”

解读中肯定了这种引入的优点：在最近发展区开展教学；也提出了不足：不利于把握三角函数的本质.那么，三角函数的本质是什么呢？锐角三角函数与任意角三角函数区别是什么？理解任意角三角函数的本质对三角函数概念的教学又有怎样的意义？

2 三角函数的本质

初中锐角三角函数与高中的任意角三角函数有本质的区别吗？答案是肯定的.史宁中在《数形结合与数学建模》提到：初中锐角三角函数表达的是关系的度量，而不是关系本身；如果把三角函数作为函数，那么这个函数应当描述角的大小与三角函数值的关系.这种关系指的是自然界和生活中的周期现象，事实上绝大多数周期性都可以通过三角函数的线性组合予以表征.项武义在《基础数学讲义丛书⋅基础几何学》中提到，正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质(主要是其对称性)的直接反映.由此可见，锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系，而任意角三角函数则是刻画周期变化现象的数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.因此，任意角三角函数概念教学的着力点应该在于自变量与函数值之间周期性的函数关系.

《普通高中课程标准(2017年版)》把三角函数内容安排在必修课程“主题二 函数”中，把“函数概念与性质”“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体，很清晰地表达了“三角函数的概念”是“函数概念”的下位概念，是一个重要的基本初等函数，暗示在教学中要凸显出“三角函数”的函数地位.

基于以上的分析，研究任意角的三角函数应该按照研究函数的一般步骤进行，即先确定研究对象(单位圆中的圆周运动)，再确定研究内容(角的弧度数构成的集合到角的终边与单位圆交点的坐标(比值)构成的集合的对应关系)，再在函数概念的指引下抽象得到任意角三角函数的概念.同时，通过任意角三角函数的教学，也可以加深学生对函数概念的理解，提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养.

3 三角函数概念的教学设计

3.1 内容解析

人教A版普通高中教科书·数学(2019版)从周期现象入手，通过 “周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象，确定研究对象，再对“单位圆上的点做逆时针方向旋转”的抽象，得到角的大小与角的终边与单位圆交点坐标的对应关系，进而得到三角函数的定义，在此基础上给出三角函数的分类和表示，如图1所示，并在适当时机通过例题联系初中锐角三角函数，让学生体会二者的联系与区别.教材在处理三角函数概念的时候充分借助单位圆，反映三角函数与现实周期现象的联系与本质.

图1

从培养核心素养看，人教A版普通高中教科书·数学(2019版)通过现实世界的周期现象引入三角函数，促使学生在抽象概括三角函数概念的过程中体会数形结合数学思想；通过同角三角函数的基本关系式的推导，进一步理解三角函数的定义，感受转化与化归思想的作用，培养学生数学建模、数学抽象、直观想象等素养.

3.2 目标解析

根据以上分析以及课程标准对三角函数概念的要求，三角函数的概念教学目标以及达成目标的标志如下表：

目标达成目标的标志(1)了解三角函数的背景,体会三角函数与现实世界的密切联系.学生知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具,能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性.(2)经历三角函数概念的抽象过程,借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,发展数学抽象素养.学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中,明确研究的问题(单位圆☉O上的点P以A为起点作旋转运动,建立一个数学模型,刻画点P的位置变化情况),使研究对象简单化、本质化;学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系,获得对应关系并抽象出三角函数概念;能根据定义求给定角的三角函数值.

3.3 教学问题诊断分析

学生进入高中以后，从集合与对应的观点刻画了函数的概念，研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质，已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力.但是，用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数，与学生的已有经验有较大的距离.三角函数对应关系“与众不同”，主要表现在不以“代数运算”为媒介.以前遇到的y=kx+b，y=ax2+bx+c，y=logax等，都有“运算”的背景，而三角函数是“α与x，y直接对应”，无须计算.虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素之间的对应”.

因此，理解三角函数的定义，关键是明确它的对应关系.所以在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要先明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程，然后再给定义.

基于以上分析，本节课教学难点是三角函数概念的建构.

3.4 问题串设计(片段)

基于以上的分析，要突破三角函数概念教学的难点，教学过程应该具有以下两条主线：

主线1：研究对象的抽象过程

周期现象→圆周运动→单位圆上点的旋转运动

主线2：三角函数概念的研究过程

对应关系的事实→三角函数定义、三角函数表示→三角函数的性质→与初中三角形函数的关系

通过主线1，达成教学目标(1)；通过主线2，达成教学目标(2)、(3)、(4).在设计教学过程时可以用一个问题加多个追问的形式呈现，体现教学中层层递进直捣黄龙的思考.

问题1

(1)你能回顾一下函数概念吗？其中的要素有哪些？

(2)现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.你能举一些生活中的“周期性”现象吗？

师生活动

学生思考并回答问题(1)，明确函数的三要素，即定义域、值域、对应法则.

学生思考并回答问题(2)，例如星期、月、年，地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，匀速圆周运动时的位置变化，潮汐变化等，教师根据需要适当予以补充.

(3)追问1：这些周期现象的共同特征是什么？

教师通过问题引导学生关注周期现象的共同特征：都具有周期性.

(4)追问2：你想选择哪一种现象作为周期性问题的研究对象？谈谈你的理由.

教师与学生一起总结：圆周运动中的位置变化是一种最基本最简单的“周期性”问题，具有一般意义，因此一般选择圆周运动作为研究对象.

设计意图

通过问题1，落实教学目标(1).

(1)本节课的教学任务是在函数概念的支撑下，研究如何刻画单位圆上的点做逆时针方向旋转时的位置变化规律的问题，因此需要回顾函数的概念以及研究函数的基本方法，突出复习函数的三要素：对应法则、定义域、值域，为后续研究做好准备.

(2)通过追问1，引导学生提炼日常生活中周期现象的共同特征，再通过追问2把研究对象锁定为最基本最简单的“周期性”问题——圆周运动.

综上，通过问题引导学生回顾函数概念，为学习三角函数概念作铺垫，并带领学生经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象，在此过程中发展学生的数学抽象素养.

问题2圆周运动体现了客观世界“周而复始”的变化现象，不失一般性，可以先研究单位圆(半径为1个单位)上点的运动.如图2，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，你能根据研究函数的经验，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况吗？

图2

师生活动

(1)学生思考.

(2)教师引导：根据研究函数的经验，一般利用直角坐标系来研究函数问题；根据研究任意角的经验，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP(如图3).

图3

(4)追问2：根据以上分析，你发现刻画点P(x,y)的位置变化的对应关系了吗？在这个对应关系中，选择哪个量作为自变量比较恰当？你能谈谈理由吗？

(5)追问3：你能从“集合对应”的角度给出点P的坐标x，y是角α的函数的定义吗？如果把这种函数关系记为x=f(α),y=g(α)，那么角α的取值范围是什么？

(7)追问5：根据正切的定义，你能说出α的取值范围吗？

(8)教师给出三角函数定义.

问题3你能说说现在建立的三角函数与初中学习过的三角函数有什么关系吗？

追问1：你能回顾一下初中引入锐角三角函数的背景吗？本节课中引入三角函数的背景是什么？两者目的相同吗？

追问2：你能用三角函数定义完成以下证明吗？

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r.

设计意图

通过问题2、3落实教学目标(2)的要求.

本节课是三角函数的概念课，概念课教学的基本套路是：事实—概念—性质(关系)—应用巩固，其中概念包括定义、表示、分类，具体如下：

图4

通过问题1，学生经历了“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象，明确了简单化、本质化、具体化研究对象：单位圆⊙O上的点P以A为起点作逆时针旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.

学生通过分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，得到角与点P的位置具有函数关系的事实，并由此抽象出三角函数概念，然后给出三角函数的定义、表示、分类，最后研究三角函数的性质，由此可以得到三角函数的研究过程：

根据本单元的教学难点，问题串的设计突破了以下难点：

①三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系，所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比其它函数对应关系的理解困难些，需要借助单位圆上的圆周运动以直观的几何方式给出定义，并通过追问层层递进，在此过程中同时借助技术直观表达这种对应；

②任意角三角函数的定义域是角的集合(或它的子集)，需要“把角的集合转化为实数集”，这里体现了引入弧度制的必要性，通过追问3予以突破；

③通过问题3建立任意角的三角函数与初中学过的锐角三角函数的关系.

问题4你能根据角的终边位置和三角函数定义，给出三个三角函数的值的符号吗？

师生活动

(1)学生自主完成上图中的填空，教师根据学生填写情况作适当补充.

(2)师生一起完成教科书上例3：

求证：角θ为第三象限角的充要条件是

问题5 根据三角函数的定义，三角函数的值是由角α的终边唯一确定的，但给定一条终边，角却不唯一.那么，终边相同的角的同一三角函数的值有什么关系吗？

师生活动

学生思考后让部分学生发表自己的想法.

由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一)：

sin(α+k2π)=sinα，

cos(α+k·2π)=cosα,

tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.

追问1：确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：(教材例4)

(3)tan(-672°)；(4)tan 3π.

追问2：求下列三角函数值：(教材例5)

设计意图

让学生应用三角函数的定义得出终边相同三角函数值也相同，体会诱导公式一的运用.

问题6通过本节课的学习，你能从一般函数定义的角度阐述一下三个三角函数吗？你认为三角函数所蕴含的“周而复始”现象表现在哪里？

师生活动

(1)学生思考后让部分学生发表自己的想法.若不完整，再请其他的同学进行补充.

三角函数就是以角(实数)为自变量，分别以角的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵横坐标比值为函数值的函数.

三角函数的“周而复始”体现在三角函数具有周期性(诱导公式一).

(2)教师借助结构图(图1)归纳小结.

4 结束语

从教材的修订来看，三角函数概念的教学经历了三个阶段：

第一阶段是由初中锐角三角函数引入，再在直角坐标系中研究锐角三角函数，用终边上的点的坐标比值定义三角函数；

第二阶段是由初中锐角三角函数引入，再在直角坐标系中研究锐角三角函数，用终边与单位圆交点的横纵坐标及比值定义；

第三阶段是在单位圆中抽象对应关系，在函数概念指引下用终边与单位圆交点的横纵坐标及比值定义三角函数.

可以看出，数学核心概念的理解是循序渐进、逐步完善的过程，作为教师，只有通过不断地学习，才能提高自己对数学核心概念的把握能力.