群为超可解群的另一个充要条件

曾利江

(遵义师范学院黔北文化与经济研究院， 贵州 遵义563000)

有限群有着广泛的研究内容，文[1]-[5]都对有限群有过研究，在文[6]和[7]中，分别给出了判别一个群为超可解群的充要条件与充分条件，本文给出了几个定义，最后定义了一个群的广义中心的概念，证明了一些性质，最后给出了一个群为超可解群的另一个充要条件。

文[8]用9个引理证明了一个定理1，由这个定理1可以得到一个显然的推论，这个推论如下：

引理1群G为超可解的充要条件是G/(G) 超可解。

群G的两个子群H，K若满足HK=KH，则称H与K可换，易知H与K可换的充要条件是HK为G的子群，即HK≤G。

下面推广中心元的概念。

定义1群G之元x生成的子群如果与G的每个Sylow子群可换，就把x叫做G的广义中心元。

显然，中心元必为广义中心元，且有下面的推论(我们把它写成引理2)。

引理2群G之正规循环子群中的每个元都是G的广义中心元，因而超可解群必有非平凡的广义中心元。

1 一些准备

设H=◁G，则H之元为αλ形，但<αλ>◁G，故<αλ>与G的每个子群当然可换，即αλ为广义中心元。为研究广义中心元以及随后将要定义的广义中心，先看广义中心元在取子群与取商群时的情况。

引理3设x为G的广义中心元：

(1)若x∈H≤G，则x亦为H的广义中心元；

(2)若θ是G的同态映射，则χθ为Gθ的广义中心元。

证明 (1)∀Hp∈Sylp(H)(H的Sylowp-子群的集合)，∃GP∈Sylp(G)使Hp≤Gp，于是Hp≤H∩Gp；但H∩Gp又是H的p-子群，故这时有Hp=H∩Gp，因x是G的广义中心元，故Gp=Gp，再利用H⊇得H∩Gp=(H∩Gp)=Hp亦为子群，即与Hp可换，故x为H的广义中心元。

(2)∃N◁G使Gθ≅G/N(即N=kerθ)，故Gθ的任一西洛p-子群必对应某A/N∈Sylp(G/N)，于是(|G：A|，p)=1，故取S∈Sylp(A)时，则必有S∈Sylp(G)，因此SN/N∈Sylp(G/N)，于是从SN≤A，有A=SN.然而Aθ=(SN)θ=SθNθ=Sθ，而Aθ≅A/N说明Gθ的每个Sylowp-子群Aθ必为G的一Sylowp-子群S的像Sθ。

因x为G的广义中心元，故S=S，于是得(S)θ=(S)θ⟹θSθ=Sθθ，即θSθ=Sθθ，表明与Gθ的每个Sylow子群S可换，故xθ为G的广义中心元。

下面的引理将说明研究一般的广义中心元可以归结为研究广义中心p-元。

引理4设x为群G的广义中心元，o(x)=prm，p是素数且(p,m)=1，于是x=yz=zy，o(y)=pr，o(z)=m，y是广义中心元且y∈Op(G)(G的正规p-子群的全体)。特别，G的广义中心p-元全在Op(G)内。

证明(p,m)=1⟹∃λ，μ∈Z,使λpr+μm=1，故x=xμm·xλpr，于是令y=xμm，z=xλpr，则x=yz=y=zy，且显然有o(y)=pr，o(z)=m，于是为的唯一一个Sylowp-子群，今取Gp∈Sylp(G)，则由Gp为G的子群得|∶∩Gp|=|Gp∶Gp|与p互素，而∩Gp为的p-子群，故∩Gp为的Sylowp-子群，且有∩Gp=，即y∈Gp，因而y∈Gp=Op(G)。

再任取Gq∈SyLq(G)，q≠p，则Gq为G的子群，而|Gq∶|=|||Gq|/|||∩Gq|||=m|Gq|/||∩Gq|又与p互素，故知是∩Gq的Sylowp-子群，但|≤(Gq)∩Op(G)，而Gq∩Op(G)又为Gq的p-子群，故=Gq∩Op(G)，因此|◁Gq⟹Gq≤NG()，从而有Gq=Gq，这就证明了y为G的广义中心元。

证明令o(x)/piɑi=mi(i=1，2，…，t)，则

(m1,m2,……mi)=1⟹∃ki∈Z(i=1,2,…,t)使k1m1+…+kimi=1，故令xi=xkimi时，则o(xi)=piɑi，xixj=xjxi(i≠j)，且x=x1x2…xi.

xixj=xjxi，o(xi)=piɑi，o(xj)=piɑj，故从(pi,pj)=1知o(xixj)=piɑipjɑj，于是反复运用可得o(x2x3…xi)=m=p2ɑ2…p1ɑ1，故令y=x1，z=x2x3…xt时，则x=yz=zy，o(y)=p1ɑ1，o(z)=m，由引理4知，y=x1为广义中心元且x1∈Op1(G)。同理可证x2……,xt均为广义中心元且xi∈Op1(G)。因此，x∈Op1(G)×…×Op1(G)≤Fit(G)。

附注 此引理5说明：(1)研究一般的广义中心元可以归结为研究广义中心元p-元；(2)任何广义中心元必在Fit(G)内；(3)广义中心p-元还在Op(G)内；(4)实际上，容易验证x=x1x2…xt的表示还是唯一的。

2 广义中心的定义和性质

定义2群G的所有广义中心元生成的子群称为G的广义中心，记作genz(G)，即：

genz(G)=

由于G的任何自同构把广义中心元仍然变为广义中心元(引理3)，故genz(G)为G的特征子群，即genz(G)charG，而且还有下面更深刻的结果。

引理6genz(G)是G的幂零特征子群，且它的Sylow子群都可由G的广义中心元所生成。

引理7设N是群G的由一些广义中心元生成的子群，则N是幂零群且它的Sylow子群都可由G的广义中心元所生成。特别地，N可由素数幂阶的广义中心元所生成。

证明设N=，u，v，…，w为广义中心元，则由引理4的推论引理5可知u，v，…，w∈Fit(G)，故N≤Fit(G)，从而N是幂零群。

又设o(u)，o(v)，…，o(w)的所有素因数的集合为{p1，…，pt}，于是由引理4的推论引理5知u=u1u2…ut，v=v1v2…vt，…，w=w1w2…wt，式中ui，vi，…，wi均为广义中心p-元(i=1，…，t)(若某pi不整除o(u)，则ui=1.余类推)，由于=×… ×等等，可得

N=

=

=,…,w1;…;u1vt,…,wt>

设Ni=，则Nt在N的唯一一个西洛pi-子群中(因为N为幂零群)，所以N==N1×N2×…×Nt，即Ni为N的西洛pi-子群，由广义中心pi-元ui,vi,…,wi所生成。

定义3群G的一个正规群列

1=G0

如果对0≤i≤r-1，每个Gt+1/Gt由G/Gi的广义中心元生成，则称1到Gr间的群列为G的广义中心列，Gr称为此广义中心列的末项。

由引理7知G1幂零，且其每个Sylow子群都由G的广义中心元所生成；同理，Gi+1/Gi也幂零，其每个Sylow子群可由G/Gi的广义中心元所生成.由引理4及引理7，可知对于广义中心列的每项讨论的关键在于对广义中心p-元的性质的掌握，故下面的引理很有用。

引理8 设x为群G的广义中心p-元，则

(1)x在G的每个Sylowp-子群内，即；x∈Op(G);

(2)若素数q≠p，那么G的任何西洛q-子群Gq≤NG();

(3)若素数q还满足(q，p(p-1))=1，则Gp≤CG。

证明 (1)为引理4结论之一。

(2)由引理4的证明可得=(Gq)∩Op(G)◁Gq,故Gq≤NG()。

(3)令||=pe，则因NG()/CG()≤Aut()，故

|NG()/CG(|||Aut()|=p(p-1)，

于是从(q，p(p-1))=1得知(|NG()/CG()|,q)=1，所以再从Gq≤NG()|Gp|||CG()|得，因此取Q∈Sylp(CG())时，有Q∈Sylp(NG())，从而有g∈NG()使Gq=QG，故

Gq=QG≤(CG))G=CG()

下面给出今后研究超广义中心时需要的一个重要性质，即

引理9设x为群G的广义中心p-元，L=G=为在G中的正规闭包。如果G/L为超可解群，则G就必是超可解的。

证明 对群阶进行归纳，首先解决G的任何真商群G=G/N(即1

x为G的广义中心p-元⟹xg仍为G的广义中心p-元(引理3(2))，故每个xg∈Op(G)⟹L≤Op(G)，即L为p-群。

设q为|G|的最大素因数，若q≠p，则由G/L的超可解性可知G/L有q阶正规子群C/L，由于(|L|，|C/L|)=1，设D为C的Sylowq-子群，则D为q阶的且C=LD；因q>p，故(q，p(p-1))=1，由引理8可知D中心化每个xg(即D≤CG((xg)))，于是C=L×D，从而D为C的特征子群(即DcharC)，故再由C◁G得D◁G，这时得到G的真商群G/D，因而是超可解的，但D为循环的，故G是超可解群；

剩下只需考虑ф(S)=1的场合，这时S=S/ф(S)为初等交换p-群。设R是G的任意Sylowr-子群(任意素数r||G| )若r≠p,则由引理8知R≤NG();若r=p,则R=S,而因S交换，得知S≤NG().总之，G的每个Sylow子群都在NG()内，从而G=NG()，即◁G，于是G/为G的真商群，因而是超可解的，故由的循环性得G的超可解性。

3 最后的证明和定义

定理1设Gn为群G的某个广义中心列的一项，S为G的超可解子群，则SGn为G的超可解子群。

证明 对群阶进行归纳，不妨令Gn为下述广义中心列的末项

1=G0

若SGn

1=G0

为SGn的广义中心列，Gn为其末项，于是由|SGn|<|G|按归纳法可知SGn为超可解的。

1=L/L≤G1/L

为G/L的广义中心列，其中Gn/L为末项。另一方面，SL/L为G/L的超可解子群，故从|G/L|<|G|而由归纳法可知SL/L·Gn=SGn/L为G/L的超可解子群，注意到SGn=G，即得G/L是超可解群，于是再由引理9得知G=SGn为超可解的。

推论1群G的一个广义中心列的每一项都在G的任何极大超可解子群里，从而广义中心列的每项自身是超可解的。

证明 设Gn为G的某广义中心列的一项，S为G的一个极大超可解子群，由定理1知SGn为超可解的，但SGn≥S，故由S的极大超可解性得SGn=S，故Gn≤S。

类似于通常的上中心列概念，现在可以给出上广义中心列的定义，即：

定义4设G0=1，令群G的广义中心genz(G)=G1，再令genz(G/G1)=G2/G1，如此下去当Gi定义以后可取gen(G/Gi)=Gi+1/Gi，由引理6得到G的特征群列1=G0

此链一定终止某项Gr，即genz(G/Gr=1)(有可能G1=G0，则r=0),那么

1=G0

称为G的上广义中心列，其末项Gn称为G的超广义中心，记作genz∞(G)。

推论2群G的超广义中心是G的超可解特征子群，且为G的每个极大超可解子群的子群。

推论3群G为超可解群当且仅当genz∞(G)=G。

证明 若genz∞(G)=G，则genz∞(G)的超可解性(推论2)说明G是超可解群.

反之，若G为超可解群，则由本文的开头知G有非平凡的广义中心元，从而genz(G)=G1≠1，即上广义中心列的第一项是非平凡的；由G/G1仍为超可解的，故只要genz(G)=G1≠G,则G/G1又有非平凡的广义中心元，即genz(G/G1)=G2/G1≠1，即上广义中心列的第二项G2真大于第一项G1，依次类推，上广义中心列的某项只要不达到G，则上广义中心列就可继续上升，即上广义中心列只能终于G，故genz∞(G)=G.

4 结语

推论3是本文最终的结果，它简洁地给出了一个群为超可解群的充要条件，由定义4可知，当群G为超可解群时，它的广义中心列一直上升到群G为止，并且只有这种情况，群G才是超可解群。