数学思维教学，落实核心素养

程龙云

摘要：高中数学教师是善于思考的学习者，是落实数学学科核心素养的引导者和推动者。在高中数学教学中，教师需要以生为本，思维教学，设计高阶思维的问题链，多元表征数学学科知识，促进学生自主学习、智慧学习，学会联系迁移、比较分析、优化选择和自觉反思，重组认知结构，构建元认知系统，真正落实数学核心素养。

关键词：思维教学  认知结构  元认知系统  数学核心素养

一、引言

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中指出，高中数学教育应以生为本，立德树人，优化课程结构，把握数学本质，重视过程评价，聚焦核心素养，为学生的可持续发展和终身学习提供可能。教师是落实核心素养的引导者和推动者，教学是教和学的互动，教师对教学的设计和设计意图比其自身具备的知识更为重要。如何进行思维教学？为何这样设计？能否再创新？这些都是我们一线青年教师需要经常反复思考的问题。

下面笔者仅就自己的教学经验，以《正切函数性质与图像》为例，说一说核心素养下对高中数学教学的几点思考。

二、教材分析、学考分析和设计意图

（一）教材分析

《正切函数性质与图像》选自普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修四第一章第四节内容。正切函数和正、余弦函数同属三角函数。正切函数是三角函数的下位概念，而三角函数是函数的下位概念。研究函数的性质有两种方法，一种是先做图，观图得性质;另一种是据旧知探性质，由性质做图像。因此，笔者认为本课重点是正切函数的图像及其主要性质（如周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）和深化研究函数性质的思想方法，难点是正切函数性质的分析、总结及图像的得来。

（二）学考分析

本课开始之前，学生已经有了正、余弦函数的研究经验，可以迁移到对正切函数性质的研究中。另外，高考题中常有判斷未知函数图像的题型。这种题型的特点是函数图像不易得到，需要从函数的性质出发推断函数的大致图像。

（三）设计意图

笔者设计本课教学旨在引导学生由函数性质得到函数图像，联系旧知，并进行迁移、比较和分析，在性质的指导下更加有效地做图、研究图像，拓宽学生研究函数的视角，强化学生数形结合研究问题的意识，培养学生数学抽象、逻辑推理和发散思维等数学核心素养。

三、教学思考

人的学习由简单到复杂，是一个以已习得的知识技能为基础，经过不断累积，获得新知识、新技能的过程。高中数学内容抽象，结构复杂，学生需在教师的引导下不断地进行数学学习，逐步提升自身的数学核心素养。高中数学核心素养由数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析六大要素构成。数学核心素养来自数学知识所内含的数学思想方法，而数学思想方法的核心又是数学思维。数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用的内在活动，具有高度的理性和规律性。高中数学教师是善于思考、有思想的学习者，是善于启发的引导者，是落实数学核心素养的推动者。数学教学是思维活动的教学。教师通过思维教学，引导学生探索数学知识、实践数学方法和感悟数学思想，提升数学认知构建和元认知构建能力，真正落实数学核心素养。

（一）通过问题链关联迁移，提升高阶思维能力，重组认知结构，实现教学动力牵引

正切函数属于定义概念，较为抽象。基础性学习经过迁移可达成较复杂、较高级的学习。思起于疑，没有问题就没有思考。苏霍姆林斯基指出，在人的内心深处，每个人都渴望去发现、去探索、去研究。因此，笔者从学科内部联系出发，创设问题情境，呈现有层次、有梯度的“问题链”，引导学生自主联系正、余弦函数学习经验进行迁移。笔者认为从正切函数研究路径（从性质到图像）到函数研究一般路径（数形结合）的完善需要进行横向迁移，而具体的函数性质的研究则需要进行纵向迁移。

复习正、余弦函数相关知识后，在横向迁移作用下，学生很容易得出本课的研究对象是正切函数。学生不知不觉产生研究意识，自主进入数学活动。由于新旧概念的研究存在着某些共同的特征，这也给正切函数的研究带来了困难。笔者设计让学生思考如何进行正切函数的研究，且笔者对学生的回答不做评判性的回答，暂时将这个问题搁置，促发学生的批判性思维和发散思维。

新旧知识的相互作用产生有意义的新知识，同时，学生的认知结构不断改组，发生了量变或质变。当学生心存疑惑时，笔者让学生思考定义域对函数图像的影响，引导学生进行差异比较，自主发现细节差别。正、余弦函数的定义域是R，是连续的集合，所以在用“五点做图”法做正弦函数图像时连线用的是“连续的、平滑的曲线”;而正切函数的定义域是xx≠π2+kπ，k∈Z，是一个不连续的集合。那么，该如何连线呢？学生的思维水平存在差异，若笔者此刻就明确连线的操作，势必会造成部分同学对正切函数单调性知识的不理解或理解不透彻，学生会存在思维遗漏。因此，笔者将这个问题暂时搁置。而此时，学生已体会到联系旧知可知正切函数图像的特点。借此契机，笔者引导学生再次关联、回忆旧知，找出正切函数图像的其他特点，为正确做出正切函数的图像铺垫。

对不同的信息进行加工就能将旧知成功转化为有用的信息。通过对已有正切函数的知识的提取、选择、分析、组织和判断，学生会自觉意识到正切函数的研究路径可以由性质到图像，数形结合思想自然生成，水到渠成。当学习者发现有关的概念或命题之间的新关系时，学习就会变得更有意义。

问题1：如何得到比较精准的正、余弦函数图像？

问题2：正、余弦函数性质主要有哪几个方面？

问题3：我们还需要研究哪个三角函数？如何进行研究？

问题4：研究正切函数首先需要考虑哪个要素？ 这个要素对函数图像有什么影响？

问题5：你知道哪些和正切函数相关的知识？根据这些知识，你还能得出正切函数图像的什么特点？

问题6：研究函数的一般路径是怎样的？

问题7：你选取哪个区间做正切函数图像？为何选这个区间？

问题8：观察视频，说说你对正切函数的单调性的理解。

问题9：你能说出正切函数的值域是什么吗？

问题10：你能做出整个定义域上的正切函数图像吗？

问题11：你能根据正切函数图像说出正切函数的性质吗？

问题12：正切函数在整个定义域上是单调递增函数吗？

在以学科内部联系进行情境创设时，笔者认为要以“学生的最近发展区”为前提，挖掘数学知识的内在逻辑联系，将数学知识转化为具有潜在意义的、有层次有梯度的问题或问题链，不断触发、牵引学生自觉搜索已有的认知结构，“以旧引新”，使得以命题网络和图式呈现的陈述性知识向以产生式系统贮存的程序性知识过渡，完善产生式系统，实现策略性知识的发生、发展，不断进行自我监督、反思调整，构建优良的认知结构和元认知系统，提升学生数学高阶思维技能，使数学核心素养在数学教学动力牵引下真正落实。

（二）运用信息技术下的多元表征，突破学科思维难点，形成数学思维场，实现教学深度发展

数学多元表征能凸显一个数学对象的多元属性，积极促进理解数学和问题解决。呈现双通道的“信息包”会提供学习者深度意义的学习机会，并促进学习者学习的深刻性。“不愤不启，不悱不发。”对于抽象性表征，则需要多元表征来激发学习者进入“愤”“悱”状态。在对正切函数单调性和值域的研究过程中，蕴含了丰富的数学思想，如特殊到一般、有限到无限、数形结合等。笔者结合之前的教学经验，发现很多学生对部分内容的学习很费力，有的可能还存在思维盲点，如对正切函数的单调递增区间是kπ-π2，kπ+π2，k∈Z，而正切函数在整个定义域上却不是增函数，于是不少学生对此不能理解。图形、动画或视频都是呈现信息的最优途径。多元表征能提供互补性信息，且能支持互补的认知过程。因此，笔者安排了利用正弦线看正、余弦函数单调性的变化课前预习视频，由观察正切线的变化看正切函数的单调性的课上视频。笔者在总结之前的教学经验时发现，正切函数在-π2，π2或者0，π2上做图这一环节时，有部分学生不认真做图，或者随意做图，从而不知道做正切函数图像的关键点。因此，笔者利用动画演示了在一个连续的周期区间-π2，π2上做图和在整个定义域xx≠π2+kπ，k∈Z上做图。笔者采用解析式、正切线和正切函数曲线不同的表征方式，即符号表征和图像表征，并以多媒体形式呈现，丰富正切函数的外在表征，形成对正切函数的理性认识，从视觉与思维的相互验证中启发学生理解知识的形成、发生和发展的过程，引导学生进行不同表征方式之间的联系，提高学生在不同表征方式系统间或系统内的相互转化和互译，加深学生对正切函数的理解，清除思维障碍，避免思维遗漏，实现认知过程的互补，完善学生的认识结构，形成思维场，实现教学深度发展，提升学生的数学核心素养。

（三）采用多元互动反馈，优化元认知系统，智慧学习提升素养，实现课堂价值升华

数学教学应致力于培养数学学习者三大能力，即发现问题的能力、系统表述问题的能力和解决问题的能力。同时发现问题和系统表述问题较解决问题更为重要。而迁移是数学学习的有效方法。笔者通过典例的板演示范实现数学“换元法”解题的迁移，培养学生思维的严谨性;设计基础性限时练习抢答激发学生的学习兴趣，促使学生注意力高度集中;最大化利用智慧课堂平台实现师生的积极互动、及时反馈、评价，培养数学思维的敏捷性，增进师生情感交流。为满足不同层次学生学习的需要，笔者设计了分层作业，其中必做题主要是为巩固基础，选做题是为训练思维，旨在将数学思维的培养延伸到课外，激发学生主动进行思维培养的意识，优化元认知系统。

及时总结是学习中必要的思维综合、提升过程。思维导图表达知识的层次结构，是思考后的反映，是放射性思维的具体体现，能促进学生的新旧知识关联，并加深其紧密联系的程度，促进知识内化，突出核心知识，使得知识结构的逻辑更清晰。在小结阶段笔者设计学生总结环节，教师点评并以思维导图的形式呈现学习收获，引导学生重组认知结构，优化元认知系统，提升学生数学学习品质，实现课堂教学价值的升华。

典例分析

例题：求函数y=tanπ2x+π3的定义域、周期、单调区间。

限时训练

下面检测一下大家的学习效果。第一题，时间2分钟。

1.函数f（x）=tan2x+π4的定义域是（  ）

A.xx≠kπ2+π8

B.xx≠kπ2-π8，k∈Z

C.x|x≠kπ2+π8，k∈Z

D.xx≠kπ2-π8

简析：2x+π4≠π2+kπ，k∈Z

答案：C

第二题，抢答。

2.求函数f（x）=tan2x+π4的周期。

简析：T=π|ω|

答案：π2

第三题，抢答。学生上黑板板演。

3.求函数f（x）=tan2x+π4的单调区间。

简析：-π2+kπ<2x+π4<π2+kπ，k∈Z

答案：-3π8+kπ2，π8+kπ2，k∈Z

作业布置

必做题：人教A版课本：P47 A组 第6、7、8、9题;B组第2题。

选做题：1.请证明函数y=tan（ωx+φ），A≠0，ω≠0的周期是T=π|ω|。

2.证明π是正切函数的最小正周期。

四、結尾

通过本节课的设计、实践与反思，笔者认为高中数学教师在设计课堂教学时，应在深刻理解教材的基础上，着力思考数学问题的提问艺术，努力提出值得思考的具有潜在意义的数学问题;努力掌握数学专业软件信息技术，用现代科技手段辅助数学教学，增加知识的容量，增强数学思维的可视化，化抽象为具体，促进学生数学发散思维和逻辑思维的提升;引导学生对新旧知识合理联想并迁移，对比进行差异分析，准确使用数学语言，优化设计解决问题，使得高中数学课堂更生动、丰富;做好多元智能教学，真正落实核心素养，创造智慧的数学课堂，努力引导学生用数学的眼光多角度地观察世界，用严谨的数学态度对待生命，用数学的思维创造丰富的人生。

本节课经过和多位同仁不断商讨，修改后最终得以呈现，授课效果甚好，笔者受益匪浅，在此特别感谢各位同仁的帮助。

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