EQ-代数上的核算子

梁 婕， 王军涛

（1.陕西铁路工程职业技术学院 基础课部，陕西 渭南714000； 2.西安石油大学 理学院，陕西 西安710065）

1 序言

核算子的概念在拓扑学中起着十分重要的作用［1-3］.文献［1］说明了在frame上的frame映射就其本身而论就是完备的Heyting代数上的核算子.而从逻辑角度来看，核算子作为直觉主义命题逻辑的代数配对物，目前已经在多种逻辑代数中被广泛的研究.

1981年，Macnab［4］证明了在Heyting代数上核算子的一些性质；受到Macnab思想的启发，文献［5］介绍了MV-代数上的核算子，文献［6］介绍了BCI-代数上的微分，文献［7］介绍了格上固定点集的微分，文献［8］介绍了EQ-代数上的核算子等等.特别地，2011年，Kondo［9］介绍了有界的交换单位剩余格（CRL），在不满足可分性（x∧y＝x⊙（x→y））的情况下单调的核算子和核算子是不相同的.而EQ-代数是较它们而言更为一般的代数结构.基于此，研究EQ-代数上的核算子是有意义的.本文讨论EQ-代数上的核算子，主要内容如下：

1）给出剩余EQ-代数E上的单调核算子与强核算子的等价刻画.证明在单调核算子f下，E的像f（E）是一个剩余EQ-代数；

2）研究剩余EQ-代数E上的3类特殊的映射，讨论3类特殊的映射与强核算子之间的关系.

2 预备知识

定义2.1［10-11］一个（2，2，2，0）型的代数（E，∧，⊙，～，1）满足以下条件，对任意的a，b，c，d∈E，有：

（E1）（E，∧，1）是一个有着最大元1的∧-半格；

（E2）（E，⊙，1）是一个含幺半群，且对⊙双边保序；

（E3）a～a＝1（自反公理）；

（E4）（（a∧b）～c）⊙（d～a）≤c～（d∧b）（替换公理）；

（E5）（a～b）⊙（c～d）≤（a～c）～（b～d）（同余公理）；

（E6）（a∧b∧c）～a≤（a∧b）～a（单调公理）；

（E7）a⊙b≤a～b（有界公理）；则称（E，∧，⊙，～，1）是一个EQ-代数.

二元运算∧、⊙和～分别被称为交、乘和模糊相等，并且规定对任意的a，b∈E，有

由于（E，≤）是一个偏序集，则a≤b当且仅当a∧b＝a.在本文中，如果EQ-代数对⊙交换，则称它为可交换的EQ-代数.

下面的EQ-代数（E，∧，⊙，～ ，1）简记为E.

定义2.2［10］设E为一个EQ-代数，则称它为：

1）好的，如果对任意的a∈E，有a~＝a；

2）剩余的，如果对任意的a，b，c∈E，（a⊙b）∧c＝a⊙b当且仅当a∧（（b∧c）～b）＝a；

3）对合的，如果对任意的a∈E，有a－－＝a.

命题2.3［10-12］设E为一个EQ-代数，则对任意的a，b，c∈E，下列性质成立：

1）a～b＝b～a（对称性）；

2）（a～b）⊙（b～c）≤a～c，（传递性）；

3）a～b≤a→b和a→a＝1；

4）（a→b）⊙（b→c）≤a→c和（b→c）⊙（a→b）≤a→c；

5）若a≤b，则a→b＝1；

6）a⊙b≤b≤b~≤a→b；

7）a⊙（a～b）≤b~；

8）a⊙b≤a，a⊙b≤a∧b，c⊙（a∧b）＝（c⊙a）∧（c⊙b）；

9）若a≤b→c（a≤b～c），则a⊙b≤c~；

10）若a≤b，则c→a≤c→b和b→c≤a→c.

如果E是剩余的，则：

11）a⊙（a→b）≤b，

12）a→（b→c）＝（a⊙b）→c＝b→（a→c），

13）a⊙（b→c）≤b→（a⊙c）≤（a⊙b）→（a⊙c）.

定理2.4［10］设E是一个好的EQ-代数，则下面的式子成立，对任意的x，y，z∈E，有：

1）x≤（x→y）→y，

2）x→（y→z）＝y→（x→z）.

引理2.5［10］设E为一个EQ-代数，则下面的表述是等价的：

1）E是剩余的；

2）E是好的并且对任意的a，b∈E，有a≤b→（a⊙b）成立.

3 核算子的定义和性质

文献［8］研究了Quantale代数中的核映射，并用以刻画Quantale的代数结构.而EQ-代数作为高阶模糊逻辑的真值代数结构，不仅为模糊型理论提供了更为广泛的真值代数结构，而且是剩余格的一般化.基于此，本节将介绍EQ-代数上的核算子，并讨论一系列的性质.

定义3.1设E是一个EQ-代数，则一元映射f：E→E被称为是E上的核算子.如果对任意的x，y∈E，f满足下面的条件：

1）x≤f（x），

2）f（f（x））＝f（x），

3）f（x⊙y）＝f（x）⊙f（y）.

一个二元运算⊕通过x⊕y＝（x－⊙y－）－被定义，其中x－＝x→0.规定：除了特别说明外，对任意的x∈E，本文中的x－＝x→0.

下面给出一个EQ-代数上核算子的例子.

例3.2设E＝｛0，a，b，1｝且0＜a＜b＜1，其中⊙和～按照如下方式定义：

则（E，∧，⊙，～，1）是一个EQ-代数［13］.现在按照如下方式定义一个映射f：E→E：

容易验证f是E上的一个核算子.

设f是一个核算子，对任意的x，y∈E满足x≤y，有f（x）≤f（y），则f是单调的.

下面的例子是为了说明不是所有的核算子都是单调的.

例3.3设E＝ ｛0，a，b，c，d，1｝，其中0＜a，b＜c＜d＜1，a与b不可比较（即a与b没有序关系）.运算⊙和～定义如下：

则（E，∧，⊙，～，1）为一个EQ-代数.定义映射f：E→E如下：

容易验证f是一个核算子.然而f不是单调的，因为b＜c，但是1＝f（b）≤／f（c）＝d.

注1文献［14］证明了剩余EQ-代数是剩余格的一般化，而文献［9］中剩余格上的modal算子事实上可看成一种核算子.以下将着重讨论剩余EQ-代数上的核算子及其性质，并依此研究核算子下象的代数结构.

命题3.4设E是一个EQ-代数，并且f是E上的一个单调核算子.对任意的x，y∈E，则下面的式子成立：

1）如果E是剩余的，则f（x→y）≤f（x）→f（y）＝f（f（x）→f（y））＝x→f（y）＝f（x→f（y））；

2）如果E是剩余的，则f（x）≤（x→f（0））→0；

3）如果E是剩余的，则f（x）⊙x－≤f（0）；

4）如果E是剩余的，则f（x）≤f（x－－）≤x⊕f（0）；

5）f（x）∧f（y）＝f（f（x）∧f（y））.

证明1）对任意的x，y∈E，由x⊙（x→y）≤y推出f（x⊙（x→y））≤f（y）.根据f是一个核算子，则有f（x）⊙f（x→y）≤f（y），这就意味着f（x→y）≤f（x）→f（y）.由于x≤f（x），则根据命题2.3的10）可得f（x）→f（y）≤x→f（y）.因此，f（x）→f（y）≤x→f（y）≤f（x→f（y））≤f（x）→f（f（y））＝f（x）→f（y），即f（x）→f（y）≤f（f（x）→f（y））≤f（f（x））→f（f（y））＝f（x）→f（y）.所以，f（x→y）≤f（x）→f（y）＝f（f（x）→f（y））＝x→f（y）＝f（x→f（y））.

2）由陈述1）可得f（x）→f（0）＝x→f（0），并且由f（x）⊙（f（x）→f（0））≤f（0）可以得到f（x）≤（f（x）→f（0））→f（0）＝ （x→f（0））→f（0）.

3）由陈述1）有x→0≤f（x→0）≤f（x）→f（0），也就是说，f（x）⊙x－≤f（0）.

4）由定理2.4的1），有x≤（x→y）→y，令y＝0可得x≤x－－.由f是单调的，容易得到f（x）≤f（x－－）.由陈述3）知道

f（（x→0）→0）⊙（（（x→0）→0）→0）≤f（0）.

因此，有

即

5）因为f（x）∧f（y）≤f（x），f（y），因此f（f（x）∧f（y））≤f（f（x）），f（f（y）），即f（f（x）∧f（y））≤f（x）∧f（y）.反过来，因为f是单调的核算子，则f（x）∧f（y）≤f（f（x）∧f（y））.也就是说，f（x）∧f（y）＝f（f（x）∧f（y））.

一个单调的核算子f如果满足对任意的x，y∈E，f（x⊕y）＝f（x⊕f（y）），则f为强核算子.

命题3.5设E是一个剩余的EQ-代数，f是E上的单调核算子，并且满足对任意的x∈E，有x⊕f（0）＝f（x⊕0）成立，则f（x）⊕f（0）＝x⊕f（0）.

证明由命题3.4的4）知f（x）≤x⊕f（0），又由于

因此，f（x）⊕f（0）≤x⊕f（0）⊕f（0）＝x⊕f（0）.

反过 来，由x≤f（x）可 得 （f（x））－⊙（f（0））－≤x－⊙（f（0））－，由命题2.3的10）有（x－⊙（f（0））－）－≤（（f（x））－⊙（f（0））－）－，也就是说，f（x）⊕f（0）≥x⊕f（0）.

综上所述，f（x）⊕f（0）＝x⊕f（0）.

命题3.6设E是一个剩余EQ-代数，并且f是E上的单调核算子，则f是强核算子当且仅当f满足对任意的x∈E，x⊕f（0）＝f（x⊕0）成立.

证明假设f是强核算子，由命题3.4的4）可得f（x⊕0）＝f（（x－⊙0－）－）＝f（x－－）≤x⊕f（0）.由f是核算子有x⊕f（0）≤f（x⊕f（0））＝f（x⊕0）.因此，可得x⊕f（0）＝f（x⊕0）.

反过来，假设x⊕f（0）＝f（x⊕0）.由对任意的x，y∈E，有

由命题3.5可得

故有f（x⊕f（y））≤f（x⊕y）.另一方面，由y≤f（y），可得x－⊙（f（y））－≤x－⊙y－，也就是说（x－⊙y－）－≤（x－⊙（f（y））－）－.因此，由f是单调的可知f（x⊕y）≤f（x⊕f（y））.通过以上分析可得f是强核算子.

定理3.7设E是一个剩余EQ-代数，则f是E上的单调核算子当且仅当f满足下面的条件，对任意的x，y∈E，有：

（a）f（x）→f（y）＝x→f（y），

（b）f（x⊙y）≤f（x）⊙f（y）.

证明由命题3.4的1）和f是E上的单调核算子易知f满足上面的条件.

反过来，即要证明如果f满足条件（a）和（b），则f是一个单调的强核算子.

由（a）可得1＝f（x）→f（x）＝x→f（x），有x≤f（x）.

如果x≤y≤f（y），则可得1＝x→f（y）＝f（x）→f（y），这就意味着f（x）≤f（y）.也就是说，f是一个保序映射.

由（a）可以推导出1＝f（x）→f（x）＝f（f（x））→f（x），由前面证明知f（x）≤f（f（x）），所以有f（x）＝f（f（x））.

最后要证明f（x⊙y）≤f（x）⊙f（y）.因为x⊙y≤f（x⊙y），可得y≤x→f（x⊙y）＝f（x）→f（x⊙y）.因此，f（x）≤y→f（x⊙y）＝f（y）→f（x⊙y）.也就是说，f（x⊙y）≥f（x）⊙f（y）.又由条件（b）知f（x⊙y）≤f（x）⊙f（y）.通过以上分析，可以总结出f是E上的单调核算子.

推论3.8设E是一个剩余的EQ-代数.则f是E上的强核算子当且仅当f满足下面的条件：对任意的x，y∈E，有：

（a）f（x）→f（y）＝x→f（y）；

（b）f（x⊙y）≤f（x）⊙f（y）；

（c）x⊕f（0）＝f（x⊕0）.

定理3.9设E是一个剩余EQ-代数，f是E上的单调核算子，并且f在E中的像f（E）满足f（x～y）≤f（x）～f（y），则（f（E），∧，⊙，～1，1′）也是一个剩余EQ-代数.在这里，对任意的x，y∈E，x～1y＝f（x～y），1′＝f（1）.

证明首先，由命题3.4的1）和5）可得f（E）对于运算→和∧封闭.根据f是单调的，对任意的x∈f（E），若x≤1，可得f（x）≤f（1），即1′是f（E）的最大元.因此，（f（E），∧1，1′）是一个有着最大元1′的∧-半格.

现证（E，⊙，1′）是一个交换群.由f是E上的核算子知道f（E）对于运算⊙封闭，并且对任意的f（x）∈f（E）有

对任意的a，b，c，d∈f（E），有（（a∧b）～c）⊙（d～a）≤c～（d∧b）.又由于f是核算子，有

也就是说（（a∧b）～1c）⊙（d～1a）≤c～1（d∧b）.类似地，可以证明（a∧b∧c）～1a≤（a∧b）～1a.

对任意的a，b，c，d∈f（E），有 （a～b）⊙（c～d）≤（a～c）～（b～d）成立.由于又f是核算子，可以得到

和

因此，（a～1b）⊙（c～1d）≤（a～1c）～1（b～1d）.

对任意的a，b∈f（E），有a⊙b≤a～b成立.而根据f是单调的可以得到a⊙b≤f（a⊙b）≤f（a～b）＝a～1b.

对任意的a∈f（E），得到a～1a＝f（a～a）＝f（1）＝1′.

最后证明f（E）满足伽罗瓦连接.对任意的f（x），f（y），f（z）∈f（E），由于x⊙y≤z，推出x≤y→z，由命题3.4可得f（x）⊙f（y）＝f（x⊙y）≤f（z），推出f（x）≤f（y→z）≤f（y）→f（z）.另一方面，由f（x）≤f（y）→f（z）有

因此，可得（f（E），∧，⊙，～1，1′）是一个剩余EQ-代数.

推论3.10设E是一个剩余EQ-代数并且f是E上的单调核算子，则f（0）＝0当且仅当f（x）≤x－－，∀x∈E.

证明假设f（0）＝0，由命题3.4的2）知f（x）≤（x→f（0））→f（0）＝ （x→0）→0＝x－－.因此，f（x）≤x－－.

反过来，如果f（x）≤x－－，则令x＝0可得f（0）≤x－－＝0.由x≤f（x），对任意的x∈E，可得0≤f（0）.

推论3.11设E是一个剩余EQ-代数，f是E上的核算子并且∃x∈E使得f（x）＝x，则对任意的x，y∈E，可得x→y－＝f（x）→（f（y））－.

证明由于（x⊙y）⊙（（x⊙y）→0）≤0，可得（f（x）⊙f（y））⊙（（x⊙y）→0）≤0，根据命题2.3的12）有（x⊙y）→0≤f（x）→（f（y）→0），即x→（y→0）≤f（x）→（f（y）→0），也就是说x→y－≤f（x）→（f（y））－.同理可得f（x）→（f（y））－≤x→y－.因此，x→y－＝f（x）→（f（y））－.

下面将讨论对合剩余EQ-代数.

定理3.12设E是一个对合剩余EQ-代数，则－－是强核算子.

证明假设E是一个对合剩余EQ-代数，容易证明：

1）x≤x－－；

2）如果x≤y，则x－－≤y－－；

3）由命题2.5可得x≤x－－，即x－－－－≤x－－，又 由 假 设 有x－－≤x－－－－，因 此，x－－－－＝x－－；

4）（x⊙y）－－＝x⊙y＝x－－⊙y－－.

这就意味着运算－－是一个单调的核算子.进一步，因为

也就是说，－－是强核算子.

命题3.13设E是一个对合剩余EQ-代数，则a－∈B（E）当且仅当a⊕a＝a－－.

证明如果a－∈B（E），则可得a⊕a＝（a－⊙a－）－＝（a－）－＝a－－.

反过来，如果a⊕a＝a－－，则a－＝a－－－＝（a⊕a）－＝a－⊙a－，可得a－∈B（E）.

设E是一个剩余EQ-代数，则映射φa：E→E表示对任意的a，x∈E，有 φa（x）＝a⊕x.

推论3.14设E是一个对合剩余EQ-代数.则对任意的x，y∈E，a⊕（x⊕y）＝（a⊕x）⊕（a⊕y）＝a⊕（x⊕（a⊕y））当且仅当a－∈B（E）.也就是说，φa（x⊕y）＝φa（x⊕φa（y））当且仅当a－∈B（E）.

证明假设对任意的x，y∈E，a⊕（x⊕y）＝（a⊕x）⊕（a⊕y）.令x＝y＝0，则可得a⊕（0⊕0）＝（a⊕0）⊕（a⊕0），由于a⊕0＝（a－⊙0－）－＝a－－和0⊕0＝（0－⊙0－）－＝0，故

a－－＝a－－⊕a－－＝（a－－－⊙a－－－）－＝a⊕a.根据命题3.13可得a－∈B（E）.

反过来，如果a－∈B（E），因为a⊕a＝a－－，则

4 剩余EQ-代数上其他算子的研究

为了更好地刻画出单调核算子以及强核算子，本节将重点研究3类特殊算子的性质：φa（x）＝a⊕x，ψa（x）＝a→x和 χa（x）＝（x→a）→a，对于a∈E.

引理4.1设E是一个对合剩余EQ-代数，φa是E上的单调核算子，则φa是强核算子.

证明设E是对合剩余EQ-代数，φa是E上的单调核算子.因为对任意的x∈E，可得x⊕φa（0）＝x⊕a⊕0＝x⊕a和 φa（x－－）＝a⊕x－－＝a⊕x，所以有x⊕φa0＝φa（x－－）.故由命题3.6知 φa是强核算子.

下面将研究ψa（x）的一些性质及结果.

命题4.2设E是一个剩余EQ-代数，则对任意的a∈B（E）当 且 仅 当 ψa（x）⊙ψa（y）≤ψa（x⊙y）.

证明必要性 假设a∈B（E），因为

有（a→x）⊙（a→y）≤a→（x⊙y），也就是说，ψa（x）⊙ψa（y）≤ψa（x⊙y）.

充分性 假设 ψa（x）⊙ψa（y）≤ψa（x⊙y），∀x，y∈E.令x＝y＝a，则有 ψa（a）⊙ψa（a）≤ψa（a⊙a）.因此，（a→a）⊙（a→a）≤a→（a⊙a）.这就意味着a＝a⊙a，即a∈B（E）.

命题4.3设E是一个剩余EQ-代数，则对于t∈E，t∈B（E）当且仅当∀x，y∈E，有x→f t→（y）＝f t→（x）→f t→（y）成立.

证明必要性 设t∈B（E），因为由命题2.3的11）可得∀x，y∈E，有

因此，有（t⊙x）→y≤（t⊙（t→x））→y.这样的话，通过命题2.3的12），有

另一方面，由于x≤t→x，容易得出t⊙x≤t⊙（t→x），即（t⊙（t→x））→y≤（t⊙x）→y，由命题2.3的12）可得（t→x）→（t→y）≤x→（t→y），所以有x→f t→（y）＝f t→（x）→f t→（y）.

充分性 如果x→f t→（y）＝f t→（x）→f t→（y），∀x，y∈E.令x＝t和y＝t⊙t，可得

t→ （t→ （t⊙t））＝（t→t）→ （t→ （t⊙t））.根据命题2.1.3的12）t→（t→（t⊙t））＝ （t⊙t）→（t⊙t）＝1，可得1＝1→（t→（t⊙t））＝t→（t⊙t）.因此，可以推出t≤t⊙t，而由命题2.3的6）可得t⊙t≤t，故t⊙t＝t，也就是说t∈B（E）.

推论4.4设E是一个剩余EQ-代数并且a∈B（E），则ψa是单调的核算子当且仅当

证明必要性 显然.

充分性 由命题4.3知，对任意的x，y∈E，x→ψa（y）＝ψa（x）→ψa（y）.由假设和定理3.7知 ψa是E上的单调核算子.

命题4.5设E是一个剩余EQ-代数并且a∈B（E），则 ψa（x⊕y）＝ ψa（x⊕ψa（y））.也就是说，如果ψa是单调的核算子并且a∈B（E），则ψa是强核算子.

证明因为y≤a→y＝ψa（y），可得x⊕y≤x⊕ψa（y），由命题2.3的10）有 ψa（x⊕y）＝a→（x⊕y）≤a→（x⊕ψa（y））＝ψa（x⊕ψa（y））.

另一方面，注意到 ψa（u－）＝a→u－＝a→（u→0）＝（a⊙u）→0＝（a⊙u）－和a⊙u－⊙（a→u）≤u⊙u－＝0.也就是说，a⊙u－≤（a→u）－.因为ψa（x⊕ψa（y））＝（a⊙x－⊙（ψa（y））－）－，并且由a∈B（E）可得a⊙x－⊙（ψa（y））－＝a⊙x－⊙（a→y）－≥a⊙x－⊙a⊙y－＝a⊙x－⊙y－.这就意味着对任意的x，y∈E，有

通过以上分析，可以得出，如果a∈B（E），ψa（x⊕y）＝ ψa（x⊕ψa（y））.

下面将考虑另外一个算子 χa（x）＝（x→a）→a，首先研究一下它的基本性质.

命题4.6设E是一个剩余EQ-代数，则对任意的x，y∈E，有（（x→a）→a）→a＝x→a.

证明由x≤（x→a）→a和命题2.3的10）可得（（x→a）→a）→a≤x→a.另一方面，因为（x→a）→（（（x→a）→a）→a）＝ （x→a）→a）→（x→a）→a）＝1.因此，x→a≤（（x→a）→a）→a，（（x→a）→a）→a＝x→a.

引理4.7设E是一个剩余EQ-代数，则对任意的a，x，y∈E，可得x→χay＝ χax→χay.

证明首先证明x→χay≤χax→χay.由于

因此

也就是说，x→χay≤χax→χay.

下面证明 χa x→χay≤x→χay.由命题4.6可得

也就是说

即

有 χax→χay≤x→χay成立.

通过以上分析可得x→χay＝χax→χay.

推论4.8设E是一个剩余EQ-代数，χa：E→E的一个映射使得 χa（x）＝（x→a）→a，∀x∈E，则χa是一个单调的核算子当且仅当 χa（x⊙y）≤χa（x）⊙χa（x）.

定理4.9设E是一个剩余EQ-代数，对任意的x∈E有f t→（x）＝t→x，并且满足t∈B（E）.如果对任意的x，y∈E有f t→（x⊙y）≤f t→（x）⊙f t→（y），则f t→是E上的单调核算子.

证明1） ∀x∈E，则x≤t→x＝f t→（x）.故f t→是增值的.

2）由于t∈B（E），则t→（t→x）＝ （t⊙t）→x＝t→x，即f t→是幂等的.

3）对任意的x，y∈E，可得（t→x）⊙（t→y）⊙t＝ （t→x）⊙t⊙（t→y）⊙t≤x⊙y，也就是说（t→x）⊙（t→y）≤t→（x⊙y），即f t→（x⊙y）≥f t→（x）⊙f t→（y）.另一方面，由假设知f t→（x⊙y）≤f t→（x）⊙f t→（y）.因此

4）由命题2.3的10）知，对任意的x，y∈E，如果x≤y，则t→x≤t→y.也就是说，f t→（x）≤f t→（y），即f t→是单调的.

5 结束语

从逻辑角度来看，核算子作为直觉主义命题逻辑的代数配对物［15］.从代数角度看，核算子及其性质的研究主要用以刻画代数的结构.本文主要研究EQ-代数上核算子的性质，特别是剩余EQ-代数上核算子性质及核映射下像集的代数结构，并且给出了剩余EQ-代数上强核算子的等价刻画.随后，引入3种算子并证明这3个特殊映射与核算子的关系，进一步证明了χa是一个单调的核算子，当且仅当 χa（x⊙y）≤χa（x）⊙χa（y）.

致谢陕西铁路工程职业技术学院校级项目（KY2019-68）对本文给予了资助，谨致谢意.