二维空间中一类广义Zakharov系统爆破率的下界估计

孟令慧， 王 月

（天津大学 应用数学中心，天津300072）

1 引言与主要结果

本文考虑二维空间中一类广义Zakharov系统

系统（1）描述了冷等离子体中磁场的自生效应.（E1，E2）表示缓变高频电场的复振幅，n表示电子密度在其平衡位置的扰动［1-2］.

赋予系统（1）初值：

对于经典的Zakharov系统

的有限时间爆破解的动力学行为的研究，已有了一些工作.特别地，Merle［3］研究了（3）式有限时间爆破解的爆破率的下界估计.对于系统（1），文献［4-6］研究了Virial型有限时间爆破解的存在性、非线性不稳定性及有限时间爆破解的爆破率的时空积分估计.文献［4］利用一个Virial型恒等式，采用极限方法得到如下结果.

命题1.1设（E10，E20，n0，v0）是关于x的径向对称函数，且H（E10，E20，n0，v0）＜0，则初值问题（1）～（2）的解（E1，E2，n，v）（t，x）满足如下二择性结果：

（i）（E1，E2，n，v）（t）在空间H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中有限时间爆破；

（ii）（E1，E2，n，v）（t）在空间H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中无限时间爆破，即对任意时间t，（E1，E2，n，v）（t）有定义，且有

成立，其中H（E10，E20，n0，v0）由第2节（8）式给出.

受文献［3］的启发，本文将研究当爆破时间T＜＋∞时，（1）～（2）式的有限时间爆破解（E1，E2，n，v）（t）在t→T时，其在空间H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中的范数

是以何种方式趋于无穷，即研究初值问题（1）～（2）的有限时间爆破解的爆破率的下界估计.

文献［5］在二维空间中构造了初值问题（1）～（2）在［0，T）上的一类爆破解，其形式如下：

本文将在二维空间中，研究系统（1）的有限时间爆破解的爆破率的下界估计，即如下主要结果.

定理1.2设（E1，E2，n，v）（t）是初值问题（1）～（2）的有限时间爆破解，且T为爆破时间，则存在仅依赖于初始值的常数

使得当t→T时，有

与经典的Zakharov系统（3）的相关结果相比，由于磁场效应的存在，即（1）式中非线性项包含这2项的存在给研究本文的相关问题带来了一定的困难.针对这些困难，通过对系统（1）做合适的尺度变换，并对磁场效应引起的相关项做恰当的先验估计，得到在能量空间中系统（1）的有限时间爆破解的爆破率的一致下界估计.

2 预备知识

由文献［2，4］可得柯西问题（1）～ （2）解的局部适定性理论.

命题2.1令初值

则柯西问题（1）～（2）在［0，T）上存在唯一解

且成立T＝＋∞或T＜＋∞，使得

此外，对任意t∈［0，T）成立如下的质量守恒和能量守恒：

其中

利用尺度变换，可得如下结论.

引理2.2对任意t∈［0，T），令

其中，s∈［0，λ2（T－t）），

此外，有如下结论成立：

证明直接计算可得引理2.2的结论.

引理2.3对任意s∈［0，λ2（T－t）），方程组（10）～（13）的解满足

其中，H如（7）～（8）式定义.此外，当t→T时，存在充分小的c＞0，使得

证明利用引理2.2，直接计算可得（17）式.注意到，当t→T时，λ（t）→ ＋ ∞，由此可知（18）式成立.

利用类似于文献［7］中的方法，可得如下结果.

引理2.4令 λ≥1且是方程组（10）～ （13）在［0，θ1］上的解，使得对任意s∈［0，θ1］，有

且对于k≥2，有

则存在c＞0，使得当s∈［0，θ1］，有

令A（t）＝eiΔt是自由Schrödinger半群，由文献［7］可得如下结果.

引理2.5对任意 φ（x）∈H1（R2），有：

由文献［8］可得如下引理.

引理2.6对任意u∈H1（R2），有如下结论成立

其中，Q是方程

的唯一径向正解.

3 主要结果的证明

定理1.2的证明首先，将证明当t→T时，方程组（10）～（13）的解在空间H1（R2）×H1（R2）×L2（R2）×L2（R2）中的范数一致有界，即如下结论成立.

命题3.1令λ≥1，且令存在常数c1＞0使得

且

证明取 θ1＞0，使得任意s∈［0，θ1］，有：

其中，

β0＞1是给定的一个充分大的常数.由引理2.4知，在［0，θ1］上有定义.

下证 θ1＞θ2＞0，其中 θ2仅依赖于常数c1.此证明分2步.

由（10）～（11）式知，对任意s∈［0，θ1］可得：

对任意s∈［0，θ1］，由引理2.5可得：

注意到，由引理2.6可得：

同理可得

由（15）～（16）式知

于是，由（15）～（16）和（25）～（29）式知

其中，c0≥4.

第二步，估计

的一致上界.

另一方面，由引理2.3，（21）及（30）式知，对任意s∈［0，θ1］可得

其中，c*≥512.当t充分接近有限爆破时间T时，存在充分小的c3＞0，使得于是，由（31）式可推知对任意s∈［0，θ1］，有

于是，对任意s∈［0，θ2］，有

由此，命题3.1得证.

注意到，当t→T时，λ（t）→ ＋ ∞.于是，当t→T时，由命题3.1及（14）式知

于是，定理1.2得证.